35. Общий случай. Выяснив в предыдущих параграфах 3-5 основные понятия об интеграле или инварианте, об инвариантном соотношении и инвариантной системе (соотношений) и об интегральном инварианте, рассмотрим теперь, хотя бы в краткой форме, задачу действительного интегрирования (общего или частного) канонических систем; начнем с классического метода Гамильтона — Якоби, который

еще и сегодня дает все, что является наиболее общим в этом вопросе. Этот метод приводит интегрирование какой угодно канонической системы порядка $2 n$ к определению так называемого полного интеграла уравнения с частными производными первого порядка (общего вида) с $n+1$ независимыми переменными.

Здесь естественно отметить, что хотя речь идет об определении для этого последнего уравнения только интеграла частного типа, однако этот метод с теоретической точки зрения не представляет собой шага вперед, так как он заменяет задачу, относящуюся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, более сложной с точки зрения анализа задачей, относящейся к уравнению с частными производными. Все же надо отметить, что метод Гамильтона — Якоби имеет большое значение, в частности, в приложениях к небесной механике, благодаря той форме, в которой получается общее решение канонической системы; а с другой стороны, устанавливая совершенную эквивалентность между указанными выше задачами анализа, он дает возможность решить обратную задачу: привести интегрирование какого-нибудь уравнения с частными производными первого порядка к интегрированию соответствующей канонической системы.

Мы, однако, не будем останавливаться здесь на этих, хотя и важных, вопросах анализа; ограничимся лишь установлением прямого предложения.
Итак, пусть дана каноническая система
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{p}_{h}=-\frac{\partial H}{\partial q_{h}} \\
\dot{q}_{h}=\frac{\partial H}{\partial p_{h}}
\end{array}\right\} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

где $p$ в функции $H$ рассматриваются как символы частных производных некоторой неизвестной функции $V$ от $q$ и $t$, т. е.
\[
p_{h}=\frac{\partial V}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n) ;
\]

рассмотрим уравнение с частными производными первого порядка (Гамильтона — Якоби) относительно неизвестной функции $V$
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+H=0 .
\]

Как известно, полным интегралом уравнения (72) называется всякая функция $V$ от $q, t$ и от $n$ произвольных постоянных $\pi_{h}(h=$ $=1,2, \ldots, n)$, которая обладает следующими двумя свойствами: a) содержит $n$ постоянных $\pi$ существенным образом; этим мы хотим сказать, что не будет тождественно равен нулю смешанный функциональный определитель
\[

abla=\left\|\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{h} \partial \pi_{i}}\right\| \quad(h, i=1,2, \ldots, n) ;
\]

б) тождественно удовлетворяет уравнению (72) относительно $q, t, \pi$, т. е. при всяком возможном выборе значений этих переменных внутри некоторой области.

Мы утверждаем, что знание одного такого полного интеграла $V$ позволяет построить в конечной форме общее решение данной канонической системы (5): если мы введем $n$ новых аргументов $x$ ‘посредством равенств
\[
x_{j}=\frac{\partial V}{\partial \pi_{j}} \quad(j=1,2, \ldots, n)
\]

и будем рассматривать равенства (71), (74) как уравнения для определения $2 n$ переменных $p, q$ через $t$ и $\pi$, х (что, конечно, можно сделать в силу предположения $
abla
eq 0$, ср. п. 11), то $2 n$ функций
\[
\left.\begin{array}{l}
p_{h}=p_{h}(\pi|x| t), \\
q_{h}=q_{h}(\pi|x| t)
\end{array}\right\} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

определенных таким образом, дадут общее решение канонической системы (5), если только $\pi, x$ будут считаться в нем произвольными постоянными.

Для доказательства этого достаточно вспомнить заключения п. 11, из которых следует, что равенства (75), если их рассматривать как формулы преобразования, зависящие от $t$, переменных $p, q$ в переменные $\pi$, $[x$, определят каноническое преобразование и что характеристическая функция преобразованной канонической системы уравнений (5) определится выражением
\[
H+\frac{\partial V}{\partial t} .
\]

Так как здесь на основании предположения, что $V$ есть интеграл (полный) уравнения (72), эта характеристическая функция тождественно равна нулю, то преобразованная каноническая система, принимающая в данном случае вид $\dot{\pi}_{h}=0, \dot{x}_{h}=0$, будет иметь общим интегралом $\pi_{h}=$ const, $x_{h}=$ const $(h=1,2, \ldots, n)$, откуда, возвращаясь к первоначальной системе (5), мы и заключаем, что ее общий интеграл определяется уравнениями (75) или эквивалентными им уравнениями (71), (74), если $\pi, x$ рассматриваются в них как произвольные постоянные.

