1. Канонические системы. Возвратимся опять к изучению лагранжевых систем (п. 41 гл. V), т. е. систем из $n$ дифференциальных уравнений второго порядка с $n$ неизвестными функциями $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ от $t$, имеющих вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \dot{q}_{h}}-\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial q_{h}}=0 \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

где $\mathcal{R}$ обозначает какую угодно функцию (правильную в некоторой области) от координат $q$, от их первых производных $\dot{q}$ и, возможно, от независимой переменной $t$. Как мы уже видели, во всякой области $n$ измерений, в которой гессиан
\[
\Delta=\left\|\frac{\partial^{2} \Omega}{\partial \dot{q}_{h} \partial \dot{q}_{k}}\right\|
\]

лагранжевой функции $\&$ не будет тождественно равен нулю, система (1) будет нормальной, т. е. разрешимой относительно вторых производных $\ddot{q}$ от неизвестных функций.

Далее, из анализа известно (и в частных случаях нам приходилось применять этот способ), что всякую нормальную систему второго порядка с $n$ неизвестными функциями можно заменить бесконечным множеством способов эквивалентной ей системой первого порядка, тоже нормальной, с $2 n$ неизвестными функциями или, как мы будем говорить теперь, порядка $2 n$. Достаточно взять за новые неизвестные функции, наряду с $q, n$ их первых производных $\dot{q}$, или, вообще, $n$ каких угодно независимых между собою функций от $\dot{q}$, которые могут содержать также координаты $q$ и время $t$.

Классическое преобразование Гамильтона, которое мы будем здесь рассматривать, является только частным применением этого способа и состоит в том, что за вспомогательные неизвестные принимают переменные
\[
p_{h}=\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial \dot{q}_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

называемые сопряженными переменными относительно $q$ или, как мы условились говорить в п. 42 гл. V, моментами (или обобщенными импульсами), вследствие механического истолкования, которое

им можно дать в некоторых типичных случаях динамики голономных систем. Уравнения (2) при $\Delta
eq 0$ представляют собой $n$ уравнений относительно $\dot{q}$; поэтому в области, в которой не только функция $\mathfrak{2}$ является правильной, но сохраняет свою силу и это неравенство, они будут разрешимы относительно $\dot{q}$, и мы будем иметь
\[
\dot{q}_{h}=u_{h}(p|q| t) \quad(h=1,2, \ldots, n) ;
\]

с другой стороны, уравнения (1) на основании уравнении (2) и эквивалентных им уравнений (2) дают
\[
\dot{p}_{h}=\left(\frac{\partial \mathfrak{Q}}{\partial q_{h}}\right)_{\dot{q}=u} \quad(h=1,2, \ldots, n), \quad\left(1^{\prime}\right)
\]

так что производные от новых неизвестных $p$ будут выражены через $p, q, t$, как это имело место для $\dot{q}$ в силу уравнений (2′).

Мы пришли, таким образом, к нормальной системе первого порядка с $2 n$ неизвестными функциями $p, q$, состоящей из уравнений $\left(1^{\prime}\right)$, (2′); эти $2 n$ уравнений можно назвать эквивалентными первоначальной лагранжевой системе (1), так как, с одной стороны, они получаются из уравнений (1) только что указанным однозначным способом, а с другой стороны, обратно, исходя из соотношений ( $\left.1^{\prime}\right)$, $\left(2^{\prime}\right)$, мы возвратимся к уравнениям (1), исключая $p$ посредством уравнений (2).

