17. Геометрические замечания. К другой известной задаче, обобщающей как ту, так и другую из задач, исследованных в $\S \$ 1$ и 2 , мы придем, рассматривая твердое тело, ограниченное поверхностью

вращения, которое движется исключительно под действием силы тяжести, опираясь на горизонтальный твердый пол.

Обратимся сначала к некоторым предварительным геометрическим соображениям. Пусть мы имеем некоторую плоскую кривую $C$ (фиг. 27), отнесенную к прямоугольным осям $G y_{0} z_{0}$, причем за положительное направление вращения вокруг точки $G$ плоскости $y_{0} z_{0}$ принимается то, которое идет от оси $y_{0}$ к оси $z_{0}$ (через прямой угол).4 Обозначим через $y_{0}, z_{0}$ координаты произвольной точки $O$ кривой, через $G P$ – перпендикуляр, опущенный из $G$ на касательную в точке $O$, через $\theta$ – угол оси $G z_{0}$ относительно направленной прямой $G P$ и через $h$-расстояние (положительное) $G P$. Относя, если необходимо, наши рассуждения к надлежащим образом ограниченной дуге кривом $C$, мы можем принять угол $\theta$ за параметр, пригодный для определения положения произвольной точки $O$ кривой, благодаря чему $y_{0}, z_{0}$ и $h$ можно рассматривать как однозначные функции угла $\theta$, определяемые геометрической природой кривой $C$. Далее, так как направляющие косинусы касательной в точке $O$ пропорциональны соответствующим значениям производных $y_{0}^{\prime}, z_{0}^{\prime}$ функции $y_{0}, z_{0}$ по $\theta$, а направляющие косинусы полупрямой $G P$, параллельной нормали, равны $\sin \theta, \cos \theta$, мы для произвольной точки $O$ будем иметь
\[
y_{0}^{\prime} \sin \theta+z_{0}^{\prime} \cos \theta=0 \text {. }
\]

С другой стороны, проектируя вектор $\overrightarrow{G O}$ на направление $G P$, получим
\[
y_{0} \sin \theta+z_{0} \cos \theta=h .
\]

Отсюда, принимая во внимание равенство (31), в результате дифференцирования по $\theta$ получим
\[
y_{0} \cos \theta-z_{0} \sin \theta=h^{\prime} .
\]

Левая часть этого равенства, взятая с обратным знаком, представляет собой проекцию вектора $\overrightarrow{G O}$ на направленную прямую, образующую с осью $y_{0}$ угол $\pi-\theta$. Поэтому – $h^{\prime}$ есть абсцисса точки $P$ относительно точки соприкосновения $O$, причем положительным направлением абсциссы будет направление, указанное на фигуре.
Решая бба последних уравнения относительно $y_{0}, z_{0}$, получим
\[
\left.\begin{array}{l}
y_{0}=h \sin \theta+h^{\prime} \cos \theta \\
z_{0}=h \cos \theta-h^{\prime} \sin \theta
\end{array}\right\}
\]

эти равенства представляют собою, если предполагается известным выражение $h$ через $\theta$, параметрические уравнения кривой $C$ (или, по крайней мере, той ее дуги, которую мы условились рассматривать) в функции параметра $\theta$.

Так, например, если $C$ есть дуга окружности с радиусом \&, имеющей центр $Q$ на оси $G z_{0}$ и именно в точке с координатами $\mathrm{O}, p$, то, проектируя ломаную $G Q O$ на $G P$, получим
\[
h=\rho \cos \theta+\varepsilon \text {, }
\]

откуда следует
\[
h^{\prime}=-\rho \sin \theta ;
\]

достаточно подставить эти значення $h$ и $h^{\prime}$ в уравнения (33), чтобы иметь параметрические уравнения дуги окружности. Необходимо заметить, что уравнения (33) остаются в силе и в предельном случае, когда при \&, стремящемся к нулю, дуга окружности сводится к точке.

