20. Уравнения движения. Рассмотрим однородный круговой цилиндр, лежащий на наклонной шероховатой плоскости, с образующими, перпендикулярными к направлению линии наибольшего наклона, и предположим, что на него действует только сила тяжести $p=m g$ и, конечно, реакция опоры. Мы, очевидно, имеем здесь условия п. 12 , так что можно изучать задачу о движении нормального сечения, проходящего через центр тяжести цилиндра, в плоскости этого сечения, принимая за неподвижную ось $Q \xi$ соответствующую линию наибольшего наклона, направленную вниз, и за ось $\Omega_{\eta}$ – перпендикуляр к ней, направленный вверх (фиг. 5).

В каждой точке образующей касания возбуждаются, согласно законам трения, реактивные силы и моменты, которые после приведения к точке касания $O$ в плоскости фигуры будут вполне определены нормальной реакцией $N$, направленной вверх, касательной реакцией $A$ или трением скольжения, направленной по оси $Q \xi$, и, наконец, моментом трения качения, перпендикулярным к плоскости фигуры, проекцию которого на ось $Q \zeta$, образующую вместе с осями $Q \xi$ и $Q \eta$ правую систему осей, мы будем обозначать через $\Gamma$.

После этих предварительных замечаний обратимся снова к основным уравнениям (21), (22) плоского движения. Так как здесь расстояние центра тяжести $G$ от оси $\xi$ остается всегда равным радиусу $r$ цилиндра, то второе из уравнении (21) дает
\[
N=p \cos \alpha=m g \cos \alpha,
\]

где $\alpha$ обозначает угол наклона плоскости к горизонту, а первое из Фиг, 5. уравнений (21) и уравнение (22), если по прежнему будем обозначать через $V$ скорость (параллельную оси $\mathbf{Q \xi}$ ) центра тяжести, через $\omega=\dot{j}$ – угловую скорость с надлежащим знаком, через $\delta$-радиус инерции цилиндра относительно его оси, принимают вид
\[
\begin{array}{c}
m \dot{V}=m g \sin \alpha+A, \\
m \delta^{2} \dot{\omega}=r A+\Gamma .
\end{array}
\]

Мы пришли, таким образом, к тем же уравнениям (24) и (25) п. 16 , с той только разницей, что в выражении нормальной реакции (24) сила тяжести $p$ заменена ее проекцией $p \cos \alpha$, а величины г и $M$ в уравнениях (25) выражены здесь в виде
\[
\tau=p \sin \alpha=m g \sin \alpha, \quad M=\Gamma .
\]

Далее, если введем здесь также скорость скольжения
\[
\sigma=V+r \omega,
\]

то из (41), (42) получим уравнение
\[
m \dot{\sigma}=\tau+\left(1+\frac{r^{2}}{\delta^{2}}\right) A+\frac{r}{\hat{\delta}^{2}} \Gamma .
\]

Естественно, что $A$ и Г в силу эмпирических законов трения всегда должны удовлетворять соответственно условиям $|A| \leqslant f N,|\Gamma| \leqslant h N$, тде, как обычно, $f$ и $h$ обозначают коэффициент трения скольжения

и параметр трения качения. На основании равенств (40), (43) оба эти условия можно написать в виде
\[
\begin{array}{l}
|A| \leqslant \frac{f}{\operatorname{tg} \alpha} \tau, \\
|\Gamma| \leqslant \frac{h}{\operatorname{tg} \alpha} \tau ;
\end{array}
\]

при этом надо принять во внимание, что в силу тех же эмпирических законов трения в условии (45) имеет силу исключительно знак равенства во всяком состоянии движения со скольжением ( $\sigma
eq 0$ ) и в этом случае знак $A$ будет противоположен знаку $\sigma$, тогда как в условии (46) знак равенства будет иметь силу только тогда, когда налицо будет качение $(\omega
eq 0)$; в этом предположении $\Gamma$ будет иметь знак, обратный знаку $\omega$.
21. Исследование возникающего движения. Мы ограничимся здесь только рассмотрением движения цилиндра, возникающего из состояния покоя, но зато подробно разберем все возможные случаи, относящиеся к постоянным, определяющим задачу: углу наклона $\alpha$, радиусу $r$ и радиусу инерции $\delta$ цилиндра, коэффициенту $f$ и параметру $h$ трения.