Это и есть, по существу, преобразование Гамильтона системы (1). Остается еще установить одно особенно важное обстоятельство, заключающееся в том, что правые части уравнений (1′), (2′) можно выразить посредством одной единственной функции от $p, q, t$, называемой функцией. Гамильтона ${ }^{1}$ ) или характеристической функцией, так что система первого порядка ( $\left.1^{\prime}\right),\left(2^{\prime}\right)$ с формальной точки зрения будет столь же простой, как и первоначальная лагранжева система, зависящая от одной только функции $\& *$ ). Функция Гамильтона выражается через функцию Лагранжа в виде
\[
H=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial \dot{q}_{h}} \dot{q}_{h}-\Omega
\]

и была уже введена нами в п. 43 гл. V (полная энергия в динамическом случае); только здесь она должна рассматриваться выраженной через $p, q, t$ посредством уравнений (2), (2′); для того чтобы лучше выявить это обстоятельство, мы можем представить ее в виде
\[
H(p|q| t)=\sum_{h=1}^{n} p_{h} \dot{q}_{h}-\&(q|\dot{q}| t),
\]

истолковывая здесь $\dot{q}$ как символы соответствующих функций от $p, q, t$, определяемых уравнениями ( $\left.2^{\prime}\right)$.

Чтобы убедиться, что правые части как уравнений (1′), так и уравнений ( $2^{\prime}$ ) можно выразить очень просто посредством функции $H$, достаточно применить следующий классический способ, принадлежащий самому Гамильтону. Будем рассматривать величины $p, q, t$ как независимые переменные, а $\dot{q}$-как функции от них, выраженные равенствами ( $\left.2^{\prime}\right)$; считая $t$ постоянным, придадим величинам $p, q$ произвольные бесконечно малые приращения $\delta p, \delta q$, благодаря чему функция $H$ получит приращение
\[
\delta H=\sum_{h=1}^{n}\left(-\frac{\partial H}{\partial p_{h}} \delta p_{h}+\frac{\partial H}{\partial q_{h}} \delta q_{h}\right) .
\]

С другой стороны, на основании соотношения ( $3^{\prime}$ ) то же самое приращение можно написать в виде
\[
\delta H=\sum_{h=1}^{n}\left\{\dot{q}_{h} \delta p_{h}-\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial q_{h}} \delta q_{h}+\left(p_{h}-\frac{\partial \mathcal{Q}}{\partial \dot{q}_{h}}\right) \delta \dot{q}_{h}\right\},
\]

или, принимая во внимание уравнения (2) и подставляя $u_{h}$ вместо $\dot{q}_{h}$,
\[
\delta H=\sum_{h=1}^{n}\left\{u_{h} \delta p_{h}-\left(\frac{\partial \mathfrak{Q}}{\partial q_{h}}\right)_{\dot{q}=u} \delta q_{h}\right\} ;
\]

из сравнения двух выражений, полученных таким образом для $\delta H$, в силу произвольности приращений $\delta p_{h}, \delta q_{h}$, получим
\[
u_{h}(p, q, t)=\frac{\partial H}{\partial p_{h}}, \quad-\left(\frac{\partial \Omega}{\partial q_{h}}\right)_{\dot{q}=u}=\frac{\partial H}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Поэтому системе первого порядка (1′), (2′), эквивалентной лагранжевой системе (1), можно придать упомянутую выше гамильтонову форму
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{p}_{h}=-\frac{\partial H}{\partial q_{h}} \\
\dot{q}_{h}=\frac{\partial H}{\partial p_{h}}
\end{array}\right\} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Всякая система дифференциальных уравнений первого порядка этого вида, какова бы ни сыла функция $H(p|q| t)$, называется канонической или гамильтоновой системой; переменные $p$ и $q$ называются каноническими переменными, причем величины $p$ называются переменными первой серии (это те функции, производные которых в выражении посредством $H$ имеют явно знак минус), а величины $q$-переменными второй серии; ясно, конечно, что речь идет о различии совершенно несущественном, так как обе серии переменных обменяются местами, если изменить знак у функции Гамильтона.
2. В предыдущем пункте мы видели, что при условии $\Delta
eq 0$ уравнения
\[
p_{h}=\frac{\partial \Omega}{\partial \dot{q}_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n)
\]

разрешимы относительно $\dot{q}$ в виде
\[
\dot{q}_{h}=\frac{\partial H}{\partial p_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

