22. Общее уравнение импульсивного движения. Рассмотрим какую нибудь материальную систему, состоящую из $N$ точек $P_{i}(i=1,2, \ldots, N)$, на которую наложены связи без трения, и ограничимся предположением, что все связи являются двусторонними (неосвобождающими); обращаем внимание на то, что в теории импульсивного движения и, в частности, в случаях столкновений односторонние связи имеют совсем $\qquad$

особый интерес. Случаев, когда входят связи этого последнего типа, мы коснемся слегка в конце этого параграфа (п. 13).

Как уже говорилось в п. 1 , даже и в те очень короткие промежутки времени г, когда на систему действуют мгновенные силы, остаются в силе основные постулаты динамики и, следовательно, остается в силе также и общее уравнение движения, которое все их объединяет (гл. V, п. 20), т. е. уравнение
\[
\sum_{i=1}^{\mathrm{N}}\left(F_{i}-m a_{i}\right) \times \delta P_{i}=0,
\]

где, конечно, в результирующую силу $F_{i}$, прямо приложенную к любой точке $P_{i}$, должны быть включены в любой момент также и возможные активные ударные силы или удары.

Обращаясь как раз к промежутку времени от $t_{0}$ до $t_{0}+\tau$, когда действуют такие удары, введем $N$ результирующих активных импульсов
\[
\boldsymbol{I}_{i}=\lim _{\tau \rightarrow 0} \int_{\boldsymbol{t}_{0}}^{\boldsymbol{t}_{0}+\tau} \boldsymbol{F}_{i} d t \quad(i=1, \hat{2}, \ldots, N),
\]

и проинтегрируем уравнение (47) по времени от $t_{0}$ до $t_{0}+\tau$, допуская, что в этот очень короткий промежуток времени виртуальные перемещения $\delta P_{i}$ можно рассматривать как не зависящие от времени. Если после этого интегрирования заставим $\tau$ стремиться к нулю и заметим, что
\[
\lim _{\tau \rightarrow 0} \int_{t_{0}}^{t_{0}+\tau} a_{i} d t \quad(i=1,2, \ldots, N)
\]

дает обычное изменение $\Delta \boldsymbol{v}_{i}$ скорости любой точки $P_{i}$, то придем к уравнению
\[
\sum_{i=1}^{N}\left(I_{i}-m_{i} \Delta v_{i}\right) \cdot \delta P_{i}=0
\]

представляющему собой общее уравнение импульсивного движения.
Это уравнение справедливо для системы бесконечно малых перемещений $\delta P_{i}$, совместимых со связями при явно выраженном в предыдущем интегрировании предположении, что за очень короткий промежуток времени, в течение которого действуют мгновенные силы, связи остаются (приблизительно) неизменными.

Обратим внимание на то, что это не исключает возможности резких изменений связей одновременно с действием импульсов. Мы допустим только, что в согласии с предположением о неизменности связей в течение очень короткого промежутка времени $\tau$, когда действуют удары, во всех случаях каждое из возможных резких изменений связей можно рассматривать как происходящее или непосредственно

до или непосредственно после этого весьма короткого промежутка, в течение которого происходит импульсивное движение.

Так, например, если у свободно падающего тела закрепляются неожиданно одна или две точки, то вводятся связи (закрепление в точке, или вдоль оси), под действием которых, по крайней мере в общем случае, должны возникнуть резкие изменения скоростей, потому что движение тела до удара в общем случае не было таким, которое характерно для твердого тела с неподвижной точкой или осью. В этом случае надо принять, что резкое изменение связей произошло до момента, начиная с которого рассматривается импульсивное движение, и уравнение (48) должно применяться только к тем виртуальным перемещениям, которые совместимы со связями, вводимыми внезапно, причем нужно иметь в виду, что в этом специальном случае не войдут активные импульсы ( $\boldsymbol{I}_{i}=0$ ).

Подобным же образом, если в твердом теле происходит взрыв, который можно схематически представить системой импульсов внутренней природы, то наступает внезапное резкое уничтожение связи, так как после взрыва вместо 6 получится $6 N$ степеней свободы, если $N$ есть число осколков; виртуальные перемещения, которые нужно ввести в уравнение (48), должны соответствовать связям системы после их внезапного резкого изменения.