Существенное достоинство этого метода интегрирования заключается в той его особенности, что выражения (71), (74) или (75) для общего решения автоматически вводят произвольные постоянные $\pi, x$ в канонической форме, в том смысле, что зависимости, которые они устанавливают между $p, q$ и $\pi, x$, образуют каноническое преобразование.

Наконец, нужно добавить, что, каков бы ни был принятый метод интегрирования, выражения общего решения
\[
p_{h}=p_{h}\left(t\left|p^{0}\right| q^{0}\right), \quad q_{h}=q_{h}\left(t\left|p^{0}\right| q^{0}\right), \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

в которых за постоянные интегрирования приняты координаты $p^{0}$, $q^{0}$ начальной фазы, всегда определяют между величинами $p^{0}, q^{0}$ и $p, q$ преобразование (вполне) каноническое (поскольку $t$ рассматривается в них как произвольный параметр).

Действительно, всегда можно предположить, что предыдущие формулы получены путем исключения $\pi$, $x$ из уравнений (75) и из уравнений того же вида, относящихся к моменту $t_{0}$,
\[
\left.\begin{array}{rl}
p_{h}^{0} & =p_{h}\left(\pi|x| t_{0}\right) \\
q_{h}^{0} & =q_{h}\left(\pi|\times| t_{0}\right)
\end{array}\right\}
\]

Теперь в силу равенств (75), (75′) имеем
\[
\begin{array}{c}
\sum_{h=1}^{n} p_{h} d q_{h}=\sum_{h=1}^{n} \pi_{h} d x_{h}-\frac{\dot{\sigma} V}{\partial t} d t+d\left(V-\sum_{h=1}^{n} x_{h} \pi_{h}\right), \\
\sum_{h=1}^{n} p_{h}^{0} d q_{h}^{0}=\sum_{h=1}^{n} \pi_{h} d x_{h}-\left(\frac{\partial V}{\partial t}\right)_{t=t_{0}} d t_{0}+d\left(V_{0}-\sum_{h=1}^{n} x_{h} \pi_{h}\right) ;
\end{array}
\]

достаточно рассматривать $t$ и $t_{0}$ как постоянные параметры и вычесть эти равенства почленно, чтобы получить тождество
\[
\sum_{h=1}^{n} p_{h} d q_{h}=\sum_{h=1}^{n} p_{h}^{0} d q_{h}^{0}+d\left(V-V_{0}\right)
\]

что и доказывает утверждение, как это следует из п. 11.
36. О теореме взаимности ГельмгольцА ${ }^{1}$ ). Из последнего замечания предыдущего пункта почти непосредственно вытекают некоторые интересные механические следствия.

Возьмем снова для канонической системы (5) уравнения общего решения (76), которые мы перепишем здесь, выставляя в правых частях на вид также и начальное значение $t_{0}$ независимой переменной $p_{h}=p_{h}\left(t\left|p^{0}\right| q^{0} \mid t_{0}\right), \quad q_{h}=q_{h}\left(t\left|p^{0}\right| q^{0} \mid t_{0}\right) \quad(h=1,2, \ldots, n) .\left(76^{\prime}\right)$

Если в промежутке изменения $t$, в котором сохраняют свое значение эти уравнения ( $76^{\prime}$ ), мы фиксируем какой-нибудь момент (отличный от $t_{0}$ ), который обозначим через $t$ и назовем конечным моментом, то уравнения ( $76^{\prime}$ ) при таких значениях $t_{0}$ и $t$ определят, по крайней мере, в некоторой области одно-однозначное соответствие между координатами $p^{0}, q^{0}$ начальной фазы и $p, q$ конечной фазы. Это соответствие, как мы только что видели, образует каноническое преобразование между двумя рядами переменных.