где $H(p|q| t)$ означает функцию, определяемую равенством (3′). Отметим здесь, что и, обратно, эти последние уравнения разрешимы относительно $p$ и, следовательно, эквивалентны уравнениям (2), если отличен от нуля гессиан функции $H$
\[
\Delta_{1}=\left\|\frac{\partial^{2} H}{\partial p_{h} \partial q_{k}}\right\| \text {. }
\]

Если, допустив эту обратимость соотношений, связывающих $p$ с $\dot{q}$, продифференцируем любое из переменных $p$ по любому другому из них, рассматривая его как сложную функцию через посредство $\dot{q}$, то получим тождество
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial p_{h}}{\partial \dot{q}_{k}} \frac{\partial \dot{q}_{k}}{\partial p_{l}}=\delta_{h l} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

где, как обычно, $\delta_{h l}$ означает единицу, если индексы $h$ и $l$ равны между собой, и нуль, если они различны; достаточно принять во внимание выражения для $p$ и $\dot{q}$ соответственно через $H$ и $\mathfrak{R}$, чтобы предыдущим тождествам можно было придать вид
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^{2} \mathcal{Q}}{\partial \dot{q}_{h} \partial \dot{q}_{k}} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{k} \partial p_{l}}=\delta_{h l} \quad(h, l=1,2, \ldots, n) .
\]

Таким образом, мы видим, что элементы гессиана $\Delta_{1}$ функции $H$ взаимны (т. е. равны алгебраическим дополнениям, деленным на определитель) с элементами гессиана $\Delta$ функции $\mathfrak{2}$, откуда, в частности, имеем тождество
\[
\Delta \Delta_{1}=1 ;
\]

из этого тождества следует, что если один из гессианов (функции $\mathfrak{\&}$ по $\dot{q}$ или функции $H$ по $p$ ) конечен и отличен от нуля, то то же можно сказать и о другом.

Отсюда легко вывести, что как при $\Delta
eq 0$ любую лагранжеву систему можно преобразовать в каноническую систему, так и, обратно, любую каноническую систему, характеристическая функция $H$ которой имеет отличный от нуля гессиан $\Delta_{1}$, можно рассматривать как преобразованную из лагранжевой системы.

Это доказывается путем, обратным тому, которым мы от лагранжевой системы (1) перешли к канонической системе (5). Именно, отметив, что в силу предположения $\Delta_{1}
eq 0$ вторая группа уравнений (5)
\[
\dot{q}_{h}=\frac{\partial H}{\partial p_{h}} \quad(h=12, \ldots, n)
\]

разрешима относительно $p$ в виде
\[
p_{h}=v_{h}(q|\dot{q}| t) \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

мы введем функцию
\[
\mathfrak{R}=\sum_{h=1}^{n} p_{h} \dot{q}_{h}-H
\]

которая, если принять во внимание только что указанные выражения для $p$, выразится через $q, q, t$. Это и есть, как это легко проверить, лагранжева функция системы, которая порождает заданную каноническую систему.
3. При изучении канонических систем прибегают к геометрическому представлению, аналогичному тому представлению, которое дается пространством $A_{2 n}$ состояний движения для решений лагранжевой системы (гл. VI. п. 2). $2 n$ канонических переменных $p, q$ истолковываются как декартовы прямоугольные координаты линейного пространства $\Phi_{2 n} 2 n$ измерений, которое, следуя Джиббсу ${ }^{1}$ ), называют фазовым пространством.

В пространстве $\Phi_{2 n}$ всякое решение $p=p(t), q=q(t)$ канонической системы изображается кривой (интегральной), которая, ввиду того, что параметр $t$ представляет собой меру времени, часто называется траекторией. Соответственно возможному выбору $2 n$ произвольных координат, от которых зависит общий интеграл канонической системы, имеется $\infty^{2 n}$ траекторий, из которых одна и только одна проходит через данную точку фазового пространства $\Phi_{2 n}$.
4. Интегралы. Для канонической системы (а также, как известно, и для всякой другой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка) интегралом называется соотношение вида
\[
f(p|q| t)=\text { const, }
\]