Наоборот, в явлениях столкновений, которыми мы занимались в двух предыдущих пунктах, условие соприкосновения между двумя твердыми телами или между твердым телом и стенкой перестает выполняться, когда удар уже произошел, так что имеется внезапное резкое уничтожение связи, следующее за явлением удара.

Если связи, которые должны быть приняты во внимание при изучении импульсивного движения и, следовательно, при использовании уравнения (48), сохраняются неизменными при движении, происходящем после удара, в течение некоторого промежутка времени, хотя и короткого, но конечного, следующего за моментом $t_{0}+\tau$, то они называются устойчивыми. Так, обращаясь к примерам, взятым выше, мы должны считать устойчивой связь, возникающую при внезапном закреплении точки или оси падающего твердого тела, в то время как условие соприкосновения между двумя телами при столкновении не является устойчивой связью.

В дальнейшем (п. 29) мы увидим, как, по крайней мере в случае голономных систем, общее уравнение (48) приводит к однозначному определению движения системы после удара, если известны движение до удара и система прямо приложенных импульсов $I_{i}$. Но сначала мы получим из уравнения (48) некоторые следствия общего характера, а для этой цели мы должны прежде всего уточнить, с формальной точки зрения, условия, определяющие виртуальные перемещения $\delta P_{i}$.

Вспомним (т. I, гл. XV, п. 7), что, как это уже отмечалось и в п. 3 предыдущей главы, при изложении принципа наименьшего принуждения Гаусса, двусторонние связи, голономные или неголономные,

наложенные на состояние движения какой-нибудь системы, всегда могут быть выражены посредством уравнений вида
\[
B_{k}(\boldsymbol{v})=b_{k} \quad(k=1,2, \ldots, r),
\]

где $B_{k}(\boldsymbol{v})$ символически представляют линейные однородные функции от проекций скоростей $v_{i}$ точек системы, коэффициенты которых, так же как и скалярные величины $b_{k}$ в правых частях, суть известные функции координат, а возможно, и времени; поэтому за очень короткий интересующий нас промежуток времени $\tau$ они должны рассматриваться как постоянные.

На основании определения виртуальных перемещений связи, которым должны удовлетворять $\delta P_{i}$, выражаются соответствующими линейными и однородными уравнениями
\[
B_{k}(\delta P)=0 \quad(k=1,2, \ldots, r) ;
\]

для некоторых выводов, которые иы имеем в виду, важно отметить, что, в то время как значения $v_{i}^{-}$скоростей до удара могут и не удовлетворять уравнениям (49), так как эти уравнения относятся к промежутку времени $\tau$, в течение которого связи могут не быть теми же самыми, что и до удара, скорости $\boldsymbol{v}_{i}^{+}$, в известном смысле отражающие действие всего того, что происходило в элемент времени $\tau$, необходимо должны удовлетворять уравнениям (49).

Если затем рассмотрим отвлеченно какое-нибудь движение $\boldsymbol{v}_{i}$, совместимое с уравнениями (49) (совпадающее или несовпадающее с движением после удара), и припишем скоростям изменения $\delta \boldsymbol{v}_{i}$, которые соответствовали бы условиям (49), то $\delta v_{i}$ вследствие линейности уравнений (49) будут удовлетворять в свою очередь соответствующим однородным уравнениям
\[
B_{k}(\hat{
u})=0 \quad(k=1,2, \ldots, r),
\]

которые будут тождественны с уравнениями (50), если не считать того, что в уравнениях (50′) вместо неизвестных $\delta P_{i}$ стоят величины $\delta \boldsymbol{v}_{i}$.
23. Теорема Ровена ${ }^{1}$ ). Пусть скорости $\boldsymbol{v}_{i}$ определяют какое-нибудь состояние движения, совместимое со связями (49); введем квадратичную функцию, вообще говоря, неоднородную относительно $\boldsymbol{v}_{i}$,
\[
G=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{m_{i}}\left\{\boldsymbol{I}_{i}-m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}-\boldsymbol{v}_{i}^{-}\right)\right\}^{2},
\]

