21. УДАР НЕИЗМЕНЯЕМОЙ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ о НЕПОДвИЖНОе ПРЕПятствИЕ. В предыдущем пункте мы пренебрегали трением, допуская, что в точке, в которой соударяются два тела, они испытывают два прямо противоположных импульса, по общей нормали к двум поверхностям, направленной для каждого из них внутрь. Задача усложняется, если мы хотим учесть трение скольжения и качения, причем это последнее схематически представляет тот физический факт, что соприкосновение происходит не в геометрической точке, а по некоторой конечной площадке.

Не входя здесь в рассмотрение вопроса в общем виде, мы исследуем только тот случай, когда, отвлекаясь от трения качения, можно довольно простым способом учесть трение скольжения. Это можно сделать в случае двух плоских неизменяемых фигур, движущихся в своей плоскости. Мы рассмотрим, однако, более частный случай — удар плоского неизменяемого профиля $S$ о неподвижную преграду представленную схематически в виде некоторой кривой в плоскости; эту кривую в рамках нашего исследования всегда можно заменить ее касательной в точке, в которой происходит удар. Случай двух фигур, движущихся в их плоскости, можно было бы рассмотреть аналогичным образом. Заметим, что обстоятельства, установленные нами выше, осуществляются при ударе биллиардного шара о борт, если предположить, что вращение шара происходит исключительно вокруг вертикали.

Обозначим через $P$ (фиг. 34 ) точку, в которой в момент $t_0$ удара происходит соприкосновение между профилем $S$ и препятствием, и возьмем систему неподвижных осећ с началом в $P$, с осью $y$, направленной вдоль общей нормали к профилю и к преграде и обращенной в сторону $S$, и с осью $x$, направленной вдоль преграды и обращенной в ту сторону, где лежит центр тяжести $G$ профиля $S$ (или произвольно, если центр тяжести лежит на оси $y$ ). Из этих соглашений следует, что если $x_0,y_0$ обозначают координаты точки $G$, то имеем $x_0⩾0,y_0>0$.

С другой стороны, необходимо принять во внимание, что импульс $l$, который в момент удара возникает в $P$, действует в ту сторону от оси $Px$, где лежит $\mathcal{S}$, так что, если $XY$ суть соответствующие составляющие, то необходимо имеем $Y>0$. Кроме того, этот импульс, по определению, равен
$$I=\underset{t\to 0}{lim}{\int }_{t_0}^{t_9+\tau }\mathrm{\Phi }dt,$$

где $\mathrm{\Phi }$ в любой момент очень короткого промежутка времени $\tau$ представляет собой реакцию, которая согласно законам трения скольжения всегда принадлежит углу $\widehat{g_1{g}_2}$ величины $2\phi$ с биссектрисой $Oy$, если $\phi$ есть соответствующий угол трения. Отсюда мы видим, что то же самое произойдет и с только что написанным интегралом и, следовательно, в пределе и с самим импульсом $I$.

Заметив это, обратимся к основным уравнениям движения под действием мгновенных сил в плоском случае (п. 10), учитывая, что результирующая импульсов $\mathbf{R}$ сводится к $I$ и что, так как $\mathbf{M}=\overrightarrow{GP}\times \mathit{I}$, будем иметь
$$M_z=y_{0}X-x_{0}Y.$$

Поэтому уравнения п. 10, если через $\mathit{w},v$ обозначим проекции скорости центра тяжести ${\mathit{v}}_0$, а вместо $C$ напишем $m{\delta }^2$, где \& есть центральный радиус инерции фигуры $\mathcal{S}$, принимают вид
$$\mathrm{\Delta }u=\frac{1}{m}X,\mathrm{\Delta }v=\frac{1}{m}Y,\mathrm{\Delta }\dot{\theta }=\frac{1}{m^{\frac{2}{2}}}(y_{0}X-x_{0}Y).$$

В эти выражения для изменений, испытываемых при ударе тремя характеристическими величинами $u,\mathit{v},\dot{\mathit{j}}$, входят две неизвестные проекции $X,Y$ реактивного импульса, а потому, чтобы сделать задачу определенной, необходимо ввести еще два условия. Заметим теперь же, что к одному из них мы придем, допуская применимость также и в этом случае эмпирического закона Ньютона, а другое будет получено из исследования влияния трения.