которое тождественно удовлетворяется всяким решением системы. Само собой разумеется, что постоянной в правой части надо приписать для всякого отдельного решения подходящее значение, а именно: если $p_{0}, q_{0}, t_{0}$ являются соответствующими начальными значениями величин $p, q, t$, то эта постоянная должна быть положена равной $f\left(p_{0}\left|q_{0}\right| t_{0}\right)$. Иногда интегралом системы называется также сама функция $f(p|q| t)$; однако такую функцию точнее называть инвариантом по той причине, что в фазовом пространстве функция $f(p|q| t)$ сохраняет постоянное значение вдоль всякой траектории.

Заметив это, вспомним, что для лагранжевой системы (1), когда функция \& не зависит от $t$, имеет место (гл. V, п. 43) обобщенный

интеграл энергии
\[
H=\text { const. }
\]

Указанная выше эквивалентность между всякой лагранжевой системой и соответствующей ей канонической системой заставляет нас предполагать, что если функция Гамильтона не зависит явно от $t$, то уравнение (6) в предположении, что $H$ выражена в функции от $p, q$, должно давать интеграл канонической системы.

Полезно дать здесь доказательство этого предложения, потому что оно является прямым следствием одного общего тождества, которое само по себе будет необходимо в дальнейшем. Для того чтобы установить это тождество, заметим, что, какова бы ни была функция $H$, составляя полную. производную этой функции по $t$, будем иметь
\[
\frac{d H}{d t}=\sum_{h=1}^{n}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{h}} \dot{p}_{h}+\frac{\partial H}{\partial q_{h}} \dot{q}_{h}\right)+\frac{\partial H}{\partial t} ;
\]

достаточно принять во внимание каноническую систему (5), чтобы убедиться, что для всякого ее решения тождественно имеем
\[
\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{\partial t} .
\]

Если мы предположим теперь, что функция Гамильтона не зависит явно от $t$, то непосредственно найдем, что для канонической системы существует интеграл (6), который можно также называть обобщенным интегралом энергии.

Другой элементарный тип интеграла мы будем иметь в том случае, когда характеристическая функция $H$ не будет зависеть от какой-нибудь из переменных $q$; действительно, если имеем $\partial H / \partial q_{r}=0$, то из соответствующего уравнения (5) будет следовать, что существует интеграл
\[
p_{r}=\text { const. }
\]

Интегралы этого типа можно называть интегралами обобщенных кинетических моментов или интегралами обобщенных количеств движения; отметим еще, что только это указанное обстоятельство совпадает с результатом, полученным в п. 45 гл. V для лагранжевых систем, когда имеются игнорируемые координаты. Действительно, если функция $\mathcal{L}(q|\dot{q}| t)$ лагранжевой системы не зависит от одной координаты $q_{r}$, то от этой координаты не будут также зависеть обобщенные импульсы
\[
p_{h}=\frac{\partial \Omega}{\partial \dot{q}_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n)
\]

и производные от обобщенных координат
\[
\dot{q}_{h}=u_{h}(p|q| t) \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

получающиеся в результате решения уравнений (2) относительно $q$. Отсюда следует, что не будет зависеть от $q_{r}$ и характеристическая функция $H(p|q| t)$ соответствующей канонической системы, которая получается после подстановки в выражение
\[
\sum_{h=1}^{n} p_{h} \dot{q}_{h}-q(q|\dot{q}| t)
\]

вместо величин $\dot{q}$ их выражений ( $\left.2^{\prime}\right)$.
Обратно, если переменная $q_{r}$ не входит в характеристическую функцию $H(p|q| t)$ канонической системы, то она не войдет и в выражения
\[
\dot{q}_{h}=\frac{\partial H}{\partial p_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

а следовательно, и в выражения
\[
p_{h}=v_{h}(q|\dot{q}| t)
\]

поэтому соответствующая лагранжева функция $Q(q|\dot{q}| t)$, получающаяся (п. 2) посредством подстановки только что указанных значений $p$ в выражение
\[
\sum_{h=1}^{n} p_{h} \dot{q}_{h}-H(p|q| t)
\]

