21. УДАР НЕИЗМЕНЯЕМОЙ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ о НЕПОДвИЖНОе ПРЕПятствИЕ. В предыдущем пункте мы пренебрегали трением, допуская, что в точке, в которой соударяются два тела, они испытывают два прямо противоположных импульса, по общей нормали к двум поверхностям, направленной для каждого из них внутрь. Задача усложняется, если мы хотим учесть трение скольжения и качения, причем это последнее схематически представляет тот физический факт, что соприкосновение происходит не в геометрической точке, а по некоторой конечной площадке.

Не входя здесь в рассмотрение вопроса в общем виде, мы исследуем только тот случай, когда, отвлекаясь от трения качения, можно довольно простым способом учесть трение скольжения. Это можно сделать в случае двух плоских неизменяемых фигур, движущихся в своей плоскости. Мы рассмотрим, однако, более частный случай — удар плоского неизменяемого профиля $S$ о неподвижную преграду представленную схематически в виде некоторой кривой в плоскости; эту кривую в рамках нашего исследования всегда можно заменить ее касательной в точке, в которой происходит удар. Случай двух фигур, движущихся в их плоскости, можно было бы рассмотреть аналогичным образом. Заметим, что обстоятельства, установленные нами выше, осуществляются при ударе биллиардного шара о борт, если предположить, что вращение шара происходит исключительно вокруг вертикали.

Обозначим через $P$ (фиг. 34 ) точку, в которой в момент $t_{0}$ удара происходит соприкосновение между профилем $S$ и препятствием, и возьмем систему неподвижных осећ с началом в $P$, с осью $y$, направленной вдоль общей нормали к профилю и к преграде и обращенной в сторону $S$, и с осью $x$, направленной вдоль преграды и обращенной в ту сторону, где лежит центр тяжести $G$ профиля $S$ (или произвольно, если центр тяжести лежит на оси $y$ ). Из этих соглашений следует, что если $x_{0}, y_{0}$ обозначают координаты точки $G$, то имеем $x_{0} \geqslant 0, \quad y_{0}>0$.

С другой стороны, необходимо принять во внимание, что импульс $l$, который в момент удара возникает в $P$, действует в ту сторону от оси $P x$, где лежит $\mathcal{S}$, так что, если $X Y$ суть соответствующие составляющие, то необходимо имеем $Y>0$. Кроме того, этот импульс, по определению, равен
\[
I=\lim _{t \rightarrow 0} \int_{t_{0}}^{t_{9}+\tau} \Phi d t,
\]

где $\Phi$ в любой момент очень короткого промежутка времени $\tau$ представляет собой реакцию, которая согласно законам трения скольжения всегда принадлежит углу $\widehat{g_{1} g_{2}}$ величины $2 \varphi$ с биссектрисой $O y$, если $\varphi$ есть соответствующий угол трения. Отсюда мы видим, что то же самое произойдет и с только что написанным интегралом и, следовательно, в пределе и с самим импульсом $I$.

Заметив это, обратимся к основным уравнениям движения под действием мгновенных сил в плоском случае (п. 10), учитывая, что результирующая импульсов $\mathbf{R}$ сводится к $I$ и что, так как $\mathbf{M}=\overrightarrow{G P} \times \boldsymbol{I}$, будем иметь
\[
M_{z}=y_{0} X-x_{0} Y .
\]

Поэтому уравнения п. 10, если через $\boldsymbol{w}, v$ обозначим проекции скорости центра тяжести $\boldsymbol{v}_{0}$, а вместо $C$ напишем $m \delta^{2}$, где \& есть центральный радиус инерции фигуры $\mathcal{S}$, принимают вид
\[
\Delta u=\frac{1}{m} X, \Delta v=\frac{1}{m} Y, \Delta \dot{\theta}=\frac{1}{m^{\frac{2}{2}}}\left(y_{0} X-x_{0} Y\right) .
\]

В эти выражения для изменений, испытываемых при ударе тремя характеристическими величинами $u, \boldsymbol{v}, \dot{\boldsymbol{j}}$, входят две неизвестные проекции $X, Y$ реактивного импульса, а потому, чтобы сделать задачу определенной, необходимо ввести еще два условия. Заметим теперь же, что к одному из них мы придем, допуская применимость также и в этом случае эмпирического закона Ньютона, а другое будет получено из исследования влияния трения.