Заметим сначала, что точка профиля, которая в момент $t_0$ находится в $P$, как неизменно связанная с $S$, имеет скорость
$${\mathit{v}}_0+\omega \times \overrightarrow{GP},$$

а проекции $\circ$ и $у$ этой скорости на оси $Ox,Oy$, ввиду того что пространственные проекции вектора $\omega$ суть $0,0,\dot{\theta }$, имеют выражения
$$\begin{array}{l}\sigma =u+y_0\dot{b},\\ v=v-x_0\dot{b}.\end{array}\}$$

Касательная составляющая определяет скольжение профиля $S$ по препятствию. Что же касается нормальной составляющей $v$, то надо заметить, что при сближении до удара и удалении тотчас же после удара (если исключить случай совершенно неупругих тел) значение этой составляющей до удара ( $u^{-}$) существенно отрицательно, а значение ее после удара $(v^{+}$) существенно положительно. Как уже было указано, мы допустим здесь еще раз применимость закона Ньютона
\[

u^{+}=-e^{
u^{-}},
\]

где $e$ обозначает коэффициент восстановления сталкивающихся тел.
Чтобы с выгодой использовать равенство (39), заметим, что из равенств (38) на основании уравнений (37) непосредственно следуют два уравнения:
$$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }\sigma =\frac{1}{m}\{(1+\frac{y_0^2}{{\delta }^2})X-\frac{x_0{y}_0}{{\delta }^2}Y\},\\ \mathrm{\Delta }u=\frac{1}{m}\{-\frac{x_0{y}_0}{{\delta }^2}X+(1+\frac{x_0^2}{{\delta }^2})Y\};\end{array}\}$$

если положить в этих уравнениях
$$a=\frac{1}{m}(1+\frac{x_0^2}{{\delta }^2}),b=\frac{1}{m}(1+\frac{y_0^2}{{\delta }^2}),c=\frac{1}{m}\frac{x_0{y}_0}{{\delta }^2}$$

и исключить из второго $u^{+}$при помощи равенства (39), то они преобразуются в следующие:
$$\begin{array}{c}{\sigma }^{+}={\sigma }^{-}+bX-cY.\\ -(1+e)u^{-}=-cX+aY.\end{array}$$

Важно отметить, что постоянные $a,b,c$, введенные таким образом в качестве структурных данных профиля $S$, все три положительны: первые две по существу, а третья в силу наших допущений (так как $c=0$ только тогда, когда $G$ лежит на $Oy$ ); кроме того, имеем
$$ab>c^2.$$

Уравнение (42), левая часть которого так же, как $a$ и $c$, является известной постоянной, дает в более удобной для нашей цели форме одно из искомых уравнений, связывающих вспомогательные неизвестные $X,Y$.

Уравнение (41), наоборот, вместе с неизвестными $X,Y$, содержит еще неизвестную ${\sigma }^{+}$; для того чтобы довести задачу до конца, мы

должны рассмотреть при помощи законов Кулона, относящихся к трению скольжения (статического и динамического), поведение реакции $\mathrm{\Phi }$ за очень короткий промежуток времени $\tau$, в течение которого действительно происходит явление удара.