предполагая, что $\boldsymbol{v}_{i}$ представляют собой какое угодно решение уравнений (49). Полный дифференциал этой функции, так как в ней импульсы $I_{i}$ и скорости до удара $\boldsymbol{v}_{i}$ рассматриваютсุя как заданные, определится равенством
\[
\delta G=-\sum_{i=1}^{N}\left\{\boldsymbol{I}_{i}-m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}-\boldsymbol{v}_{i}^{-}\right)\right\} \cdot \delta v_{i}
\]

он обратится в нуль, если вместо $\boldsymbol{v}_{i}$ будут подставлены скорости после удара $\boldsymbol{v}_{i}^{+}$, удовлетворяющие не только уравнениям (43), но также и общему уравнению (48).

Это означает, что соответствующее значение $G^{+}$величины $G$ является стационарным. Но легко видеть, что мы имеем здесь дело с минимумом, если раскрыть смысл разности $G-G^{+}$. Для этой цели будет исходить из тождества
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2 m_{i}}\left\{\boldsymbol{I}_{i}-m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}-\boldsymbol{v}_{i}^{-}\right)\right\}^{2}-\frac{1}{2 m_{i}}\left\{\boldsymbol{I}_{i}-m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}^{+}-\boldsymbol{v}_{i}^{-}\right)\right\}^{2}= \\
=\boldsymbol{I}_{i} \cdot\left(\boldsymbol{v}_{i}^{+}-\boldsymbol{v}_{i}\right)+\frac{1}{2} m_{i}\left[\left(\boldsymbol{v}_{i}-\boldsymbol{v}_{i}^{-}\right)^{2}-\left(\boldsymbol{v}_{i}^{+}-\boldsymbol{v}_{i}^{-}\right)^{2}\right]= \\
=\left(\boldsymbol{I}_{i}-m_{i} \Delta \boldsymbol{v}_{i}\right) \cdot\left(\boldsymbol{v}_{i}^{+}-\boldsymbol{v}_{i}\right)+\frac{1}{2} m_{i}\left[2 \Delta \boldsymbol{v}_{i}+2 \boldsymbol{v}_{i}^{-}-\boldsymbol{v}_{i}^{+}-\boldsymbol{v}_{i}\right] \cdot\left(\boldsymbol{v}_{i}^{+}-\boldsymbol{v}_{i}\right)= \\
=\left(\boldsymbol{I}_{i}-m_{i} \Delta \boldsymbol{v}_{i}\right) \cdot \delta \boldsymbol{v}_{i}+\frac{1}{2} m_{i}\left(\hat{\delta} \boldsymbol{v}_{i}\right)^{2},
\end{array}
\]

в первой части которого принято обозначение $\delta v_{i}$ для разности $\boldsymbol{v}_{i}^{+}-\boldsymbol{v}_{i}$. Если просуммируем по индексу $i$ от 1 до $N$, то левая часть на основании определения (51) функции $о$ даст $G-G^{+}$, а первый член правой части будет равен нулю в силу заключительного замечания предыдущего пункта. Вследствие этого останется
\[
G=G^{+}+\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i}\left(\hat{\delta} v_{i}\right)^{2} .
\]

Отсюда видно (теорема Робена), что: неизвестное состояние движения после удара будет таким, для которого функция $G$ имеет наименьше значение по сравнению со всеми состояниями движения, совместимыми со связями (49).
24. Сопоставление теоремы Ровена с принципом наименьшего принуждения. Прежде чем идти дальше, остановимся немного на функции $G$ предыдущего параграфа и упростим ее выражение путем введения в нее воображаемых скоростей $\boldsymbol{v}_{i}^{*}$, которые приняли бы точки $P_{i}$ системы под действием заданных импульсов, если бы отсутствовали связи. Для таких скоростей имеем
\[
m_{i}\left(v_{i}^{*}-v_{i}^{-}\right)=I_{i} \quad(i=1,2, \ldots, N)
\]

и, следовательно, функция $G$ принимает вид
\[
G=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i}\left(v_{i}^{*}-\boldsymbol{v}_{i}\right)^{2} .
\]

Рассмотрим теперь промежуток времени $\varepsilon$, также очень короткий, следующий за моментом $t_{0}$, когда система подверглась действию импульсов, и для любой точки $P_{i}$ обозначим через $Q_{i}$ то положение, которое она действительно займет в момент $t_{0}+\varepsilon$ при каком-нибудь движении, совместимом со связями, существующими в то время, когда действуют удары, а через $Q_{i}^{*}$ – положение, которое она приняла бы в тот же самый момент, если бы она двигалась свободно под действием тех же самых импульсов $I_{i}$.