Мы сделаем здесь одно предварительное замечание, по существу чисто интуитивное, заключающееся в том, что ускорение во всяком случае не будет отрицательным ( $\dot{V} \geqslant 0$ ), если цилиндр исходит из состояния покоя, т. е. что центр тяжести, если он не остается неподвижным, движется, опускаясь. Это естественное предположение строго оправдывается на основании теоремы живых сил. Если мы, как обычно, обозначим через $T$ живую силу, через $U$-потенциал силь тяжести и через $L$-работу сил трения, то уравнение живых сил будет иметь вид
\[
d T-d U=d L .
\]

Отсюда в силу того, что величина $d L$, как относящаяся к силам, имеющим характер пассивных сопротивлений, не может быть положительной, мы выводим
\[
d T-d U \leqslant 0
\]

и, следовательно, интегрируя от любого начального момента и принимая во внимание, что в начале движения живая сила равна нулю, будем иметь
\[
T-\left(U-U_{0}\right) \leqslant 0 .
\]

Но если мы обозначим временно через $\xi, \eta$ координаты центра тяжести $G$, то высота этой точки относительно горизонтали, проходящей через $Q$, т. е. проекция на вєртикаль вектора $\overrightarrow{Q G}=\overrightarrow{Q O}+\overrightarrow{O G}$,

будет равна $\xi \sin \alpha+r \cos \alpha$, так что с точностью до несущественной аддитивной постоянной можно положить
\[
U=m g \xi \sin \alpha ;
\]

из равенства (47) в силу существенно положительной природы $T$ выводим, что $\xi-\xi_{0} \geqslant 0$. Так как вследствие равенства нулю в начальный момент скорости точки $G$ направление возникающего движения совпадает с направлением ускорения, то предыдущее соотношение для начала движения как раз дает
\[
V \geqslant 0 .
\]

Из этого же соотношения следует, что в моменты, непосредственно следующие за начальным, скорость $V$, если не остается постоянно равной нулю, будет положительной, так что на основании равенств (41), (43) для возникающего движения во всяком случае справедливо соотношение
\[
\tau+A \geqslant 0 .
\]

После этого замечания обратимся прежде всего к обычным условиям, когда предельное значение тяги при качении ( $h / r N$ ) меньше предельного значения трения скольжения ( $f N$ ), т. е., как в п. 17, предположим
\[
\frac{h}{r}<f
\]

м будем различать для угла наклона плоскости три следующих возможных случая:
а) малый угол наклона, т. е.
\[
\operatorname{tg} \alpha \leqslant \frac{h}{r}
\]
б) средний угол наклона, т. е.
\[
\frac{h}{r}<\operatorname{tg} \alpha \leqslant f_{1},
\]

где, как и в п. 19, положено
\[
f_{1}=f+\frac{r^{2}}{\hat{\varepsilon}^{2}}\left(f-\frac{h}{r}\right) ;
\]
в) значительный угол наклона, т. е.
\[
\operatorname{tg} \alpha>f_{1} .
\]

Непосредственно за начальным моментом для цилиндра, выходящего из состояния покоя, возможны а priori следующие четыре состояния: 1) равновесие $(\omega=0, \sigma=0)$; 2) качение без скольжения $(\omega
eq 0, \sigma=0) ; 3)$ скольжение без качения $(\omega=0, \sigma
eq 0)$; 4) качение со скольжением ( $\omega
eq 0, \sigma
eq 0$ ). Мы покажем здесь, что при

$h / r<f$ в зависимости от того, будет ли угол наклона плоскости в только что разъясненном смысле малым, средним или значительным, в согласии с эмпирическими законами трения могут встретиться соответственно первый, второй или четвертый случай, третий же никогда не может иметь места.
а) Малый угол наклона: $\operatorname{tg} \alpha \leqslant h / r$.
В этом случае в согласии с законами трения будет иметь место равновесие.