Для облегчения этого анализа и последующих рассуждений обратимся к геометрическому представлению. Следуя Раусу, введем точку $R$ с координатами $X,Y$, т. е. свободный конец вектора $I$, приложенного в точке $P$, и заметим прежде всего, что он должен находиться на прямой $r$, определяемой уравнением (42). По знакам коэффициентов мы видим, что прямая $r$ пересекает ось $x$ в точке с отрицательной абсциссой (или бесконечно удаленной) и ось у в точке с положительной ординатой, так что она имеет некоторую общую точку $A$ (см. фиг. на стр. 497-499) с той стороной $q_1$ двойного угла трения $\widehat{q_1{q}_2}=2$ oт, относящегося к преграде в $P$, которая лежит во втором квадранте осей. Обозначая через $\psi$ угол (положительный и острый), который эта прямая образует с осью $y$, будем иметь
$$\mathrm{tg}\dot{\psi }=\frac{a}{c};$$

прямая $r$ пересечет также полупрямую $g_2$ в некоторой точке $B$ или будет лежать, начиная от точки $A$, вся внутри угла $\widehat{g_1,g_2}$, в зависимости от того, будет ли $\psi >p$ или $\psi ⩽\phi$.
Напишем теперь снова уравнение (41), полагая
$$\begin{array}{c}{p}^{+}=\frac{{\sigma }^{+}}{\sqrt{b^2+c^2}},p^{-}=\frac{{\sigma }^{-}}{\sqrt{b^2+c^2}};\\ \cos \widehat{xn}=-\frac{b}{\sqrt{b^2+c^2}},\sin \widehat{xn}=\frac{c}{\sqrt{b^2+c^2}}\end{array}$$

В силу этого уравнение (41) принимает вид
$$p^{+}=-(X\cos \widehat{xn}+Y\sin \widehat{xn}-p^{-})$$

и позволяет истолковать неизвестную $p^{+}$как расстояние точки $R$ от прямой $s$, нормальное уравнение которой есть
$$x\cos \widehat{xn}+y\sin \widehat{xn}-p^{-}=0.$$

Эту прямую можно назвать прямой нулевого скольжения, так как скорость скольжения ${\sigma }^{+}$после удара обращается в нуль только тогда, когда точка $R$ лежит на ней.

Направленная нормаль $n$ к $s$, проходящая через начало, как это следует из выражений ее направляющих косинусов, принадлежит ко второму квадранту осей. Естественно, что прямая $s$ пересекает эту нормаль с той или другой стороны от начала, смотря по знаку величины $p$ — или, что то же, по знаку скорости скольжения о- до удара.

В обоих случаях прямая $s$ согласно обычным соглашениям аналитической геометрии будет направлена вверх (т. е. в сторону возрастающих $y$ ), и угол $\chi$ (положительный и острый), который она образует с осью $y$, определяется соотношением $\mathrm{tg}\chi =c/b$, так что, принимая во внимание равенства (44) и (43), мы видим, что $\psi >\chi$.

Обращаясь теперь к исследованию явления удара в последовательные моменты очень краткого промежутка времени $\tau$, в течение которого он происходит, обозначим через $t$ какой-нибудь один из этих моментов и рассмотрим соответствующее значение импульса
$${\mathit{I}}_t={\int }_{t_0}^t\mathbf{\Phi }dt$$

с проекциями $X_t,Y_t$ и скорость скольжения ${\sigma }_t$ для того же момента. В этот момент $t$ изменения, испытываемые характеристическими величинами $u,v,\dot{\theta }$, будут определяться теми же уравнениями (37), в которых вместо $X;Y$ надо подставить $X_t,Y_t$. Вместо уравнения (41) или эквивалентного ему уравнения (41′) будет иметь место уравнение
$$p_t=-(X_t\cos \widehat{xn}+Y_t\sin \widehat{xn}-p-),$$

где положено
$$p_t=\frac{{\sigma }_t}{\sqrt{b^2+c^2}}.$$

Обозначим через $R_t$ точку с координатами $X_t,Y_t$, которая представляет в любой момент соответствующее значение ${\mathit{I}}_{\mathit{t}}$ импульса. Задача заключается в том, чтобы определить, каков будет путь, описываемый точкой $R_t$, за промежуток времени от $t_0$ до $t_0+\tau$, начиная от положения $P$, из которого она выходит в момент $t_0$, и каково будет конечное положение $R$, которого достигает $R_t$ в момент $t_0+\tau$ на прямой $r$.