Возвращаясь, наконец, к общему случаю, заметим, что если рассматривается система осей $O y^{\prime} z^{\prime}$, соответственно параллельных осям $G y_{0} z_{0}$ и направленных в обратную сторону, то $y_{0}, z_{0}$ можно истолковать как координаты точки $G$ относительно новой системы.
18. СЛУЧаЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА с КРУГЛЫМ ОСНОВАНИЕМ (и, в чАСТНОСТИ, случай диска). Если $y_{0}, z_{0}$, вместо того чтобы изменяться в зависимости от угла $\theta$, остаются постоянными (положительными) при изменении $\theta$, то мы, очевидно, имеем случай твердого тела с круглым основанием, соприкасающегося с плоскостью в некоторое, вполне определенной относительно осей $G y_{0} z_{0}$ точке; при движении тела точка касания перемещается вдоль окружности, неподвижной в теле с радиусом $a=y_{0}$. Для диска, кроме того, имеем еще $z_{0}=0$. Во всяком случае всегда остаются в силе уравнения (31), (32) и другие, установленные ранее, формулы.
19. Система отсчета для тела вРащения. После этих предварительных замечаний обратимся к телу вращения вокруг оси $z$, имеющему по отношению к этой оси гироскопическую структуру, что обязательно будет иметь место, если симметрия относительно оси $z$ будет не только геометрической, но также и материальной; предположим, что тело может свободно двигаться, опираясь на горизонтальную плоскость $\pi$. Если $O$ есть точка, в которой в некоторый момент происходит соприкосновение между телом и опорной плоскостью, а $G$ есть центр тяжести твердого тела, необходимо лежащий на оси симметрии $z$, то плоскость меридиана $O z$, проходящая через точку соприкосновения, обязательно будет вертикальной, как плоскость, перпендикулярная к касательной в точке $O$ к параллели твердого тела, лежащей в плоскости $\pi$.

Для постановки задачи о движении рассматриваемого нами тела вращения введем и здесь три системы осей: систему (неподвижную)

$Q \xi \eta$, плоскость $\xi \eta$ которой совпадает с опорной плоскостью и ось $\zeta$ (вертикальная) направлена вверх, систему Gxyz, неподвижную в теле, в которой, ограничивая, если необходимо, наши исследования подходящим промежутком времени, будем предполагать ось $z$ (гироскопическую для твердого тела) направленной вверх от опорной плоскости, и, наконец, систему $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$, которую будем называть также стереонодальнои, поскольку мы предполагаем, что ось $O z^{\prime}$ параллельна $G z$ и ось $O x^{\prime}$ представляет собой касательную к параллели твердого тела, проходящей через точку $O$, и, следовательно, параллельна линии узлов системы Gxyz oтносительно неподвижной системы. Отсюда следует, что ось $O y^{\prime}$ лежит в вертикальной меридианном плотности $O G z$ и перпендикулярна к $G z$.

Пересечение поверхности тела с этой вертикальной плоскостью $O G z$ дает как раз кривую, изображенную на фиг. 28 предыдущего пункта, которую мы воспроизводим здесь (фиг. 28), упраздняя оси $G y_{0} z_{0}$, теперь уже бесполезные; заметим, что первую стереонодальную ось $O x^{\prime}$ надо полагать перпендикулярной к плоскости фигуры и направленной так, чтобы система $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ была правой.

Рассмотренный в предыдущем пункте угол $\theta$ является здесь третьим углом Эйлера (или углом нутации) системы, неподвижной в теле (и также углом нутации стереонодальной системы), относительно неподвижной системы; координатами же центра тяжести $G$ относительно стереонодальных осей будут $0, y_{0}, z_{0}$, где . $y_{0}, z_{0}$ суть функции угла $\theta$, определяемые уравнениями (33) (п. 17), если при этом в качестве функции $h(\theta)$ берется функция, соответствующая меридианной кривой рассматриваемого здесь твердого тела вращения.

Заметим, наконец, что гироскопическое тело с круглым основанием (п. 18) представляет собой предельный случай рассмотренного здесь тела вращения, когда при наличии острого кругового ребра соприкосновение с опорной плоскостью может происходить только в точках некоторой окружности. В этом случае $y_{0}, z_{0}$, очевидно, будут постоянными (т. е. не зависящими от $\theta$ ).
20. ДВИЖЕНИЕ ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ В СЛУЧАЕ ОтСуТствия трения. Каковы бы ни были силы, действующие на твердое тело, движение его и в этом случае определяется, как обычно, основными уравнениями. Ограничиваясь, как было сказано вначале, случаем, когда приложенной силой является исключительно сила тяжести, мы покажем прежде всего, что в том случае, когда опорная плоскость абсолютно гладкая, задача может быть сведена к квадратурам.