Как и в п. 2 предыдущей главы, принуждение, происходящее от связей, будет определяться равенством
\[
\Gamma=\sum_{i=1}^{N} m_{i} Q_{i} Q^{* 2}
\]

и так как имеем
\[
Q_{i}=P_{1}+\varepsilon \boldsymbol{v}_{i}+\ldots, \quad Q_{i}^{*}=P_{i}+\varepsilon v_{i}^{*}+\ldots \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]

где опущенные члены будут относительно в порядка выше первого, то, пренебрегая членами третьего и более высокого порядка относительно е, получим
\[
\Gamma=2 \varepsilon^{2} G+\ldots
\]

Так как было доказано, что для состояния движения после удара функция $G$ имеет наименьшее значение, то достаточно применить к предыдущему выражению $\Gamma$ рассуждения, аналогичные рассуждениям п. 3 предыдущей главы, чтобы заключить, что принцип наименьшего !принуждения сохраняет свое значение также и для импульсивного движения.
25. Следствие из теоремы Ровена. Теорема Кельвина. Вернемся к теореме Робена и предположим, в частности, что прямо приложенных импульсов нет, т. е. что явление происходит исключительно от внезапного введения связей (отвердение, закрепление точки или оси, наложение заданных скоростей на некоторые точки и т. д.). Выражение для функции $G$ сведется в этом случае к виду
\[
\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}-\boldsymbol{v}_{i}^{-}\right)^{2},
\]

так что среди всех движений, совместимых со связями, состояние движения после удара будет отличаться тем, что для этого движения

живая сила, происходящая от резких изменений скорости (живая сила приобретенных скоростей) будет иметь наименьшее значение.

Еще более частное, но более наглядное предложение мы имеем в так называемой теореме Кельвина. Мы придем к этой теореме, предполагая, что при отсутствии прямо приложенных импульсов система находится первоначально в покое ( $\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{i}}^{-}=0$ ), а вводимые внезапно добавочные связи состоят в наложении на некоторое число точек известных заданных скоростей $\left(\boldsymbol{v}_{i}^{+}=V_{i}\right)$, конечно, совместимых с другими связями (49), которые надо учитывать.

В этом случае функция $G$ будет равна живой силе, которую система будет иметь в результате указанного наложения скоростей, и мы приходим таким образом к теореме: живая сила для действительного состояния движения, следующего за наложением связей, будет наименьшей по сравнению с живой силой во всяком другом состоянии движения, совместимом со связями (в число которых включены и связи, вызывающие внезапное резкое изменение скоростей).
26. Обратимые связи. Теорема Карно ${ }^{1}$ ). В более общем предположении линейные уравнения (49) связей не являются однородными; типичный пример этого мы имели в связях, соответствующих наложению скоростей и рассмотренных в теореме Кельвина (предыдущий параграф). Но и в случаях более обыкновенных и, в частности, когда речь идет о голономных или неголономных связях, не зависящих от времени, уравнения (49) не будут иметь правой части, так что вместе со всяким состоянием движения, совместимым с указанными связями, связи допускают и прямо противоположное движение. По этой причине связи, выражаемые линейными и однородными уравнениями, называются обратимыми.

Если все связи, которым подчинена система, обратимы, то оправдывается известное обстоятельство, что уравнения (49) будут тождественны, за исключением обозначения неизвестных, с уравнениями (50), так что всякое состояние движения, совместимое со связями, соответствует некоторому виртуальному перемещению и обратно; общее уравнение импульсивного движения можно написать в виде
\[
\sum_{i=1}^{N}\left(I_{i}-m_{i} \Delta v_{i}\right) \cdot \boldsymbol{v}_{i}=0
\]

где через $\boldsymbol{v}_{i}$ обозначены скорости в любом состоянии движения, совместимом со связями.

