11. Двойным маятником называют систему с двумя степенями свободы, которая получается в результате соединения двух маятников посредством различных связей (твердых, упругих, электромагнитных и т. п.). С этими системами возможны различные интересные опыты. В частности, малые колебания двойных маятников в окрестности их положения устойчивого равновесия дают очень наглядное представление (механические модели) важных оптических и акустических явлений: интерференции и биения (см., в частности, упражнение 6 предыдущей главы).
Мы ограничимся здесь рассмотрением так называемого вертикального ${ }^{1}$ ) двойного маятника, который можно схематически осуществить следующим образом.
К тяжелому твердому телу $S_{1}$, которое может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси $a_{1}$, присоединяется другое тяжелое твердое тело $S$, которое в свою очередь может вращаться вокруг оси $a$, неизменно связанной с $S_{1}$ и параллельной $a_{1}$. При этом предполагается, что плоскость двух осей $a_{1}$ и $a$ содержит центр тяжести $G_{1}$ тела $S_{1}$ (основной маятник) и вертикальная плоскость, перпендикулярная к $a_{1}$ и проходящая через $G_{1}$, содержит центр тяжести $G$ тела $S$ (второй маятник).
Очевидно, что речь идет о системе с двумя степенями свободы. Обозначим соответственно через $O, O_{1}$ точки пересечения осей $a$ и $a_{1}$ с указанной выше перпендикулярной $\mathbf{к}$ ним плоскостью, проходящей через $G$ и $G_{1}$ (плоскость прилагаемой фигуры 3). За обобщенные координаты двойного маятника мы примем углы $?$ и $\varphi_{1}$ отклонения от вертикали отрезков $O G$ и $O_{1} G_{1}$, измеряемые в одном и том же направлении от нисходящих вертикалей, проходящих через точки $O$ и $O_{1}$.

Так как имеется в виду изменяемая система с двумя степенями свободы, то два дифференциальных уравнения, необходимых для

определения движения двойного маятника, можно было бы вывести из основных уравнении, замечая, что для системы тел $S, S_{1}$ coxpaняет свое значение теорема об осевом моменте количеств движения относительно оси $a_{1}$
\[
\frac{d K_{a_{1}}}{d t}=M_{a_{1}} .
\]

С другой стороны, ко второму маятнику $S$, вращающемуся вокруг оси $a$, которая перемещается параллельно самой себе, можно было бы применить теорему моментов в скалярной форме относительно этой оси $a$, вытекающую из уравнения (7) п. 17 гл. V. Мы обратимся, однако, к уравнениям Лагранжа, которые здесь имеют вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}-\frac{\partial T}{\partial \varphi}=Q, \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}_{1}}-\frac{\partial T}{\partial \varphi_{1}}=Q_{1},
\]

где, как мы знаем, $T, Q, Q_{1}$ обозначают соответственно живую силу двойного маятника и составляющие активных сил по лагранжевым координатам $\varphi$ и $\varphi_{1}$ (обобщенные силы). Следовательно, все сводится к выражению через $\varphi$ и $\varphi_{1}$ и через их производные по времени живой силы $T$ и последующему определению аналогичных выражений для обобщенных сил $Q$ и $Q_{1}$.
Полагая
\[
O_{1} G_{1}=r_{1}, \quad O G=r, \quad O_{1} O=\lambda,
\]

заметим прежде всего, что живая сила тела $S_{1}$ определяется выражением (гл. IV, п. 10)
\[
\frac{1}{2} A_{1} \dot{\varphi}_{1}^{2},
\]

где через $A_{1}$ обозначен момент инерции тела $S_{1}$ относительно неподвижной оси $a_{1}$, в то время как для определения живой силы твердого тела $S$, вращающегося около подвижной оси $a$, совершающей поступательное движение, надо обратиться к теореме Кёнига (гл. IV, п. 8). Если обозначим через $m$ массу тела $S$, через $A$ – его момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести и параллельной $a$, и через $v$-скорость его центра тяжести $G$, то эта теорема дает следующее выражение для живой силы тела $S$ :
\[
\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} A \dot{\varphi}^{3}
\]

так что остается вычислить только скорость $v$. Эта постоянная скорость равна сумме абсолютной скорости точки $O$ и относительной скорости точки $G$ по отношению к $O$ ). Обе эти составляющие скорости, перпендикулярные в плоскости фигуры соответственно к $O_{1} O$ и $O G$, определяются по величине и по знаку (относительно

положительных перпендикуляров $n_{1}$ и $n$ к $O_{1} O$ и $O G$ ) выражениями $\lambda \dot{\varphi}_{1}$ и $\dot{\varphi}$. Поэтому, складывая геометрически эти скорости и принимая во внимание, что с точностью до чисел, кратных $2 \pi$, имеем
\[
n_{1} n=\widehat{n_{1} O_{1} O}-\varphi_{1}+\varphi+\widehat{G O n}=\varphi-\varphi_{1},
\]

получим
\[
v^{2}=r^{2} \dot{\varphi}^{3}+\lambda^{2} \varphi_{1}^{2}+2 r \lambda \dot{\varphi}_{1} \dot{\varphi}_{1} \cos \left(\varphi-\varphi_{1}\right) ;
\]