Заметим сначала, что точка профиля, которая в момент $t_{0}$ находится в $P$, как неизменно связанная с $S$, имеет скорость
\[
\boldsymbol{v}_{0}+\omega \times \overrightarrow{G P},
\]

а проекции $\circ$ и $у$ этой скорости на оси $O x, O y$, ввиду того что пространственные проекции вектора $\omega$ суть $0,0, \dot{\theta}$, имеют выражения
\[
\left.\begin{array}{l}
\sigma=u+y_{0} \dot{b}, \\
v=v-x_{0} \dot{b} .
\end{array}\right\}
\]

Касательная составляющая определяет скольжение профиля $S$ по препятствию. Что же касается нормальной составляющей $v$, то надо заметить, что при сближении до удара и удалении тотчас же после удара (если исключить случай совершенно неупругих тел) значение этой составляющей до удара ( $
u^{-}$) существенно отрицательно, а значение ее после удара $\left(v^{+}\right.$) существенно положительно. Как уже было указано, мы допустим здесь еще раз применимость закона Ньютона
\[

u^{+}=-e^{
u^{-}},
\]

где $e$ обозначает коэффициент восстановления сталкивающихся тел.
Чтобы с выгодой использовать равенство (39), заметим, что из равенств (38) на основании уравнений (37) непосредственно следуют два уравнения:
\[
\left.\begin{array}{l}
\Delta \sigma=\frac{1}{m}\left\{\left(1+\frac{y_{0}^{2}}{\delta^{2}}\right) X-\frac{x_{0} y_{0}}{\delta^{2}} Y\right\}, \\
\Delta
u=\frac{1}{m}\left\{-\frac{x_{0} y_{0}}{\delta^{2}} X+\left(1+\frac{x_{0}^{2}}{\delta^{2}}\right) Y\right\} ;
\end{array}\right\}
\]

если положить в этих уравнениях
\[
a=\frac{1}{m}\left(1+\frac{x_{0}^{2}}{\delta^{2}}\right), b=\frac{1}{m}\left(1+\frac{y_{0}^{2}}{\delta^{2}}\right), c=\frac{1}{m} \frac{x_{0} y_{0}}{\delta^{2}}
\]

и исключить из второго $
u^{+}$при помощи равенства (39), то они преобразуются в следующие:
\[
\begin{array}{c}
\sigma^{+}=\sigma^{-}+b X-c Y . \\
-(1+e)
u^{-}=-c X+a Y .
\end{array}
\]

Важно отметить, что постоянные $a, b, c$, введенные таким образом в качестве структурных данных профиля $S$, все три положительны: первые две по существу, а третья в силу наших допущений (так как $c=0$ только тогда, когда $G$ лежит на $O y$ ); кроме того, имеем
\[
a b>c^{2} .
\]

Уравнение (42), левая часть которого так же, как $a$ и $c$, является известной постоянной, дает в более удобной для нашей цели форме одно из искомых уравнений, связывающих вспомогательные неизвестные $X, Y$.

Уравнение (41), наоборот, вместе с неизвестными $X, Y$, содержит еще неизвестную $\sigma^{+}$; для того чтобы довести задачу до конца, мы

должны рассмотреть при помощи законов Кулона, относящихся к трению скольжения (статического и динамического), поведение реакции $\Phi$ за очень короткий промежуток времени $\tau$, в течение которого действительно происходит явление удара.