также не будет зависеть от $q_{r}$.
5. Явное выражении в функции гамильтона в динамическом случае. Если функция Лагранжа $\&$ составлена для решения задачи о движении голономной системы, находящейся под действием консервативных сил, то, как известно (гл. V, п. 40),
\[
\mathfrak{\varepsilon}=\dot{T}+\boldsymbol{U} \text {, }
\]

где
\[
T=T_{2}+T_{1}+T_{0}
\]

при
\[
T_{9}=\frac{1}{2} \sum_{\substack{h=1 \\ k=1}}^{n} a_{h k} \dot{q}_{h} \dot{q}_{k}, \quad \dot{T}_{1}=\sum_{h=1}^{n} a_{h} \dot{q}_{h},
\]

причем $T_{0}$, потенциал $U$, а также коэффициенты $a_{h k}, a_{h}$ зависят только от $q$ и, возможно, от времени $t$.

Для того чтобы перейти к выражению функции Гамильтона $H$, определяемой равенством (3), заметим прежде всего, что уравнения (2), определяющие обобщенные импульсы $p$, принимают здесь вид
\[
p_{h}=\sum_{k=1}^{n} a_{h k} \dot{q}_{k}+a_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Если обозначить, как обычно, через $a^{(h k)}$ величину, взаимную с $a_{h k}$ в дискриминанте $\left\|a_{h k}\right\|$ квадратичной формы $T_{2}$ (т. е. алгебраическое дополнение элемента $a_{h k}$, деленное на определитель), то уравнения (10) после разрешения относительно $\dot{q}_{h}$ дадут
\[
\dot{q}_{h}=\sum_{k=1}^{n}\left(a^{(h k)}\left(p_{k}-a_{k}\right) \quad(h=1,2, \ldots, n) .\right.
\]

С другой стороны, по теореме Эйлера имеем
\[
\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial T_{2}}{\partial \dot{q}_{h}} \dot{q}_{h}=2 T_{2}, \sum_{h=1}^{n} \frac{d T_{1}}{\partial \dot{q}_{h}} \dot{q}_{h}=T_{1},
\]

так что справедливо тождество
\[
\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \dot{q}_{h}} \dot{q}_{h}=2 T_{2}+T_{1},
\]

которое в рассматриваемом здесь динамическом случае позволяет придать уравнению (3) вид
\[
H=\left(T_{2}\right)-T_{0}-U,
\]

где $\left(T_{2}\right)$ обозначает функцию от $p, q, t$, получающуюся из $T_{2}$ при помощи подстановки вместо $\dot{q}$ их выражений (10′). Если, в частности, связи не зависят от времени и, следовательно, живая сила $T$ сводится к своей квадратичной части $T_{2}$, то имеем просто
\[
H=(T)-U,
\]
т. е. функция Гамильтона есть не что иное, как полная энергия системы, как это уже отмечалось в п. 43 гл. V.

Теперь остается только выразить явно через $p, q, t$ квадратичную форму $\left(T_{2}\right)$, а для этой цели заметим, что эту форму можно представить в виде
\[
T_{2}=\frac{1}{2} \sum_{h=1}^{n} \dot{q}_{h} \sum_{k=1}^{n} a_{h k} \dot{q}_{k} ;
\]

выполняя первое частичное исключение при помощи формул (10), получаем
\[
T_{2}=\frac{1}{2} \sum_{h=1}^{n} \dot{q}_{h}\left(p_{h}-a_{h}\right) ;
\]

после этого на основании равенств ( $10^{\prime}$ ) заключаем, что
\[
T_{2}=\frac{1}{2} \sum_{\substack{h=1 \\ k=1}}^{n} a^{(h k)}\left(p_{h}-a_{h}\right)\left(p_{k}-a_{k}\right)
\]

и, в частности, в случае не зависящих от времени связей,
\[
(T)=\frac{1}{2} \sum_{\substack{h=1 \\ k=1}}^{n} a^{(h k)} p_{h} p_{k} \text {. }
\]

Подставляя это выражение для ( $T$ ) в равенство (11) или соответственно в (11′), мы увидим, что функция Гамильтона представляет собой квадратичную функцию относительно $p$, вообще говоря, неоднородную, с коэффициентами, зависящими от $q$ и $t$; она становится однородной с коэффициентами, выражающимися только через $q$, когда связи не зависят от времени.