теперь для живой силы $T$ двойного маятника получаем выражение
\[
T=\frac{1}{2} A \dot{\varphi}^{2}+\frac{1}{2} A_{1} \dot{\varphi}_{1}^{2}+\frac{1}{2} m v^{2} .
\]

Что же касается действующих сил, то ограничимся наиболее естественным случаем, когда двойной маятник находится под действием только силы тяжести. Речь идет, следовательно, о консервативной силе, имеющей потенциал
\[
U=m_{1} g z_{1}+m g z
\]

где
\[
z_{1}=r_{1} \cos \varphi_{1}, \quad z=x \cos \varphi_{1}+r \cos \varphi .
\]

Вставляя значения $z_{1}$ и $z$, находим для $U$ выражение через $\varphi$ и $\varphi_{1}$
\[
U=m_{1} g r_{1} \cos \varphi_{1}+m g\left(\lambda \cos \varphi_{1}+r \cos \varphi\right),
\]

откуда
\[
Q=\frac{\partial U}{\partial \varphi}=-m g r \sin \varphi_{1} Q_{1}=\frac{\partial U}{\partial \varphi_{1}}=-\left(m_{1} r_{1}+m \lambda\right) g \sin \varphi_{1} .
\]

Теперь мы имеем все необходимое для того, чтобы дать явную форму уравнениям движения тяжелого двойного маятника (10).

Отказываясь здесь от интегрирования этих уравнении, мы ограничимся приложением их к разбору одной частной задачи, а именно к отысканию условий, при которых оба маятника движутся с постоянной разностью фаз, т. е. так, как если бы они составляли одну неизменяемую систему.

Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы из уравнений движения двойного маятника в лагранжевой форме в любой момент во время движения получалось $\varphi_{1}=\varphi+\psi$ (где $\psi=$ const), если только это условие было удовлетворено в начальный момент. Далее, выражая, что уравнениям (10), после приведения их к явному виду посредством соотношений (11), (12), (13), можно будет удовлетворить, если положить в них $\varphi_{1}=p+\psi$, мы увидим, что для того, чтобы оба маятника колебались с постоянной разностью фаз, необходимо и достаточно, чтобы џ имело величину

нуль и чтобы удовлетворялись тождественно два уравнения
\[
\begin{array}{c}
{[A+m r(r+\lambda)] \ddot{\varphi}+m g r \sin \varphi=0,} \\
{\left[A_{1}+m \lambda(r+\lambda)\right] \ddot{\varphi}+\left(m_{1} r_{1}+m \lambda\right) g \sin \varphi=0,}
\end{array}
\]

каждое из которых имеет форму уравнения колебаний простого маятника (гл. I, п. 34); ясно, что для этой цели необходимо и достаточно, чтобы тождественно имело место соотношение
\[
\left|\begin{array}{ll}
A+m r(r+\lambda) & m g r \\
A_{1}+m \lambda(r+\lambda) & m_{1} r_{1}+m \lambda
\end{array}\right|=0 .
\]

Этому условию, заключающему в себе только структурные элементы (геометрические и материальные) двух тел $S_{1}$ и $S$, составляющих двойной маятник, можно придать более простой вид, если рассматривать оба эти тела как два физических маятника с осями подвеса $a_{1}$ и $a$ и ввести соответствующие приведенные длины $l_{1}$ и $l$ (п. 6), определяемые соответственно равенством
\[
l_{1}=\frac{A_{1}}{m_{1} r_{1}}
\]

и, так как $A$ есть центральный момент инерции, равенством
\[
l=\frac{A}{m r}+r \text {. }
\]

При этих обозначениях условие (14) постоянного совпадения фаз двух маятников, разрешенное относительно $\lambda$, принимает вид
\[
\lambda=\frac{l_{1}-l}{1+\frac{m}{m_{1}} \frac{l}{r_{1}}},
\]

когда масса $m$ второго маятника ничтожна по сравнению с массой $m_{1}$ главного маятника. Это условие приближенно сводится к равенству
\[
\lambda=l_{1}-l \text {. }
\]

Замечательный пример двойного маятника мы имеем в колоколе. При исследовании особенностей поведения одного колокола Вельтману пришлось развить предыдущие теоретические выводы ${ }^{1}$ ). В 1876 г. в Кёльне имел место случай, на первый взгляд очень странный, — не удавалось заставить звонить большой колокол, только что подвешенный тогда на башне собора: когда пытались звонить, язык совершал относительно колокола столь малые колебания, что не удавалось произвести удара, хотя язык и был достаточно длинен

для того, чтобы достать до стенок колокола. Вельтман на основе предыдущих рассуждений установил, что для этого колокола $l_{1}-l=65,3$ см и $\lambda=66,7$ см, так что при ничтожности массы языка по сравнению с массой колокола приближенное равенство фаз для колокола и языка было обнаружено из совпадения, хотя и грубого, $l_{1}-l$ с $\lambda$.

Другой пример применения в технике тяжелого двойного маятника осуществляется плавающими маяками, у которых главным маятником является поплавок, а вторым маятником – фонарь.