Действительно, так как $\omega$ и $\sigma$ равны нулю, то в силу соотношения (26) таким же будет и $V$, следовательно, на основании уравнения (41) будем иметь $A=-\tau$; это значение $A$, несомненно, удовлетворит условию (45), так как предположение а) в силу соотношения (32) влечет за собой соотношение $\operatorname{tg} \alpha \leqslant f$.

С другой стороны, так как $\omega=0$, то уравнение (42) дает $\Gamma=-r A$. При найденном значении $A$ будет $\Gamma=r \tau$, а это значение $\Gamma$ при $r<h / \operatorname{tg} \alpha$ удовлетворяет соотношению (46).

Наконец, можно и непосредственно убедиться, что предположение а) малого наклона совместно $z$ условием (32) заключает в себе условие равновесия как по отношению к скольжению $(\operatorname{tg} \alpha \leqslant f$, т. е. угол наклона не превышает угла трения), так и по отношению к качению (т. е., как это следует из рассмотрения равновесия, $\operatorname{tg} \alpha \leqslant h / r$ ).
б) Средний угол наклона: $h / r<\operatorname{tg} \alpha \leqslant f_{1}$.
При этом предположении и, разумеется, при условии (32) возникающее движение будет чистым качением $(\omega
eq 0, \sigma=0$ ).

Чтобы подтвердить это, заметим прежде всего, что в возникающем движении угловая скорость ш будет отрицательной, так как на основании соотношения (26) $V=-r \omega$, а $V$, как и во всяком другом случае, должно быть больше 0 ; поэтому из неравенства (46), которое здесь будет фигурировать как равенство, принимая во внимание, что Г’ и ш должны быть с противоположными знаками, получим
\[
\Gamma=\frac{h}{\operatorname{tg} \alpha} \tau .
\]

Подставляя это значение I в (44) и полагая в нем $\dot{\sigma}=0$, придем к уравнению
\[
\left(1+\frac{r^{2}}{\hat{\partial}^{2}}\right) A=-\left(1+\frac{r}{\hat{\delta}^{2}} \frac{h}{\operatorname{tg} \alpha}\right) \tau,
\]

определяющему трение скольжения $A$; теперь все сводится к проверке того, что значение, полученное таким образом для $A$, удовлетворяет условию (45). При найденном значении $A$ условие (45) принимает вид
\[
\frac{1+\frac{r}{j^{2}} \frac{h}{\operatorname{tg} x}}{1+\frac{r^{2}}{i^{2}}} \leqslant \frac{f}{\operatorname{tg} \alpha}
\]

или
\[
\operatorname{tg} \alpha+\frac{r h}{\delta^{2}} \leqslant f\left(1+\frac{r^{2}}{\delta^{2}}\right) ;
\]

это соотношение есть не что иное, как заданное условие
\[
\operatorname{tg} \alpha \leqslant f_{1} .
\]
в) Значительный угол наклока: $\operatorname{tg} \alpha>f_{1}$.

Мы утверждаем, что при этом предположении и при условии (32) возникающее движение будет качением со скольжением ( $\omega
eq 0$, $\sigma
eq 0$ ).

Для такого движения соотношения (45), (46) будут равенствами, откуда на основании неравенства (32) следует, что $|\Gamma|<r|A|$; после этого из уравнения (42) получим, что знак $\dot{\omega}$ будет совпадать со знаком $A$, который в свою очередь в силу законов динамического трения противоположен знаку б. С другой стороны, так как движение начинается из состояния покоя, то знак $\dot{\omega}$ тотчас же вслед за начальным моментом будет совпадать со знаком $\omega$, откуда окончательно видим, что $\sigma$ и $\omega$ имеют противоположные знаки. Но так как $V=\sigma-r \omega$ и тотчас же после начального момента должно быть $V>0$, то оба слагаемых с одинаковыми знаками могут быть только положительными, и мы получаем два неравенства $\sigma>0$, $\omega<0$, из которых видно, что цилиндр катится и скользит вниз. Следовательно, условия (45), (46) дают
\[
A=-\frac{f}{\operatorname{tg} \alpha} \tau, \quad \mathrm{Y}=\frac{h}{\operatorname{tg} \alpha} \tau,
\]