Для этой цели, как уже указывалось, нам надо только принять во внимание эмпирические законы трения скольжения. Прежде всего, заметим, что, по определению, имеем $d{R}_t=d{I}_t=\mathbf{\Phi }dt$; вспоминая, что импульс $\mathbf{\Phi }$ всегда будет обращен наружу от преграды, мы видим, что на чертеже путь точки $R_t$ от $P$ до $R$ должен быть направлен вверх. Кроме того, в силу законов динамического трения, направление движения точки $R_t$, совпадающее с направлением реактивного импульса $\mathbf{\Phi }$, который должен быть противоположным скольжению, будет совпадать с направлением $g_i$ или $g_2$, смотря по тому, будет ли ${\sigma }_t>0$ или ${\sigma }_t<0$; єсли же в некоторый момент $t{\sigma }_t$ исчезает, то $R_t$ будет находиться на прямой $s$ нулевого скольжения и элементарное перемещение точки $R_t$ будет подчинено только условию лежать внутри угла $\widehat{g_1,g_2}$; оно будет оставаться внутри

этого угла, пока скорость. скольжения остается равной нулю, а это требует, чтобы угол $\chi =\widehat{ys}$ был меньше угла трения $\phi$.

Предыдущие рассуждения легко приводят к определению конечного положения $R$ точки $R_t$ на прямой $r$, если будем рассматривать отдельно два общих случая: I. ${\sigma }^{-}⩾0$, II. ${\sigma }^{-}<0$ и различные частные случаи, которые в них входят.

Надо тотчас же отметить, что так как $p$ — имеет тот же самый знак, что и ${\sigma }^{-}$(и исчезает вместе с ${\sigma }^{-}$), прямая $s$ нулевого скольжения, определяемая равенством (45), в случае I имеет общую точку $H$ с полупрямой $g_1$ ( $H$ совпадает с $P$ при ${\sigma }^{-}=0$ ), а в случае II — с продолжением этой полупрямой; важно помнить, что во всех случаях прямая $s$, начиная от точки $H$, идет вправо и вверх.
I. ${\sigma }^{-}⩾0$. Рассмотрим сначала общий случай, когда имеет место неравенство. Так как перемещение $d{R}_t=\mathbf{\Phi }dt$ должно быть противоположно скольжению, то точка $R_t$ начинает подниматься от $P$ вдоль полупрямой $g_1$, которая встречается в точке $A$ с прямой $r$; теперь необходимо рассмотреть отдельно два случая: когда точка $H$, в которой в этом случае прямая $s$ пересекается с полупрямой $g_1$, будет внешней для отрезка $PA$ и когда она будет лежать на этом отрезке.
${\mathrm{I}}_1$. $H$ есть точка, внешняя для отрезка $AP$. Точка $R_t$ движется из $P$ вдоль $g_1$ до точки $A$, которая составляет для нее конечное положение $R$ (фиг. 35).

Если, далее, точка $H$, в которой $s$ пересекает $g_1$, лежит на отрезке $PA$, то необходимо различать два частных случая, смотря по тому, будет ли $\chi ⩽\phi$ или $\chi >\phi$.
${\mathrm{I}}_2$. Точка $H$ лежит на отрезке $PA$ (фиг. 36) и $\chi ⩽\phi$. Так как во всех случаях имеем $\psi >\chi$ и, следовательно, $\psi +\phi >\chi +\phi$, то достаточно применить постулат Евклида к двум прямым $r$ и $s$ и к прямой $g_1$, чтобы видеть, что $r$ и $s$ пересекаются в некоторой точке справа от $g_1$, а так как, далее, $s$ образует с осью $y$ угол $\chi$, меньший или самое большее равный $\phi$, то эта точка будет лежать необходимо внутри угла $\widehat{g_1,g_2}$. Точка $R_t$, пробежав отрезок $PH$ прямой $g_1$, переходит на прямую $s$ и движется по ней вверх до тех пор, пока не достигнет точки пересечения ее с $r$, которая и будет ее конечным положением.
${\mathbf{I}}_3$. Точка $H$ лежит на отрезке $PA$ (фиг. 37) и $\chi >\phi$. Точка $R_t$, придя из $P$ вдоль $g_1$ в $H$, не может идти вдоль $s$, потому что прямая $s$ образует с осью $y$ угол $\chi$, больший угла трения; а так как