Если, в частности, мы припишем скоростям $\boldsymbol{v}_{i}$ значения $\boldsymbol{v}_{i}^{+}$, соответствующие действительному состоянию движения после удара, и, предполагая прямо приложенные импульсы равными нулю, примем во внимание тождество
\[
\Delta v_{i} \cdot v_{i}^{+}=\left(v_{i}^{+}\right)^{2}-v_{i}^{-} \cdot v_{i}^{+}=\frac{1}{2}\left(v_{i}^{+}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(v_{i}^{-}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\Delta v_{i}\right)^{2},
\]

то из уравнения ( $48^{\prime}$ ) получим
\[
-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}^{+}\right)^{2}+\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}^{-}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{N} m_{i}\left(\Delta \boldsymbol{v}_{i}\right)^{2},
\]

или, обозначая через $T$ живую силу системы и через $\Theta$ живую силу, соответствующую внезапным изменениям скоростей,
\[
-\Delta T=\Theta .
\]

Это равенство выражает следующую теорему Карно (см. п. 6): для всякой материальной системы, подчиненной связям без трения и обратимым, в которой без наличия прямо приложенных импульсов происходят резкие изменения скоростей, всегда будет иметься общая потеря живой силы, равная живой силе, соответствующей этим изменениям скоростей.
27. Случай взрыва. В этом случае, по крайней мере, на некоторые материальные элементы системы действуют импульсы внутренней природы, попарно взаимно противоположные; эти импульсы вызывают большей частью разрушение элементов, на которые они действуют. Но так как в состоянии движения до взрыва разрушение еще не имело места, то соответствующая работа импульсов
\[
\sum_{i=1}^{N} I_{i} v_{i}
\]

необходимо будет равна нулю, так как она состоит из слагаемых попарно равных по абсолютной величине и с противоположными знаками; может быть, не бесполезно заметить, что того же нельзя сказать об аналогичной работе, соответствующей состоянию последующего движения, так как элементы, разорванные разрушением, к которым будут приложены два любых прямо противоположных импульса, будут (вообще говоря) иметь различные скорости.

Если уравнение ( $48^{\prime}$ ) относится к состоянию движения до взрыва, то, полагая в нем $\boldsymbol{v}_{i}=\boldsymbol{v}_{i}$, мы можем в силу только что сказанного привести его к виду
\[
\sum_{i=1}^{N} m_{i} \Delta v_{i} \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{-}=0 ;
\]

этому уравнению, посредством преобразования, совершенно аналогичного преобразованию из предыдущего параграфа (за исключением разве замены $\boldsymbol{v}_{i}^{+}$через $\boldsymbol{v}_{i}^{-}$), можно придать вид
\[
\Delta T=\Theta .
\]

Поэтому заключаем, что: в материальной системе с обратимыми связями без трения взрыв производит выигрыи в живой силе, равный живой силе, происходящей от резкого изменения скоростей элементов системы.
28. Теорема Лагранжа-Бертрана. Закончим эти общие рассуждения одним предложением, которое носит название теоремы Бертрана, хотя в одном частном случае оно было известно еще Лагранжу.

В этой теореме сравнивается живая сила $T^{+}$, с которой действительно начинается движение после удара системы с обратимыми связями и при наличии каких угодно активных импульсов, с живой силой $T^{\prime}$, которую имела бы та же самая система под действием тех же самых импульсов, если бы на нее были внезапно наложены еще новые связи, тоже обратимые, и утверждается, что $T^{+}$будет наибольшей по сравнению со всеми возможными $T^{\prime}$.