Для облегчения этого анализа и последующих рассуждений обратимся к геометрическому представлению. Следуя Раусу, введем точку $R$ с координатами $X, Y$, т. е. свободный конец вектора $I$, приложенного в точке $P$, и заметим прежде всего, что он должен находиться на прямой $r$, определяемой уравнением (42). По знакам коэффициентов мы видим, что прямая $r$ пересекает ось $x$ в точке с отрицательной абсциссой (или бесконечно удаленной) и ось у в точке с положительной ординатой, так что она имеет некоторую общую точку $A$ (см. фиг. на стр. 497-499) с той стороной $q_{1}$ двойного угла трения $\widehat{q_{1} q_{2}}=2$ oт, относящегося к преграде в $P$, которая лежит во втором квадранте осей. Обозначая через $\psi$ угол (положительный и острый), который эта прямая образует с осью $y$, будем иметь
\[
\operatorname{tg} \dot{\psi}=\frac{a}{c} ;
\]

прямая $r$ пересечет также полупрямую $g_{2}$ в некоторой точке $B$ или будет лежать, начиная от точки $A$, вся внутри угла $\widehat{g_{1}, g_{2}}$, в зависимости от того, будет ли $\psi>p$ или $\psi \leqslant \varphi$.
Напишем теперь снова уравнение (41), полагая
\[
\begin{array}{c}
p^{+}=\frac{\sigma^{+}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}, \quad p^{-}=\frac{\sigma^{-}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}} ; \\
\cos \widehat{x n}=-\frac{b}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}, \sin \widehat{x n}=\frac{c}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}
\end{array}
\]

В силу этого уравнение (41) принимает вид
\[
p^{+}=-\left(X \cos \widehat{x n}+Y \sin \widehat{x n}-p^{-}\right)
\]

и позволяет истолковать неизвестную $p^{+}$как расстояние точки $R$ от прямой $s$, нормальное уравнение которой есть
\[
x \cos \widehat{x n}+y \sin \widehat{x n}-p^{-}=0 .
\]

Эту прямую можно назвать прямой нулевого скольжения, так как скорость скольжения $\sigma^{+}$после удара обращается в нуль только тогда, когда точка $R$ лежит на ней.

Направленная нормаль $n$ к $s$, проходящая через начало, как это следует из выражений ее направляющих косинусов, принадлежит ко второму квадранту осей. Естественно, что прямая $s$ пересекает эту нормаль с той или другой стороны от начала, смотря по знаку величины $p$ — или, что то же, по знаку скорости скольжения о- до удара.

В обоих случаях прямая $s$ согласно обычным соглашениям аналитической геометрии будет направлена вверх (т. е. в сторону возрастающих $y$ ), и угол $\chi$ (положительный и острый), который она образует с осью $y$, определяется соотношением $\operatorname{tg} \chi=c / b$, так что, принимая во внимание равенства (44) и (43), мы видим, что $\psi>\chi$.

Обращаясь теперь к исследованию явления удара в последовательные моменты очень краткого промежутка времени $\tau$, в течение которого он происходит, обозначим через $t$ какой-нибудь один из этих моментов и рассмотрим соответствующее значение импульса
\[
\boldsymbol{I}_{t}=\int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{\Phi} d t
\]

с проекциями $X_{t}, Y_{t}$ и скорость скольжения $\sigma_{t}$ для того же момента. В этот момент $t$ изменения, испытываемые характеристическими величинами $u, v, \dot{\theta}$, будут определяться теми же уравнениями (37), в которых вместо $X ; Y$ надо подставить $X_{t}, Y_{t}$. Вместо уравнения (41) или эквивалентного ему уравнения (41′) будет иметь место уравнение
\[
p_{t}=-\left(X_{t} \cos \widehat{x n}+Y_{t} \sin \widehat{x n}-p-\right),
\]

где положено
\[
p_{t}=\frac{\sigma_{t}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}} .
\]

Обозначим через $R_{t}$ точку с координатами $X_{t}, Y_{t}$, которая представляет в любой момент соответствующее значение $\boldsymbol{I}_{\boldsymbol{t}}$ импульса. Задача заключается в том, чтобы определить, каков будет путь, описываемый точкой $R_{t}$, за промежуток времени от $t_{0}$ до $t_{0}+\tau$, начиная от положения $P$, из которого она выходит в момент $t_{0}$, и каково будет конечное положение $R$, которого достигает $R_{t}$ в момент $t_{0}+\tau$ на прямой $r$.