по ту сторону от прямой $s{p}_t$ и, следовательно, скорость скольжения ${\sigma }_t$ становятся отрицательными, то точка продолжает двигаться, начиная от $H$, вдоль прямой $g_2^{\prime }$, параллельной $g_2$, вверх.

Так как имеем $\psi >\chi >\phi$, то угол $\phi +\psi$, который $r$ образует с $g_1$, будет больше аналогичного угла $2\phi$, образованного с той же трансверсалью прямой $g_2^{\prime }$; поэтому, как и выше для $r,s$, мы заключаем, что $r,g_2^{\prime }$ пересекаются в некоторой точке угла $\widehat{g_1{g}_2}$, которая и есть конечное положение $R$ точки $R_t$.
Фиг. 36.
Фиг. 37.
Исключавшееся до сих пор частное предположение ${\sigma }^{-}=0$ соответствует тем частным случаям из ${\mathrm{I}}_2,{\mathrm{I}}_3$, когда $H$ совпадает с $P$.
II. ${\sigma }^{-}<0$. Так как дифференциал $d{R}_t$ должен быть противоположен скорости скольжения, которая вначале отрицательна, то точка $R_t$ начинает подниматься из $P$ вдоль $g_2$ и идет вверх, по крайней мере, до тех пор, пока не встретит прямую $r$ или $s$. Не может случиться, чтобы никакая из этих двух прямых не пересекала полупрямую $g_2$, так как такое предположение влекло бы за собой (как это можно видеть, рассматривая огь $y$, которая при условии II пересекается прямой $s$ ниже начала) два соотношения $\psi ⩽\phi ,\phi ⩽\chi$, противоречащие неравенству $\phi >\chi$. Поэтому будем различать два следующих частных случая:
${\mathrm{II}}_1$. Прямая $r$ пересекает $g_2$ в такой точке $B$ (фиг. 38), что отрезок $PB$ не имеет общих точек с $s$. Точка $R_t$ пробегает отрезок $PB$ и в точке $B$ имеет свое конечное положение $R$.
${\mathrm{II}}_2$. Прямая $s$ пересекает $g_2$ в такой точке $K$ (фиг. 39), что отрезок $PK$ не имеет общих точек с $r$. В этом случае мы имеем $\chi <\phi$; с другой стороны, прямые $r,s$, которые справа от оси $y$ образуют с ней два соответствующих угла ${\psi }^{\prime },\mathrm{\%}$, таких, что $\psi >\mathrm{\%}$, пересекаются с той же стороны от $у$ в некоторой точке, которая в силу предположения, что точка $K$ находится под прямой $r$,. будет внутренней для угла $\widehat{g_1{g}_2}$. Точка $R_t$, выходя из точки $P$, идет по прямой $g_2$ до точки $K$, затем идет вдоль прямой $s$, которая образует с осью $y$ угол $\chi$, меньший угла трения $\phi$, и приходит в точку пересечения $R$ прямых $s$ и $r$.

После того как мы исчерпали таким образом все возможные случаи, едва ли необходимо прибавлять, что в любом случае, когда будет
определена точка $R$ и, следовательно, будут определены ее координаты $X,Y$, первоначальные уравнения (40) дадут полное решение задачи.

Не входя в дальнейшее развитие этой теории, мы отсылаем читателя за большими подробностями к трактату Рауса ${}^{1)}$ и к оригинальным работам Дарбу 2), А. Майера ${}^{\text{) }}$ и Пере ${}^4$ ).