Для доказательства этой теоремы достаточно снова взять общее уравнение в форме $\left(48^{\prime}\right)$, действительной для систем с обратимыми связями, и применить его сначала к системе, на самом деле заданной, а потом к системе, которая получилась бы после воображаемого наложения новых связей. Обозначая через $\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}$ скорости после удара в этом втором случае, в силу чего надо положить $\Delta v_{l}=v_{i}^{\prime}-v_{i}^{-}$, и отмечая, что в обоих случаях можно принять $\boldsymbol{v}_{i}=\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}$, так как состояние движения $\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}$ наверное будет совместимо как с существовавшими связями, так и с добавочными, будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{N}\left[I_{i}-m_{i}\left(v_{i}^{+}-v_{i}^{-}\right)\right] \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{\prime}=0, \\
\sum_{i=1}^{N}\left[I_{i}-m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}-\boldsymbol{v}_{i}^{-}\right)\right] \cdot v_{i}^{\prime}=0 .
\end{array}
\]

Вычитая почленно первое равенство из второго и принимая во внимание тождество
\[
\left(\boldsymbol{v}_{i}^{+}-\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}\right) \cdot \boldsymbol{v}_{i}^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{v}_{i}^{+}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{v}_{i}^{+}-\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}\right)^{2},
\]

получим уравнение
\[
T^{+}=T^{\prime}+\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i}\left(\boldsymbol{v}_{i}^{+}-\boldsymbol{v}_{i}^{\prime}\right)^{2},
\]

которое показывает, что живая сила будет не больше живой силы $T^{+}$ и будет равна ей только в том случае, когда любое состояние движения совместимое со связями, первоначальными и добавочными, совпадает с действительным состоянием движения после удара.
29. Голономные системы. Вернемся к общему уравнению импульсивного движения в его первоначальной форме (48) для того, чтобы приложить его к любой голономной системе, число степеней свободы которой пусть будет $n$. Естественно, что голономность связей должна существовать и в течение промежутка времени $\tau$, когда действуют ударные силы, так что, если обратимся прямо к обозначениям п. 22 , уравнения (49), число $r$ которых надо принять связанным с числом степеней свободы $n$ и числом $N$ точек системы известным соотношением $r+n=3 N$, должны получаться при помощи дифференцирования по времени такого же числа соотношений между координатами. Эти соотношения, как мы уже знаем, можно представить себе написанными в виде параметрических выражений
\[
P_{i}=P_{i}\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n} \mid t\right) \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

точек системы в функциях от $n$ лагранжевых независимых параметров и, возможно, времени. В интересующем нас промежутке времени виртуальные перемещения системы будут определяться равенствами
\[
\delta P_{i}=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \delta q_{h} \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]

где $\delta q_{h}$ представляют собой $n$ бесконечно малых вполне произвольных приращений.
На основании уравнений (55) для элементарной работы
\[
\delta L=\sum_{i=1}^{N} I_{i} \cdot \delta P_{i},
\]

совершаемой прямо приложенными импульсами на любом виртуальном перемещении системы, мы получим выражение
\[
\delta L=\sum_{h=1}^{N} J_{h} \delta q_{h}
\]

где положено
\[
J_{h}=\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{I}_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Эти $n$ скалярных количеств $J_{h}$, которые надо считать заданными вместе с активными импульсами и со связями, соответствуют составляющим обыкновенных обобщенных сил по отдельным лагранжевым координатам $q_{h}$ и потому могут быть названы лагранжевыми составляющими импульсов (обобщенными импульсами).

Возьмем снова хорошо известные выражения
\[
\boldsymbol{v}_{i}=\frac{\partial P_{i}}{\partial t}+\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \dot{q}_{h} \quad(i=1,2, \ldots, N),
\]

которые для скоростей $\boldsymbol{v}_{i}$ получаются из уравнений (54) и которые можно рассматривать как полученные в результате решения уравнений связей (49).

Наряду с равенствами (58) примем во внимание еще тождества, которые вытекают из них
\[
\frac{\partial v_{i}}{\partial \dot{q}_{h}}=\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Наконец, введем живую силу системы
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i} v_{i} \cdot v_{i},
\]