Из первого основного уравнения
\[
\frac{d Q}{d t}=R,
\]

вследствие того, что результирующая сила $R$, равно как и ее составляющие (вес и реакция опоры), вертикальна, мы видим, что горизонтальная составляющая производной $d Q / d t$ будет все время равна нулю; поэтому горизонтальная составляющая количества движения $\boldsymbol{Q}$ будет постоянна, а следовательно, на основании тождества $\boldsymbol{Q}=m v_{G}$ (гл. IV, п. 12) будет постоянна и горизонтальная составляющая скорости $v_{G}$ центра тяжести. Таким образом, при отсутствии трения горизонтальная проекция $P$ центра тяжести движется прямолинейно и равномерно.

Рассмотрим сначала случай, когда эта проекция остается неподвижной и примем ее за начало $Q$ неподвижных осей. Если обозначим через $N$ нормальную реакцию ороры. (представляющую собой, благодаря отсутствию трения, полную реакцию) и вспомним, что высота центра тяжести есть $h$, то, проектируя уравнение (36) на вертикаль $\zeta$, мы будем иметь скалярное уравнение
\[
m \ddot{h}=-m g+N,
\]

которое вследствие того, что $h$ есть известная функция от $\theta$, даст реакцию для любого момента времени, как только удастся определить параметр $\theta$ в функции от времени.

Возьмем для этой цели второе основное уравнение, которое, если за центр моментов принять центр тяжести, принимает в этом случае свой наиболее простой вид
\[
\frac{d K}{d t}=M
\]

обозначим, как обычно, через $A$ и $C$ главные моменты инерции (экваториальный и осевой) твердого тела относительно центра тяжести и через $p, q, r$-проекции угловой скорости $\omega$ твердого тела на стереонодальные оси $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ или, что все равно, на оси $G x \bar{z} \bar{z}$, с началом в центре тяжести и одинаково направленными с осями $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ (эта система $G \bar{x} \bar{y} \bar{z}$, как бы ни были расположены в теле оси $\bar{x}, \bar{y}$, всегда состоит из главных осей инерции). Так как линии действия силы тяжести и реакции пересекают ось $z$, то уравнение (37) после проектирования на эту ось, как и в случае тяжелого гороскопа, дает
\[
\dot{C} \dot{r}=0,
\]

откуда и следует постоянство проекции угловой скорости $r$, т. е. первый интеграл $r=r_{0}$.

Далее, вместо того, чтобы проектировать уравнение. (37) на экваториальную плоскость, мы обратимся к интегралам живых сил и моментов относительно вертикали
\[
T-U=E, \quad K_{\mathrm{t}}=c,
\]

которые, очевидно, существуют также и в этом случае. Для того чтобы написать их в явной форме, заметим, что потенциал, если предположить его равным нулю в опорной плоскости, определяется равенством
\[
U=-m g h
\]

с другой стороны, если, как обычно, обозначим через $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ направляющие косинусы вертикальной оси $\zeta$ относительно системы осей $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$, то будем иметь
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2} m \dot{h}^{2}+\frac{1}{2}\left(A\left[p^{2}+q^{2}\right]+C r_{0}^{3}\right), \\
K_{\zeta}=A\left(p \gamma_{1}+q \Upsilon_{2}\right)+C_{\gamma_{3}} r_{0} .
\end{array}
\]

Теперь $\gamma_{1}=0, \gamma_{2}=\sin \theta, \gamma_{3}=\cos \theta$ и при заданной гироскопической структуре твердого тела относительно этой стереонодальной системы будут иметь место уравнения (20) п. 9, так что, рассматривая $h$ как функцию от $t$ через посредство $\theta$, обоим первым интегралам (38) можно придать вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{\theta}^{2}\left(A+m h^{2}\right)+A \sin ^{2} \theta \dot{\psi}^{2}+2 m g h=E, \\
A \dot{\psi} \sin ^{2} \theta+C r_{0} \cos \theta=c . \\
\end{array}
\]

где для краткости положено $2 E-C r_{0}^{2}=E_{1}$. Достаточно исключить из этих уравнений $\dot{\psi}$, чтобы видеть, что угол нутации $\theta$ определяется в функции от времени уравнением известного типа
\[
i^{2}=\Phi(\theta),
\]

которое, как мы уже знаем, интегрируется в квадратурах; после этого на основании уравнений (20) посредством квадратур определяются все остальные неизвестные величины задачи.