Для этой цели, как уже указывалось, нам надо только принять во внимание эмпирические законы трения скольжения. Прежде всего, заметим, что, по определению, имеем $d R_{t}=d I_{t}=\boldsymbol{\Phi} d t$; вспоминая, что импульс $\boldsymbol{\Phi}$ всегда будет обращен наружу от преграды, мы видим, что на чертеже путь точки $R_{t}$ от $P$ до $R$ должен быть направлен вверх. Кроме того, в силу законов динамического трения, направление движения точки $R_{t}$, совпадающее с направлением реактивного импульса $\boldsymbol{\Phi}$, который должен быть противоположным скольжению, будет совпадать с направлением $g_{i}$ или $g_{2}$, смотря по тому, будет ли $\sigma_{t}>0$ или $\sigma_{t}<0$; єсли же в некоторый момент $t \sigma_{t}$ исчезает, то $R_{t}$ будет находиться на прямой $s$ нулевого скольжения и элементарное перемещение точки $R_{t}$ будет подчинено только условию лежать внутри угла $\widehat{g_{1}, g_{2}}$; оно будет оставаться внутри

этого угла, пока скорость. скольжения остается равной нулю, а это требует, чтобы угол $\chi=\widehat{y s}$ был меньше угла трения $\varphi$.

Предыдущие рассуждения легко приводят к определению конечного положения $R$ точки $R_{t}$ на прямой $r$, если будем рассматривать отдельно два общих случая: I. $\sigma^{-} \geqslant 0$, II. $\sigma^{-}<0$ и различные частные случаи, которые в них входят.

Надо тотчас же отметить, что так как $p$ — имеет тот же самый знак, что и $\sigma^{-}$(и исчезает вместе с $\sigma^{-}$), прямая $s$ нулевого скольжения, определяемая равенством (45), в случае I имеет общую точку $H$ с полупрямой $g_{1}$ ( $H$ совпадает с $P$ при $\sigma^{-}=0$ ), а в случае II — с продолжением этой полупрямой; важно помнить, что во всех случаях прямая $s$, начиная от точки $H$, идет вправо и вверх.
I. $\sigma^{-} \geqslant 0$. Рассмотрим сначала общий случай, когда имеет место неравенство. Так как перемещение $d R_{t}=\boldsymbol{\Phi} d t$ должно быть противоположно скольжению, то точка $R_{t}$ начинает подниматься от $P$ вдоль полупрямой $g_{1}$, которая встречается в точке $A$ с прямой $r$; теперь необходимо рассмотреть отдельно два случая: когда точка $H$, в которой в этом случае прямая $s$ пересекается с полупрямой $g_{1}$, будет внешней для отрезка $P A$ и когда она будет лежать на этом отрезке.
$\mathrm{I}_{1}$. $H$ есть точка, внешняя для отрезка $A P$. Точка $R_{t}$ движется из $P$ вдоль $g_{1}$ до точки $A$, которая составляет для нее конечное положение $R$ (фиг. 35).

Если, далее, точка $H$, в которой $s$ пересекает $g_{1}$, лежит на отрезке $P A$, то необходимо различать два частных случая, смотря по тому, будет ли $\chi \leqslant \varphi$ или $\chi>\varphi$.
$\mathrm{I}_{2}$. Точка $H$ лежит на отрезке $P A$ (фиг. 36) и $\chi \leqslant \varphi$. Так как во всех случаях имеем $\psi>\chi$ и, следовательно, $\psi+\varphi>\chi+\varphi$, то достаточно применить постулат Евклида к двум прямым $r$ и $s$ и к прямой $g_{1}$, чтобы видеть, что $r$ и $s$ пересекаются в некоторой точке справа от $g_{1}$, а так как, далее, $s$ образует с осью $y$ угол $\chi$, меньший или самое большее равный $\varphi$, то эта точка будет лежать необходимо внутри угла $\widehat{g_{1}, g_{2}}$. Точка $R_{t}$, пробежав отрезок $P H$ прямой $g_{1}$, переходит на прямую $s$ и движется по ней вверх до тех пор, пока не достигнет точки пересечения ее с $r$, которая и будет ее конечным положением.
$\mathbf{I}_{3}$. Точка $H$ лежит на отрезке $P A$ (фиг. 37) и $\chi>\varphi$. Точка $R_{t}$, придя из $P$ вдоль $g_{1}$ в $H$, не может идти вдоль $s$, потому что прямая $s$ образует с осью $y$ угол $\chi$, больший угла трения; а так как