Отвлекаясь временно от этого последнего обстоятельства, заметим, что характер одно-однозначности соответствия обеспечивает на основании теоремы о единственности интеграла то, что для определения решения гамильтоновой системы достаточно будет фиксировать безразлично или начальные значения $p^{0}, q^{0}$ (т. е. значения в момент $t_{0}$ ), или конечные значения $p, q$ (т. е. значения в момент $t$ ).

Установив это, рассмотрим любое частное решение, определенное, например, путем фиксирования начальных значений $p^{0}, q^{0}$. Обращаясь к представлениям решений в фазовом пространстве $\Phi_{2 n}$, сравним соответствующее движение $M$ с двумя другими движениями $M^{\prime}, M^{\prime \prime}$, тоже определяемыми гамильтоновой системой (5) и бесконечно близкими к $M$, т. е., как обычно говорят, с двумя варьированными движениями (по отношению к $M$ ). Если через $p^{0}+\delta^{\prime} p^{0}, q^{0}+\delta^{\prime} q^{0}$ и $p+\delta^{\prime} p$, $q+\delta^{\prime} q$ обозначим начальные и соответственно конечные импульсы и координаты в $M^{\prime}$, а через $p^{0}+\delta^{\prime \prime} p^{0}, q^{0}+\delta^{\prime \prime} q^{0}$ и $p+\delta^{\prime \prime} p, q+\delta^{\prime \prime} q-$ аналогичные начальные и конечные значения в $M^{\prime \prime}$, то каждое из этих двух варьированных движений можно определить независимо от другого; если фиксировать произвольно бесконечно малые приращения обобщенных координат $q$ и обобщенных импульсов $p$ для движения $H$, относящиеся к начальному ( $\delta q^{0}$ и $\delta p^{0}$ ) или к конечному ( $\delta q$ и $\delta p$ ) моменту времени, то на основании уравнений ( $76^{\prime}$ ) можно однозначно определить соответствующие бесконечно малые приращения соответственно для начального или конечного момента.

Теперь вспомним, что уравнения ( $76^{\prime}$ ) при заданных значениях $t_{0}$ и $t$ определяют между $p^{0}, q^{0}$ и $p, q$ каноническое преобразование. Это значит, как это напоминалось также и в конце предыдущего пункта, что два пфаффиана
\[
\sum_{h=1}^{n} p_{h} d q_{h}, \quad \sum_{h=1}^{n} p_{h}^{0} d q_{h}^{0},
\]

вычисленные для бесконечно малых приращений координат (начальных и конечных), которые позволяют перейти от любого движения $M$ к какому-нибудь движению, варьированному по отношению к нему,

различаются между собой в силу уравнений ( $76^{\prime}$ ) только на полный дифференциал. Отсюда следует, что соответствующие билинейные коварианты (п. 9 и гл. V, п. 57), вычисленные для двух независимых систем бесконечно малых приращений, позволяющих перейти от движения $M$ к двум каким угодно варьированным движениям, в силу уравнений ( $76^{\prime}$ ) будут тождественны между собой; поэтому, вводя вариации $\delta^{\prime}$ и $\delta^{\prime \prime}$, определяющие переход от $M$ к двум варьированным движениям $M^{\prime}$ и $M^{\prime \prime}$, мы получим тождество
\[
\sum_{h=1}^{n}\left(\delta^{\prime \prime} p_{h} \delta^{\prime} q_{h}-\delta^{\prime} p_{h} \delta^{\prime \prime} q_{h}\right)=\sum_{h=1}^{n}\left(\delta^{\prime \prime} p_{h}^{0} \delta^{\prime} q_{h}^{0}-\delta^{\prime} p_{h}^{0} \delta^{\prime \prime} q_{h}^{0}\right) .
\]

Это и есть соотношение взаимности, полученное Гельмгольцем*) и выведенное здесь при более общих предположениях. Но чтобы извлечь из него какие-нибудь определенные и наглядные заключения, необходимо выбрать соответствующим образом варьированные движения $M^{\prime}$ и $M^{\prime \prime}$.