которая, как известно, может быть представлена на основании уравнений (58), как функция второй степени, вообще говоря, неоднородная, от лагранжевых скоростей $\dot{q}$; вспомним далее линейные относительно этих скоростей $\dot{q}$ выражения, которые выводятся для обобщенных количеств движения $p_{h}$ путем дифференцирования $T$ по времени, и, принимая во внимание указанные выше тождества, напишем
\[
p_{h}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}}=\sum_{i=1}^{N} m_{i} v_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Заметим теперь, что состояние движения голономной системы будет, конечно, определено в любой момент значениями $q$ и $\dot{q}$, так что задача импульсивного движения в любой момент $t_{0}$, поскольку $q$ как параметры положения не испытывают никаких изменений, сводится к определению изменений лагранжевых скоростей $\Delta \dot{q}_{h}$. Но, если вспомним, что (гл. Х, п. 5) обобщенные количества движения (59) суть (линейные) независимые между собой функции от $\dot{q}$ с коэффициентами, зависящими от координат $q$ и, возможно, от времени $t$ и потому имеющими постоянное значение за время удара, то увидим, что достаточно определить изменения обобщенных количеств движения $\Delta p_{h}$, после чего $\Delta \dot{q}_{h}$ получатся посредством простого решения линейных уравнений.

Эти $\Delta p_{h}$ теперь легко найти из общего уравнения импульсивного движения (48). Подставляя в него вместо $\delta P_{i}$ их выражения (55), приравнивая нулю коэффициенты при отдельных $\delta q_{h}$ и учитывая

уравнения, определяющие лагранжевы составляющие импульсов (57), мы придем к уравнениям
\[
\sum_{i=1}^{N} m_{i} \Delta v_{i} \cdot \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{h}}=J_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n) ;
\]

достаточно применить уравнения (59) последовательно к состоянию движения до и после удара, учитывая неизменяемость $q$ при явлении удара, чтобы в левых частях этих уравнений иметь выражения для $\Delta p_{h}$.
Поэтому будут иметь место уравнения
\[
\Delta p_{h}=J_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

которые в случае голономных систем дают однозначное решение задачи импульсивного движения, уже упоминавшееся в п. $22\left[{ }^{9}\right]$.
30. Пример. Обратимся снова к двойному маятнику, который был определен и изучен в п. 11 гл. VII, и, сохраняя введенные там обозначения, приложим в произвольный момент $t_{0}$ к центру тяжести $G_{1}$ главного маятника импульс величиной $I$, лежащий в (вертикальной) плоскости качаний центров тяжести $G, G_{1}$ и направленный перпендикулярно к $O_{1} G_{1}$.

Виртуальная работа $\delta L$ этого импульса определяется выражением $I \cdot \delta G_{1}$ и, так как $\delta G_{1}$ имеет одно и то же направление (линию действия) с $\boldsymbol{I}$, то достаточно за положительную сторону на общей линии действия векторов $I$ и $\delta G_{1}$ принять ту сторону, которая соответствует возрастанию угла $\varphi_{1}$; поэтому имеем
\[
\delta L= \pm I r_{1} \delta r_{1},
\]

где надо взять знак + или – в зависимости от того, стремится ли импульс $I$ в тот момент, когда оч действует, увеличить или уменьшить угол $\varphi_{1}$.

Отсюда, вспоминая, что на основании уравнения (56′) предыдущего параграфа, лагранжевы составляющие импульсов будут не чем иным, как коэффициентами при $\delta q_{h}$ (в нашем случае при $\delta \varphi, \delta \varphi_{1}$ ) в выражении виртуальной работы, получим
\[
J=0, \quad J_{1}= \pm I r_{1},
\]

подразумевая при этом, что составляющие $J, J_{1}$ относятся соответственно к $\varphi$, $\varphi_{1}$.

C другой стороны, из выражения (12), найденного в упомянутом п. 11 гл. VII для живой силы $T$ двойного маятника, принимая также

во внимание равенство (11), в качестве уравнений для определения обобщенных количеств движения получим
\[
\left.\begin{array}{l}
p=\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=A \dot{\varphi}+m r\left[r \dot{\varphi}+\lambda \dot{\varphi}_{1} \cos \left(\varphi-\varphi_{1}\right)\right], \\
p_{1}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}_{1}}=A_{1} \dot{\varphi}_{1}+m \lambda\left[\lambda \dot{\varphi}_{1}+r \dot{\varphi} \cos \left(\varphi-\varphi_{1}\right)\right]
\end{array}\right\}
\]

уравнения импульсивного движения двойного маятника примут после этого вид
\[
\Delta p=0, \quad \Delta p_{1}= \pm I r_{1} .
\]

Подставляя в эти уравнения вместо $\Delta p, \Delta p_{1}$ их линейные относительно $\Delta \dot{\varphi}, \Delta \dot{\varphi}$ выражения, которые выводятся из формул (60), можно получить явные выражения для изменений угловых скоростей двух маятников.