по ту сторону от прямой $s p_{t}$ и, следовательно, скорость скольжения $\sigma_{t}$ становятся отрицательными, то точка продолжает двигаться, начиная от $H$, вдоль прямой $g_{2}^{\prime}$, параллельной $g_{2}$, вверх.

Так как имеем $\psi>\chi>\varphi$, то угол $\varphi+\psi$, который $r$ образует с $g_{1}$, будет больше аналогичного угла $2 \varphi$, образованного с той же трансверсалью прямой $g_{2}^{\prime}$; поэтому, как и выше для $r, s$, мы заключаем, что $r, g_{2}^{\prime}$ пересекаются в некоторой точке угла $\widehat{g_{1} g_{2}}$, которая и есть конечное положение $R$ точки $R_{t}$.
Фиг. 36.
Фиг. 37.
Исключавшееся до сих пор частное предположение $\sigma^{-}=0$ соответствует тем частным случаям из $\mathrm{I}_{2}, \mathrm{I}_{3}$, когда $H$ совпадает с $P$.
II. $\sigma^{-}<0$. Так как дифференциал $d R_{t}$ должен быть противоположен скорости скольжения, которая вначале отрицательна, то точка $R_{t}$ начинает подниматься из $P$ вдоль $g_{2}$ и идет вверх, по крайней мере, до тех пор, пока не встретит прямую $r$ или $s$. Не может случиться, чтобы никакая из этих двух прямых не пересекала полупрямую $g_{2}$, так как такое предположение влекло бы за собой (как это можно видеть, рассматривая огь $y$, которая при условии II пересекается прямой $s$ ниже начала) два соотношения $\psi \leqslant \varphi, \varphi \leqslant \chi$, противоречащие неравенству $\varphi>\chi$. Поэтому будем различать два следующих частных случая:
$\mathrm{II}_{1}$. Прямая $r$ пересекает $g_{2}$ в такой точке $B$ (фиг. 38), что отрезок $P B$ не имеет общих точек с $s$. Точка $R_{t}$ пробегает отрезок $P B$ и в точке $B$ имеет свое конечное положение $R$.
$\mathrm{II}_{2}$. Прямая $s$ пересекает $g_{2}$ в такой точке $K$ (фиг. 39), что отрезок $P K$ не имеет общих точек с $r$. В этом случае мы имеем $\chi<\varphi$; с другой стороны, прямые $r, s$, которые справа от оси $y$ образуют с ней два соответствующих угла $\psi^{\prime}, \%$, таких, что $\psi>\%$, пересекаются с той же стороны от $у$ в некоторой точке, которая в силу предположения, что точка $K$ находится под прямой $r$,. будет внутренней для угла $\widehat{g_{1} g_{2}}$. Точка $R_{t}$, выходя из точки $P$, идет по прямой $g_{2}$ до точки $K$, затем идет вдоль прямой $s$, которая образует с осью $y$ угол $\chi$, меньший угла трения $\varphi$, и приходит в точку пересечения $R$ прямых $s$ и $r$.

После того как мы исчерпали таким образом все возможные случаи, едва ли необходимо прибавлять, что в любом случае, когда будет
определена точка $R$ и, следовательно, будут определены ее координаты $X, Y$, первоначальные уравнения (40) дадут полное решение задачи.

Не входя в дальнейшее развитие этой теории, мы отсылаем читателя за большими подробностями к трактату Рауса ${ }^{1)}$ и к оригинальным работам Дарбу 2), А. Майера ${ }^{\text {) }}$ и Пере ${ }^{4}$ ).