Предположим, например, что движение $M^{\prime}$ определено по отношению к движению $M$ путем приравнивания нулю всех начальных приращений $\delta^{\prime} p^{0}, \delta^{\prime} q^{0}$, кроме одного; пусть таким приращением будет $\delta^{\prime} q_{i}^{0}$. Тем самым из уравнений ( $76^{\prime}$ ) однозначно определятся все конечные приращения $\delta^{\prime} p, \delta^{\prime} q$. Для движения $M^{\prime \prime}$, наоборот, положим равными нулю все конечные приращения $\delta^{\prime \prime} p, \delta^{\prime \prime} q$, за исключением приращения $\delta^{\prime \prime} p_{j}$; и в этом случае из уравнений ( $76^{\prime}$ ) определятся все $\delta^{\prime \prime} p^{0}$, $\delta^{\prime \prime} q^{0}$. При указанных здесь предположениях тождество (77) примет вид
\[
\delta^{\prime \prime} p_{j} \delta^{\prime} q_{j}=\delta^{\prime \prime} p_{i}^{0} \delta^{\prime} q_{i}^{0},
\]

откуда, в частности, следует, что если два произвольных приращения $\delta^{\prime} q_{i}^{0}, \delta^{\prime \prime} p_{j}$, определяющих два варьированных движения $M^{\prime}, M^{\prime \prime}$, берутся равными, то такими же будут и определяемые ими вариации $\delta^{\prime} q_{j}$, $\delta^{\prime \prime} p_{i}^{0}$. Таким образом, если два варьированных движения получаются из одного и того же движения, одно исключительно путем варьирования начального значения одной координаты, другое исключительно путем варьирования конечного значения одного количества движения, и если обе эти вариации равны между собой, то будут также равны и определяемые ими вариации, соответственно конечная и начальная, координаты, сопряженной с варьированным количеством движения, и количества движения, сопряженного с варьированной координатой.

Таким образом мы имеем одну из так называемых теорем взаимности Гельмгольца; ясно, что к другим аналогичным теоремам

(с возможным изменением знака) мы придем, предполагая при переходе от $M$ к $M^{\prime}$ и $M^{\prime \prime}$ варьирование или двух координат, или двух количеств движения вместо одной координаты и одного количества движения.

Гельмгольц указал такие физически интересные задачи, в которых эти теоремы находят применение, п показал, что вариации, о которых мы говорили выше чисто теоретически, могут быть действительно осуществлены посредством малых позиционных возмущений, если речь идет о координатах, или посредством малых импульсов, если речь идет о количествах движения.
37. Общий интеграл в динамическом случав. Вернемся временно к общим рассуждениям п. 35. В особенно интересном случае, когда каноническая система, которую надо интегрировать, вытекает из динамической задачи о движении голономной системы, в которой параметры $q$ являются лагранжевыми координатами, основной целью будет определение изменения координат $q$ в функциях от $t$ и постоянных интегрирования.

Следует отметить, что для этой цели достаточно то э ько $n$ уравнений (74) и нет нужды присоединять к ним уравнения (71), характеризующие только закон изменения с временем количеств движения, имеющих вспомогательный характер в первоначальной постановке задачи.

С этим согласуется положение, заключающееся в том, что, найдя полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби, соответствующий динамической задаче (консервативной), можно найти общее решение уравнений движения Лагранжа из равенств
\[
x_{i}=\frac{\partial V}{\partial \pi_{j}} \quad(j=1,2, \ldots, n) .
\]
38. СЛУЧАЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ, НЕ ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ ВРЕМЕНИ. При этом предположении для уравнения Гамильтона-Якоби можно искать полный интеграл в виде
\[
V=-E t+W,
\]

где $E$ есть постоянная, которую мы будем выбирать надлежащим образом, и $W$ — неизвестная функция, зависящая только от $q$ и $n$ постоянных $\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots, \pi_{n}$ и не зависящая от $t$.
Уравнение (72) принимает вид
\[
H=E
\]

в том предположении, конечно, что в $H$ вместо $p$ подставлены выражения (71), которые в данном сяучае имеют вид
\[
p_{h}=\frac{\partial W}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n) ;
\]

условие того, чтобы функция была полным интегралом $(
abla
eq 0$ ), выразится в том, что смешанный функциональный определитель $
abla_{1}$ от

функции $W$ по $q_{h}, \pi_{j}$ не должен обращаться в нуль. Если примем во внимание, что постоянная $E$ произвольна, то увидим, что, по существу, все сводится к отысканию интеграла $W(q, \pi)$ (удовлетворяющего условию $
abla_{1}
eq 0$ ) дифференциального уравнения с частными производными
\[
H=\text { const, }
\]

где правая часть представляет постоянную относительно переменных $q$ и $t$, т. е. некоторую функцию от $\pi$, которую надо принять за выражение коэффициента $E$ при $t$ в функции $V$.