Даже не выполняя этого решения, из уравнений (60) можно видеть, что $\Delta$ і имеет значение, не равное нулю, хотя импульс приложен к другому маятнику, что, конечно, зависит от наличия связи между маятниками. Далее из $\Delta p=0$ следует
\[
\frac{\Delta \dot{\varphi}}{\Delta \dot{\varphi}_{1}}=-\frac{m r \lambda \cos \left(\varphi-\varphi_{1}\right)}{A+m r^{2}},
\]

так что действие импульса на второй маятник при прочих равных условиях будет максимальным, когда центры тяжести обоих маятников будут расположены на одной прямой.
31. Замечание о случае односторонней связи. Предположим, наконец, что связи, наложенные на систему, за очень короткий промежуток времени $\tau$, в течение которого прилагаются ударные силы, будут частично односторонними, или, точнее, связи, по отношению к любому состоянию движения, представляются одни $r$ уравнениями вида
\[
B_{k}(\boldsymbol{v})=b_{k} \quad(k=1,2, \ldots, r),
\]

другие $s$ неравенствами
\[
U_{j}(\boldsymbol{v}) \leqslant c_{j} \quad(j=1,2, \ldots, s),
\]

где $U_{j}(v)$, так же, как и $B_{k}(v)$, символически означают линейные однородные функции от составляющих скоростей $\boldsymbol{y}_{i}$, коэффициенты которых, такие как $b_{k}, c_{j}$, зависят от координат и, возможно, еще и времени.

Мы уже знаем, что при наличии односторонних связей непрерывное движение определяется уже не общим уравнением динамики, а соответствующим общим соотношением. Поэтому, поступая с этим соотношением так же, как в п. 22 с общим уравнением, и переходя

к пределу при $\tau$, стремящемся к нулю, придем к общему соотношению импульсивного движения.
\[
\sum_{i=1}^{N}\left(\boldsymbol{I}_{i}-m_{i} \Delta \boldsymbol{v}_{i}\right) \cdot \delta P_{i} \leqslant 0 .
\]

Задача об импульсивном движении состоит и здесь в определении состояния движения после удара, если известны прямо приложенные импульсы и состояние движения до удара. Но условия (49), (61), (62) сами по себе не являются еще достаточными для определения скоростей $\boldsymbol{v}_{i}^{+}$. Для этой цели необходимо ввести некоторое дальнейшее условие, которое должно быть получено в любом случае или из физической природы вопроса, или же из некоторого критерия общего характера.

Такой критерий был действительно сформулирован А. Майером ${ }^{1}$ ) после переписки с Е. Стюди (неизданной). Здесь мы дадим о нем краткое понятие.

В случае исключительно двусторонних связей в п. 23 мы видели, что общее уравнение импульсивного движения (48), в котором приняты во внимание заранее заданные связи (49), равносильно условию минимума, совместимому со связями, для функции $G$ Робена. Если обратим внимание на интерпретацию этого свойства как выражающего принцип наименьшего принуждения (п. 24), то естественно ожидать, что тот же самый принцип минимума, совместимый со связями, для функции $G$ справедлив и для задачи импульсивного движения также и в более общем случае, когда система имеет, помимо двусторонних связей (49), еще и односторонние связи (61). Не рассматривая вопроса во всей его общности, Майер показал, что в более простых случаях указанный принцип не только влечет за собой общее соотношение (62), но содержит и другие условия, позволяющие однозначно определить состояние движения после удара.

Мы не будем здесь развивать дальше соображений Майера. Точно так же, не излагая, мы ограничимся лишь напоминанием, что Альманси ${ }^{2}$ ), рассматривая, в частности, случай однородных связей $\left(b_{k}=c_{j}=0\right.$ ), вывел различные важные свойства импульсивного движения из одного только символического соотношения (62), независимо от всяких дальнейших предположений.