Заметим, без доказательства, что всякий раз, как высота $h$ центра тяжести будет рациональной функцией от $\sin \theta$ и $\cos \theta$, квадратура при интегрировании уравнения (41) сведется к гиперэллиптической, если за неизвестную функцию примем $\operatorname{tg} \theta / 2$; таким, в частности, будет случай, когда $h$ выражено формулой (34), которая справедлива для обыкновенного волчка как в том предельном случае, когда он опирается на плоскость в одной точке ( $\varepsilon=0$ ), так и в том случае, когда его основание представляет собой полусферу.

Как бы то ни было, при всяком движении твердого тела, когда проекция $P$ центра тяжести на опорную плоскость остается

неподвижной, гироскопическая ось $\boldsymbol{z}$, в то время как проходящая через нее вертикальная плоскость вращается вокруг вертикали, совершает периодическое нутационное движение между двумя крайними значениями углов $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$, представляющими собой простые нули функции $\Phi(\theta)$ (если бы начальные условия соответствовали двойному нулю функции $\Phi(\theta)$, то мы имели бы снова движение прецессионного характера).
21. Перейдем теперь к случаю, когда проекция $P$ центра тяжести на опорную плоскость не остается неподвижной, а движется прямолинейно и равномерно. В этом предположении систему $P \xi_{1} \eta_{1} \zeta_{1}$ с началом в $P$ и осями, параллельными неподвижным осям $\xi, \eta, \zeta$ и одинаково направленными с ними, можно рассматривать как галилееву систему, так что относительно нее остаются в силе основные уравнения в представленной в предыдущем пункте форме. Поэтому можно сказать, что относительно этих новых осей опорная плоскость находится в прямолинейном и равномерном поступательном движении, противоположном действительному движению точки $P$; но так как эта плоскость по предположению абсолютно гладкая, то ее движение никоим образом не влияет на реакцию в точке $O$; поэтому относительно осей $P \xi_{1} \eta_{1} \zeta_{1}$ остаются в силе все заключения и рассуждения предыдущего пункта.
22. ДЕйствие трения. После этого первого схематического разбора задачи, имеющего чисто теоретический характер, мы рассмотрим ее снова в виде, лучше соответствующем действительности, принимая во внимание трение.

Чтобы обнаружить наиболее существенные обстоятельства, нет необходимости давать полную явную форму уравнениям движения. Достаточно спроектировать основное уравнение моментов на вертикаль $\zeta$ и на гироскопическую ось $z$ твердого тела. Для того чтобы сохранить для этого уравнения его более простой вид. (37), удобно также и здесь принять за центр моментов центр тяжести, благодаря чему момент веса будет равен нулю. Поэтому момент $M$ сведется к моменту реакции, которая в этом случае наряду с нормальной составляющей будет иметь и касательную составляющую (сила трения). Обозначая через $\Xi, H, Z$ проекции реакции (полной) Ф на стереонодальные оси $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$ и принимая во внимание, что координаты центра моментов $G$ равны $0, y_{0}, z_{0}$, мы найдем для проекций момента $\boldsymbol{M}=\overrightarrow{G O} \times \Phi$ на оси $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ и на вертикаль $\zeta$ выражения
\[
\begin{array}{c}
M_{x^{\prime}}=z_{0} \mathrm{H}-y_{0} \mathrm{Z}, M_{y^{\prime}}=-z_{0} \Xi, M_{z^{\prime}}=y_{0} \Xi, \\
M_{\zeta}=\gamma_{1} M_{x^{\prime}}+\Upsilon_{2} M_{y^{\prime}}+\gamma_{3} M_{z^{\prime}},
\end{array}
\]