После определения такого полного интеграла $W$ уравнения (72\») общее решение (74) канонической системы на основании выражения (78) функции $V$ можно написать в виде
\[
\frac{\partial W}{\partial \pi_{j}}=\omega_{j} t+x_{j} \quad(j=1,2, \ldots, n),
\]

где для краткости положено
\[
\omega_{j}=\frac{\partial E}{\partial \pi_{j}} \quad(j=1,2, \ldots n) .
\]

Предыдущее приведение задачи, которым пользовался Пуанкаре, симметрично относительно постоянных $\pi$. Якоби, наоборот, выделял одну из постоянных $\pi$, например $\pi_{n}$, принимая ее прямо за $E$; вследствие этого функцию $W$ в уравнении (78) надо рассматривать как неизвестную функцию, которая не зависит от $t$, а зависит только от $q, E$ и остальных $n-1$ произвольных постоянных $\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots, \pi_{n-1}$.

В этом случае условие того, чтобы функция $V$ была полным интегралом, может быть упрощено, по крайней мере в предположении, очевидно, выполняющемся всякий раз, когда мы имеем динамическую задачу, что какое-нибудь $p$, например $p_{n}$, действительно входит в $H^{1}$ ). Положив
\[

abla^{\prime}=\left\|\frac{\partial^{2} W}{\partial q_{h} \partial \pi_{j}}\right\| \quad(h, j=1,2, \ldots, n-1),
\]

можно написать смешанный функциональный определитель функции $V$ в виде
\[

abla=\frac{1}{\frac{\partial H}{\partial p_{n}}}\left|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial^{2} W}{\partial q_{1} \partial E} \\
&
abla^{\prime} & \frac{\partial^{2} W}{\partial q_{2} \partial E} \\
\frac{\partial H}{\partial p_{n}} \frac{\partial^{2} W}{\partial q_{n} \partial \pi_{1}} & \frac{\partial H}{\partial p_{n}} \frac{\partial^{2} W}{\partial q_{n} \partial \pi_{2}} \cdots & \frac{\partial H}{\partial p_{n}} \frac{\partial^{2} W}{\partial q_{n} \partial E}
\end{array}\right| ;
\]

прибавляя к элементам последней строки соответствующие элементы из первых $n-1$ строк, умноженные соответственно на $\partial H / \partial p_{1}, \ldots$ $\ldots, \partial Н / \partial p_{n-1}$, получим
\[
\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_{h}} \frac{\partial^{2} W}{\partial q_{h} \partial \pi_{j}} \quad(j=1,2, \ldots, n-1), \quad \sum_{h=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_{h}} \frac{\partial^{2} W}{\partial q_{h} \partial E},
\]

или на основании уравнений (71′)
\[
\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_{h}} \frac{\partial p_{h}}{\partial \pi_{j}}(j=1,2, \ldots, n-1), \quad \sum_{h=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_{h}} \frac{\partial p_{h}}{\partial E} .
\]

Далее, уравнение ( $72^{\prime}$ ), так как оно тождественно удовлетворяется по отношению к аргументам $\pi, E$ и потому может быть продифференцировано по каждому из них, показывает, что первые $n-1$ элементов этой строки исчезают, а последний- равен 1. Поэтому определитель $
abla$ можно написать в виде
\[

abla=\frac{1}{\frac{\partial H}{\partial p_{n}}}
abla^{\prime},
\]

и искомое условие приводится к неравенству
\[

abla^{\prime}
eq 0 .
\]

В этом предположении общее решение канонической системы, как и в общем случае, определяется уравнениями (71), (74); полезно переписать эти уравнения, подставляя в них $W$ вместо $V$ и $E$ вместо $\pi_{n}$.