Это новое выражение (12) или (12′) в противоположность первоначальному, представленному в переменных $q, \dot{q}$ (и $t$ ), называется канонической формой квадратичной части $T_{2}$ живой силы или полной живой силы $T$; в этом последнем случае, когда связи не зависят от времени, мы имеем следующее практическое правило: чтобы перейти от выражения $T$ к выражению $(T)$, достаточно написать взаимную с $T$ квадратичную форму, подставляя в нее вместо каждой $\dot{q}_{h}$ соответствующий момент $p_{h}$.

Далее, если живая сила $T$, выраженная через $\dot{q}$, имеет ортогональный вид
\[
\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} a_{i i} \dot{q}_{i}^{3},
\]

то, кроме подстановки переменных, все сведется к замене каждого коэффициента $a_{i i}$ его обратным $1 / a_{i i}$.
6. Примеры. а) В случае, когда свободная точка с массой, равной единице, отнесена к сферическим координатам $p, f$, ९, живая сила определяется равенством
\[
T=\frac{1}{2}\left(\dot{\rho}^{2}+\rho^{2} \dot{\theta}^{2}+\rho^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\varphi}^{2}\right),
\]

так что переменными, сопряженными с $\rho, \theta$, ‘?, будут соответственно
\[
p_{\rho}=\dot{\rho}, \quad p_{\theta}=\rho^{2 \dot{\theta}}, \quad p_{\varphi}=\rho^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\varphi} .
\]

Отсюда непосредственно или замечая, что форма $T$ является ортогональной, и применяя только что.высказанное правило, получим
\[
(T)=\frac{1}{2}\left(p_{\rho}^{3}+\frac{1}{\rho^{2}} p_{\theta}^{2}+\frac{1}{\rho^{2} \sin ^{2} \theta} p_{\varphi}^{2}\right) .
\]

Аналогично, в цилиндрических координатах $r, \varphi, z$ (из которых две первые представляют собой не что иное, как полярные координаты в плоскости $z=0$ ) имеем
\[
T=\frac{1}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}+\dot{z}^{2}\right)
\]

и, следовательно,
\[
(T)=\frac{1}{2}\left(p_{r}^{2}+\frac{1}{r^{2}} p_{\varphi}^{3}+p_{z}^{2}\right) \text {. }
\]
6) В качестве второго примера рассмотрим систему из $N+1^{1}$ ) свободных точек $P_{i}(i=0,1, \ldots, N)$ и примем за лагранжевы параметры $3(N+1)$ соответствующих декартовых прямоугольных координат $\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}$ относительно системы осей $Q \xi_{\eta}$. Обозначив через $m_{i}$ массу точки $P_{i}$, будем иметь
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{N} m_{i}\left(\xi_{i}^{2}+\dot{\eta}_{i}^{3}+\dot{\zeta}_{i}^{2}\right),
\]

так что для сопряженных переменных $\pi_{i}, \%, \rho_{i}$ имеют место выражения
\[
\pi_{i}=m_{i} \dot{\xi}_{i}, \quad \chi_{i}=m_{i} \dot{\eta}_{i}, \quad \rho_{i}=m_{i} \dot{\zeta}_{i} \quad(i=0,1, \ldots, N) ;
\]

эти величины, очевидно, представляют собой проекции количеств движения.

В согласии с последним замечанием предыдущего пункта, канонической формой живой силы будет здесь
\[
(T)=\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{N} \frac{1}{m_{i}}\left(\pi_{i}^{2}+\psi_{i}^{2}+p_{i}^{3}\right) .
\]
в) Рассмотрим, наконец, твердое тело, закрепленное в точке $O$, и примем за лагранжевы координаты углы Эйлера $\theta$,,$\psi$, определяющие положение главных осей инерции относительно точки $O$, неподвижных в теле, по отношению к любой неподвижной системе $O \xi \eta$.