последнее из которых, если приннть во внимание предыдущие три равенства, $\gamma_{1}=0, \gamma_{3}=\sin \theta, \gamma_{3}=\cos \theta$, а также уравнение (32′) п. 17 , принимает вид
\[
M_{\vartheta}=\left(y_{0} \cos \theta-z_{0} \sin \theta\right) \Xi=h^{\prime} \Xi .
\]

После этого, проектируя основное уравнение (37) на вертикаль (неподвижную) $\zeta$ и на гироскопическую ось $z$, мы получим уравнения
\[
\dot{K}_{r}=h^{\prime} \Xi, \quad \dot{C r}=y_{0} \Xi ;
\]

исключая $E$, приходим к уравнению
\[
y_{0} \dot{K}_{\varphi}-C h^{\prime} \dot{r}=0 \text {, }
\]

где, конечно, вместо $y_{0}$ надо подставить его выражение через $\theta$, получающееся из первого из уравнений (33); для $K_{\zeta}$ остается еще справедливым выражение, получающееся из левой части уравнения (40), если заменить в нем $r_{0}$ на $r$, так что имеем
\[
K_{\varphi}=A \dot{\psi} \sin ^{2} \theta+C r \cos \theta .
\]

До тех пор пока не сделано никакого определенного предположения о форме тела, т. е., по существу, о виде функции $h(\theta)$, уравнение (42) не может быть проинтегрировано непосредственно. В случае волчка с округленным основанием (ножка, оканчивающаяся полусферой) имеем (п. 17)
\[
h=\rho \cos \theta+\varepsilon, \quad h^{\prime}=-\rho \sin \theta, \quad y_{0}=\varepsilon \sin \theta,
\]

так что уравнение (42), если предположить, что $\sin \theta>0$ (т. е. если исключить случай, когда ось волчка расположена вертикально), принимает непосредственно интегрируемую форму
\[
\varepsilon \dot{K}_{s}+C_{\rho} \dot{r}=0 .
\]

Интегрируя от начального момента $t_{0}$ до любого момента $t$ и пользуясь обычным значением символа конечного приращения, мы получим выражение
\[
\varepsilon \Delta K_{\varphi}+C_{p} \Delta r=0,
\]

которое приводит к замечательному заключению, когда речь идет о волчке, приведенном в очень быстрое вращательное движение и предоставленном самому себе на горизонтальном полу под некоторым, не равным нулю, углом $\theta_{0}$, но без прецессионной скорости $\left(\psi_{0}=0\right)$. Для промежутка времени, в течение которого угловая скорость $\dot{\psi}$ остается ничтожной по сравнению с $r$, на основании уравнения (43) приблизительно будем иметь
\[
K_{\zeta}=C r \cos \theta_{i}
\]

так что уравнение (44) приведется к некоторому соотношению между одновременными конечными приращениями величин $r$ и $\theta$
\[
\varepsilon \Delta(r \cos \theta)=-p \Delta r .
\]

Так как мы допустили, что точка соприкосновения ножки волчка с плоскостью не лежит на оси ( $\theta_{0} \gtreqless 0$ ) и что, с другой стороны, движение твердого тела мало отличается от простого вращения с значительной угловой скоростью около оси $G z$, то очевидно, что трение, действуя в любой момент в направлении, прямо противоположном скорости точки волчка, приходящей в соприкосновение с плоскостью, стремится уменьшить величину $|r|$ угловой скорости вращения. Если предположим для определенности $r>0$, то будем иметь $\Delta r<0$ и потому на основании соотношения (44′) будет
\[
\Delta(r \cos \theta)>0 ;
\]

отсюда, так как произведение $r \cos \theta$, как доказано, возрастает, а первый множитель убывает, мы заключаем, что в моменты, непосредственно следующие за начальным, $\cos \theta$ возрастает, т. е. угол нутации $\theta$ начинает убывать. Таким образом, если имеют место указанные выше начальные условия, то влияние трения в начале движения проявляется в том, что ось волчка приближается к вертикали, направленной вверх (стремится выпрямиться).