Что касается уравнений (71), то в них остается только подставить вместо $V^{\prime}$ его выражение (73), вследствие чего снова найдем написанные выше уравнения (71’); первые $n-1$ из уравнений (74) дадут аналогично
\[
x_{j}=\frac{\partial W}{\partial \pi_{j}} \quad(j=1,2, \ldots,(n-1),
\]

а последнее, если обозначить в нем через $-t_{0}$ произвольную постоянную $x_{n}$, даст
\[
t-t_{0}=\frac{\partial W}{\partial E} .
\]

Как и в общем случае, уравнения (74a), (74б), конечно, будут разрешимы относительно $q$ (в функция от $t$ и от $\pi, E, x, t_{0}$ ); но здесь мы можем добавить, что при наличии $t$ только в уравнениях (74б) $n-1$ уравнений ( $74 \mathrm{a}$ ), рассматриваемые отдельно, определят в изображающем пространстве лагранжевых координат $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ траектории системы. Так как они тождественно удовлетворяют уравнению $\left(72^{\prime}\right)$, не зависящему от $t$, то мы видим, что $E$ есть постоянная

величина, которая для любого решения равна значению $H$ вдоль соответствующей траектории; поэтому в динамических случаях постоянная $E$ истолковывается как полная энергия.
39. ПряМая проверка предыдущих результатов. Результаты, относящиеся к характеристической функции $H$, не зависящей от $t$, были выведены в предыдущем пункте как следствия из результатов, полученных в п. 35 при более общем предположении, что функция $H$ зависит явно от $t$; мы пришли к правилу для определения общего решения канонической системы, вводя только полный интеграл $W$ (с гессианом, не равным нулю) уравнения $H=E$, в которое $t$ не входит. Представляет интерес найти снова эти результаты прямым путем, аналогичным тому, который был использован в п. 35 для общего случая, т. е. обращаясь к каноническому преобразованию, которое в этом случае не будет зависеть от $t$ и потому будет вполне каноническим.
Для этой цели возьмем снова уравнение с частными производными
\[
H=\text { const, }
\]

где в $H$ вместо $p_{h}$ подставлены $\partial W / \partial q_{h}$, а через $W$ обозначен полный интеграл, зависящий, помимо $q$, от произвольных постоянных $\pi$, таких, что его функциональный определитель $
abla_{1}$ (по $q$ и $\pi$ ) не обращается тождественно в нуль в рассматриваемой области. После подстановки в уравнения ( $72^{\prime \prime}$ ) производных $\partial W / \partial q_{h}$ постоянная, стоящая в правой части, будет равна определенной функции от произвольных постоянных $\pi$, которую мы обозначим через $E$.
Далее, предполагая, что $
abla_{1}
eq 0$, найдем, что две системы уравнений
\[
p_{h}=\frac{\partial W}{\partial q_{h}}, \quad \xi_{h}=\frac{\partial W}{\partial \pi_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n)
\]

определяют на основании п. 12 вполне каноническое преобразование между двумя парами рядов сопряженных переменных
\[
\left(\begin{array}{l}
p_{1} p_{2} \ldots p_{n} \\
q_{1} q_{2} \ldots q_{n}
\end{array}\right) \text { и }\left(\begin{array}{c}
\pi_{1} \pi_{2} \ldots \pi_{n} \\
\xi_{1} \xi_{2} \ldots \xi_{n}
\end{array}\right)
\]

для того чтобы иметь прямое доказательство теоремы Гамильтона Якоби для нашего случая, остается только выполнить это преобразование над данной канонической системой. Так как речь идет о вполне каноническом преобразовании, то новая характеристическая функция получится преобразованием функции $H(p, q)$, а для того чтобы вычислить эту преобразованную функцию, достаточно принять во внимание первые $n$ из уравнений (80), так что после выполнения преобразования мы увидим, как это отмечалось с самого начала, что новая характеристическая функция будет как раз равна $E$, если ее рассматривать

как функцию от $\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots, \pi_{n}$. Таким образом, доказано, что преобразованная каноническая система будет иметь вид
\[
\dot{\pi}_{h}=-\frac{\partial E}{\partial \xi_{h}}, \quad \dot{\xi}=\frac{\partial E}{\partial \pi_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n)
\]

или, вспоминая, что $E$ не зависит от $\xi$, и обозначая через $\omega_{h}$ производную $\partial E / \partial \pi_{h}$ (зависящую от одних только $\pi$ ),
\[
\dot{\pi}_{h}=0, \quad \dot{\xi}_{h}=\omega_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Так как общим интегралом этой системы будет
\[
\pi_{h}=\mathrm{const}, \quad \xi_{h}=\omega_{h} t+x_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