Если обозначим, как обычно, через $p, q, r$ проекции (на оси, неподвижные в теле) угловой скорости $\omega$ тела и через $A, B, C$ главные моменты инерции, то живая сила, как мы уже знаем (гл. IV, п. 10), определится равенством
\[
T=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right) .
\]

Так как $p, q, r$ связаны с лагранжевыми координатами $\theta, \varphi, \psi$ и с их производными известными соотношениями (т. I, гл. III, п. 32,33 )
\[
\begin{array}{ll}
p=\dot{\psi} \sin \theta \sin \varphi+\dot{\theta} \cos \varphi, \\
q=\dot{\psi} \sin \theta \cos \varphi-\dot{\theta} \sin \varphi, \\
r & \quad \dot{\theta} \cos \theta+\dot{\varphi},
\end{array}
\]

то мы видим, что квадратичная форма $T$ относительно $\dot{\theta}, \dot{\varphi}, \dot{\psi}$ не будет, как в случаях (а) и (б), ортогональной; поэтому для перехода к канонической форме ( $T$ ) здесь необходимо обратиться к общему приему исключения.
Если введем направляющие косинусы
\[
\gamma_{1}=\sin \theta \sin \varphi, \quad \gamma_{2}=\sin \theta \cos \varphi, \quad \gamma_{3}=\cos \theta
\]

неподвижной оси $\zeta$ относительно осей, неподвижных в теле, то переменные $p_{\theta}, p_{\varphi}, p_{\phi}$, сопряженные с $\theta, \varphi, \psi$ (на основании уравнения (13) и только что приведенных выражений для $p, q, r$ ), будут определяться равенствами
\[
\left.\begin{array}{l}
p_{\theta}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}=A p \cos \varphi-B q \sin \varphi, \\
p_{\varphi}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=C r, \\
p_{\psi}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=A p \gamma_{1}+B q \gamma_{2}+C r \gamma_{3} ;
\end{array}\right\}
\]

отсюда, полагая для простоты письма
\[
\sigma=\frac{p_{\psi}-p_{\varphi} \cos \theta}{\sin \theta},
\]

получим
\[
\left.\begin{array}{l}
A p=p_{\theta} \cos \varphi+\sigma \sin \varphi, \\
B q=-p_{\theta} \sin \varphi+\sigma \cos \varphi, \\
C r=p_{\varphi}
\end{array}\right\}
\]

и по пе подстановки в выражение (13) найдем
\[
(T)=\frac{1}{2}\left\{\frac{\left(p_{\theta} \cos \varphi+\sigma \sin \varphi\right)^{3}}{A}+\frac{\left(p_{\theta} \sin \varphi-\sigma \cos \varphi\right)^{2}}{B}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{C}\right\} .
\]
7. Теорема Дирихлв. Вернемся на один момёнт к теореме Дирихле, имея в виду эту теорему как для динамического (гл. VI, п. 5), так и для общего (гл. VI, п. 17) случая.

В синтетических доказательствах этой теоремы, в только что упомянутых пунктах, мы обращались к пространству $A_{\text {gn }}$ состояний

движения, т. е. к пространству, в хотором переменные Лагранжа $q, \dot{q}$ истолковывались как декартовы прямоугольные координаты. Теперь на основании соотношений (2) или эквивалентных им соотношений ( $2^{\prime}$ ) мы имеем одно-однозначное соответствие между этим пространством $A_{2 n}$ и фазовым пространством $\Phi_{2 n}$; если примем во внимание, что свойство какой-нибудь функции иметь минимум остается инвариантным по отношению ко всякому такому соответствию, то увидим, что синтетическое доказательство теоремы Дирихле, указанное в пп. 6,17 гл. VI, можно повторить без существенных изменений относительно координат $p, q$.