Для того чтобы иметь представление количественного характера o соотношении между этим выпрямлением оси и одновременным замедлением вращения вокруг этой оси, мы применим соотношение $\left(44^{\prime}\right)$ к числовому случаю. Д.я этой цели заметим сначала, что для относительной потери угловой скорости
\[
\lambda=\frac{r_{0}-r}{r_{0}}
\]

из формулы (44′) мы получим выражение
\[
\lambda=\frac{\varepsilon\left(\cos \theta-\cos \theta_{0}\right)}{\varepsilon \cos \theta+\rho} ;
\]

поэтому полное выпрямление оси ( $\theta=0$ ) сопровождается относительной потерей скорости
\[
\lambda=\frac{\varepsilon\left(1-\cos \theta_{0}\right)}{s+p} .
\]

Если, например, предположим $\varepsilon=3$ мм $\rho=5$ см, $\theta_{0}=45^{\circ}$, то приблизительно найдем
\[
\lambda=0,014 \text {. }
\]

Мы видим, таким образом, что явление, происходящее от трения об опорную плоскость, будет резко бросаться в глаза, потому что при выпрямлении волчка угловая скорость испытывает почти незаметное уменьшение: немного больше одной сотой его начальной величины,

23. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В СЛУЧАЕ ЧИСТОГО КАЧЕНИЯ. В заключение, возвращаясь к случаю твердого тела вращения с каким угодно меридианным сечением, обладающего гироскопической структурой, приведем здесь в явном виде уравнения, определяющие его движение, предполагая, что это движение происходит без скольжения.

В этом случае, так же как и в случае диска или тела гироскопической структуры с круглым основанием, закон движения вполне определяется вторым основным уравнением, если только за центр приведения в любой момент принимается та точка твердого тела, которая в этот момент совпадает с точкой соприкосновения тела с плоскостью. Вследствие этого автоматически исключается неизвестная реакция $\Phi$ и основное уравнение моментов принимает вид (гл. V, п. 17)
\[
\dot{K}+\omega^{\prime} \times K+\boldsymbol{v}^{\prime} \times \boldsymbol{Q}=-\overrightarrow{O G} \times m g \boldsymbol{x},
\]

где $\omega^{\prime}$ обозначает угловую скорость стереонодальноћ системы $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$, относительно которой взята производная $\dot{\boldsymbol{K}}$, а $\boldsymbol{v}^{\prime}$ обозначает скорость (абсолютную), которую в любой момент имеет точка соприкосновения $O$. Если примем во внимание, что координаты центра тяжести суть $0, y_{0}, z_{0}$, то для моментов инерции и моментов девиации (центробежных моментов) относительно стереонодальной системы найдем выражения
\[
\begin{array}{c}
A_{1}=A+m\left(y_{0}^{2}+z_{0}^{2}\right), \quad B_{1}=A+m z_{0}^{2}, \quad C_{1}=C+m y_{0}^{2}, \\
A_{1}^{\prime}=m y_{0} z_{0}, \quad B_{1}^{\prime}=C_{1}^{\prime}=0,
\end{array}
\]

формально аналогичные выражениям (16), (17) п. 18 , но с тем существенным различием, что здесь $y_{0}, z_{0}$ более уже не являются постоянными, а зависят согласно уравнениям (33) от $\theta$ и, следовательно, от времени.

Отсюда, применяя, как в п. 8 , общие формулы (29′), п. 15 гл. IV, найдем составляющие векторов $\boldsymbol{Q}$ и $\boldsymbol{K}$ в виде
\[
\begin{array}{l}
Q_{x^{\prime}}=m\left(z_{0} q-y_{0} r\right), \quad Q_{y^{\prime}}=-m z_{0} p, \quad Q_{z^{\prime}}=m y_{0} p, \\
K_{x^{\prime}}=A_{1} p, \quad K_{y^{\prime}}=B_{1} q-m y_{0} z_{0} r, \quad K_{z^{\prime}}=C_{1} r-m y_{0} z_{0} q .
\end{array}
\]

С другой стороны, для того чтобы иметь выражение абсолютной скорости $\boldsymbol{v}^{\prime}$ точки $O$ (центра моментов), заметим прежде всего, что ее можно рассматривать так же, как скорость самой точки $O$, относительно осей, неподвижных в теле. Достаточно вспомнить теорему сложения скоростей и принять во внимание, что на основании предположения о чистом качении переносная скорость точки $O$ равна нулю.