где $x_{h}$ обозначают $n$ новых произвольных постоянных, то заключаем, точно так же как и в п. 35 , что общее решение первоначальной канонической системы определяется равенствами
\[
p_{h}=\frac{\partial W}{\partial q_{h}}, \quad \omega_{h^{t}}+x_{h}=\frac{\partial W}{\partial \pi_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n)
\]

при условии, что $\pi_{h}$ и $\chi_{h}$ рассматриваются как произвольные постоянные, а $\omega_{h}$ выражены через $\pi_{h}$ посредством уравнений
\[
\frac{\partial E}{\partial \pi_{h}}=\omega_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Все это имеет место в случае симметричного представления Пуанкаре. Если же, наоборот, мы выделяем один из аргументов $\pi$, например $\pi_{n}$, полагая его прямо равным $E$ (как поступал Якоби), то величины $\omega_{1}=\partial E / \partial \pi_{1}, \ldots, \omega_{n-1}=\partial E / \partial \pi_{n-1}$ исчезают, так что на основании уравнений (81) вместе с $\pi$ постоянными будут также и $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n-1}$, тождественные с $x_{1}, \ldots, x_{n-1}$; последняя сопряженная пара состоит из $E=\pi_{n}$ и $\xi_{n}=t-t_{0}$, где через $-t_{0}$ обозначена постоянная $x_{n}$.

Мы имеем, таким образом, полное согласие с предыдущим пунктом. Здесь мы можем добавить, что вместо последних двух сопряженных переменных, $E$ и $t$ — $t_{0}$, можно подставить, как это указывалось в п. 14, две их канонические комбинации:
\[
L=\frac{E}{n}, \quad l=n\left(t-t_{0}\right),
\]

где $n$ есть произвольно заданная постоянная; предполагая, что в функцию $W$ введена функция $L$, и представляя уравнения (80) согласно постановке Якоби, мы заключаем, что (вполне) каноническое преобразование между $p, q$ и двумя рядами сопряженных переменных
\[
\left(\begin{array}{lllll}
\pi_{1} & \pi_{2} & \ldots & \pi_{n-1} & L \\
x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n-1} & l
\end{array}\right)
\]

определяется уравнениями
\[
\begin{array}{c}
p_{h}=\frac{\partial W}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, h), \\
x_{j}=\frac{\partial W}{\partial \pi_{j}} \quad(j=1,2, \ldots, n-1), \quad l=\frac{\partial W}{\partial L} .
\end{array}
\]
40. ВЫвОД ИНвАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ дЛЯ ОДНОГО чАстНОГО интЕГРАлА уравнениЙ Гамильтона — Якоби. Если для уравнения с частными производными
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+H=0
\]

мы знаем одно частное решение $V(q \mid t)$, не зависящее от какой-либо произвольной постоянной (или даже заключающее некоторые такие постоянные, но не являющееся полным интегралом), то выводы п. 36 , на основании которых было получено общее решение канонической системы (5), будут, конечно, неприложимы. Однако, как мы это сейчас докажем, из известного решения $V(q \mid t)$ можно вывести систему $n$ инвариантны соотношений относительно системы (5), т. е. $n$ уравнений
\[
p_{h}=\frac{\partial V}{\partial q_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Для этого, как мы знаем, необходимо показать, что производные по $t$ от этих уравнений сводятся к тождествам в силу канонической системы и самих этих уравнений.

Напомним сначала, что решение $V$ удовлетворяет уравнению (72), так как в $H(p|q| t)$ вместо каждого $p_{h}$ подставляется соответствующая производная $\partial V / \partial q_{h}$, так что, дифференцируя уравнение (72) по отдельным $q$, мы придем к $n$ тождествам
\[
\frac{\partial^{2} V}{\partial t \partial q_{h}}+\frac{\partial H}{\partial q_{h}}+\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{h} \tilde{\partial} q_{k}}=0 \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Если теперь продифференцировать уравнения (71) по $t$ и-вместо $\dot{p}, \dot{q}$ подставить их выражения, даваемые канонической системой, то получатся равенства
\[
-\frac{\partial H}{\partial q_{h}}=-\frac{\partial^{2} V}{\partial t \partial q_{h}}+\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial H}{\partial p_{k}} \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{h} \partial q_{k}} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

которне в силу равенств (82) удовлетворяются тождественно.