а эти два выражения позволяют проверить, что в равенстве
\[
\Gamma+r A=m \hat{\delta}^{2} \dot{\omega}
\]

обе части будут действительно отрицательными.
Здесь уместно изложить вкратце результаты исследования. Мы убедились, что при условии (32) покой, чистое качение и качение со скольжением представляют собой три вида возникающего движения, согласные с эмпирическими законами трения, соответственно в трех случаях а), б), в); предоставляем читателю убедиться, что в каждом из этих случаев остальные три типа возникающего движения, возможные а priori, но которых мы не рассматривали, должны быть исключены как противоречащие законам трения.

Для полноты рассмотрим также случай, практически исключительный, когда предельное значение силы тяги при качении превосходит или по крайней мере равно предельной силе трения скольжения, т. е. когда в противоположность условию (32) мы имеем
\[
\frac{h}{r} \geqslant f \text {. }
\]

Таков, например, случай цилиндра с очень маленьким радиусом (вязальная игла), опертого на гладкую наклонную плоскость.
В этом предположении достаточно различать два частных случая: a’) Малый угол наклона: $\operatorname{tg} \alpha \leqslant f$. Как и в случае а), при условии (32), покой будет совместим с законами трения. Действительно, для состояния покоя уравнения (41) и (42) дают
\[
A=-\tau, \quad \Gamma=-r A=r \tau .
\]

Первое из этих значений удовлетворяет условию (45) в силу соотношения $\operatorname{tg} \alpha \leqslant f$, второе удовлетворяет условию (46) в силу (49).
$\left.\sigma^{\prime}\right)$ Большой угол наклона: $\operatorname{tg} \alpha>f$. При этом условии возникающее движение, совместимое с законами трения, будет чистым скольжением случай, которого мы еще не рассматривали. Для такого движения имеем $\omega=0, \sigma
eq 0$, и так как здесь $\sigma$ тождественно со скоростью $V$, которая, как мы знаем, положительна, то необходимо должно быть $\circ>0$. В силу этого равенство (45) дает
\[
A=-\frac{f}{\operatorname{tg} \alpha} \tau,
\]

а равенство (42) дает для $\Gamma$ значение
\[
\mathrm{\Gamma}=-r A=\frac{f r}{\operatorname{tg} \alpha} \tau,
\]

удовлетворяющее условию (46) в силу (49); в виде проверки можно показать, что при найденном значении $A$ ускорение $\dot{V}=(\tau+A) / m$ действительно будет положительным.

Здесь мы предоставляем читателю доказательство единственности, т. е. подтверждение того, что в каждом из двух случаев $\mathrm{a}^{\prime}$ ), б⿻ $^{\prime}$ ) при условии (49) всякий другой тип возникающего движения, помимо рассмотренного, привел бы к противоречию с законами трения. Объединим теперь в таблицу результаты, полученные в предыдущем исследо̀вании:
\[
\begin{aligned}
\operatorname{tg} \alpha \leqslant f & \text { покой; } \\
\frac{h}{r}<f\left\{\frac{h}{r}<\operatorname{tg} \alpha \leqslant f\right. & \begin{array}{l}
\text { возникающее движение чистого ка- } \\
\text { чения; }
\end{array} \\
f_{1}>\operatorname{tg} \alpha & \begin{array}{l}
\text { возникающее движение качения со } \\
\text { скольжением; }
\end{array} \\
\frac{h}{r} \geqslant f \quad \operatorname{tg} \alpha>f & \begin{array}{l}
\text { возникающее движение чистого } \\
\text { скольжения. }
\end{array}
\end{aligned}
\]

Заметим теперь, что четыре изложенные здесь структурные гипотезы наравне с четырьмя соответствующими возможностями возникающего движения исчерпывают все возможные случаи и являются, кроме того, такими, что всегда должен необходимо выполняться

один из них, между тем как три остальные исключаются; поэтому на основании известного закона логики результаты, полученные нами, обратимы, т. е. четыре возможных типа возникающего движения определяются каждый структурными условиями, соответственно указанным в приложенной выше таблице.