Заметив это, введем временно систему $G \bar{x} \bar{y} z$ с началом в точке $G$ и с направлениями осей такими же, как и в стереонодальной системе

$O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$, т. е. с единичными векторами $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$, и примем во внимание, чю на основании теоремы сложения скоростей скорость $\boldsymbol{v}^{\prime}$ точки $O$ относительно осей, неподвижных в теле, можно рассматривать как сумму скорости $\boldsymbol{v}_{\tau}^{\prime}$ точки $O$ относительно вспомогательных осей $G \bar{x} \bar{y} z$ и переносной скорости $\boldsymbol{v}_{\tau}^{\prime}$ точки $O$ (предполагаемой неизменно связанной с этой системой) относительно осей, неподвижных в теле. Так как координаты точки $O$ относительно $G \bar{x} \bar{y} z$ равны $0,-y_{0},-z_{0}$ (где $y_{0}, z_{0}$ означают, как обычно, известные функции от $\theta$ ), то имеем $\overrightarrow{G O}=-\left(y_{0} j+z_{0} k\right)$, и, следовательно, если напишем $p$ вместо $\dot{\theta}$ (в силу первого из равенств (20)), то получим
\[
\boldsymbol{v}_{r}^{\prime}=-p\left(y_{0}^{\prime} j+z_{0}^{\prime} k\right) .
\]

Так как, далее, система, неизменно связанная с телом, вращается относительно вспомогательной системы с угловой скоростью $\dot{\varphi} k$ и, следовательно, вспомогательная система вращается относительно системы неизменно связанной с телом, с угловой скоростью- $\boldsymbol{\varphi} \boldsymbol{k}$, то имеем
\[
\boldsymbol{v}_{-}^{\prime}=-\dot{\varphi} k \times \overrightarrow{G O}=-y_{0} \dot{\varphi} i
\]

складывая два последних равенства, получаем
\[
\boldsymbol{v}^{\prime}=-y_{0} \dot{\varphi} i-p\left(y_{0}^{\prime} j+z_{0}^{\prime} k\right) .
\]

Остается, наконец, рассмотреть момент силы тяжести, приложенной в точке $G$, относительно центра $O$; вследствие того, что проекции единичного вектора восходящей вертикали $\boldsymbol{x}$ на стереонодальные оси равны $\gamma_{1}=0, \gamma_{2}=\sin \theta, \gamma_{3}=\cos \theta$, этот момент будет равен
\[
-\left(y_{0} j+z_{0} k\right) \times m g(\sin \theta j+\cos \theta k)
\]

или же на основании соотношения (32′)
– $m g h^{\prime} i$.
После этого, проектируя уравнение (46) на стереонодальные оси, получим для движения тяжелого твердого тела вращения, катящегося по горизонтальной плоскости, следующие уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t}\left(A_{1} p\right)+q\left\{C_{1} r-B_{1}(r-\dot{\varphi})\right\}-m y_{0} z_{0}\left\{q^{2}-r(r-\dot{\varphi})\right\}- \\
-m\left(y_{0} y_{0}^{\prime}+z_{0} z_{0}^{\prime}\right) p^{2}=-m g h^{\prime}, \\
\frac{d}{d t}\left(B_{1} q-m y_{0} z_{0} r\right)+p\left\{A_{1}(r-\dot{\varphi})-C_{1} r+m y_{0}^{\prime} \dot{\varphi}\right\}+ \\
+m y_{0} z_{0} p q-m z_{0}^{\prime} p\left(z_{0} q-y_{0} r\right)=0, \\
\frac{d}{d t}\left(C_{1} r-m y_{0} z_{0} q\right)-\left(A_{1}-B_{1}\right) p q-m y_{0} z_{0}(r-\dot{\varphi}) p+ \\
+m y_{0}^{\prime} p\left(z_{0} q-y_{0} r\right)=0,
\end{array}
\]

где, конечно, $y_{0}, z_{0}$ означают функции $\theta$, определяемые из уравнений (33).