16. Мы предполагаем здесь исследовать на основе критериев, установленных в § 4 гл. IV, устойчивость или неустойчивость перманентных вращений, которые, как мы видели в предыдущем параграфе, возможны для всякого твердого тела, закрепленного в одной из своих точек $O$, относительно которой результирующий момент внешних активных сил постоянно равен нулю; заметим также, что все, что мы скажем в этом случае, можно будет непосредственно повторитьи в применении к перманентным вращениям относительно осей, проходящих через центр тяжести свободного твердого тела, находящегося под действием внешних сил, результирующий момент которых относительно центра тяжести постоянно равен нулю.

Обратимся сначала к твердому телу со структурой общего вида, т. е., точнее, предположим неравными три главных момента инерции $A, B, C$ твердого тела относительно закрепленной точки, что равносильно допущению, что неравными являются три главные полуоси $a, b, c$ эллипсоида инерции относительно точки $O$; для определенности пусть будет
\[
A<B<C,
\]
т. е.
\[
a>b>c .
\]

Мы знаем, что в этом случае для твердого тела возможны перманентные вращения (с произвольной постоянной угловой скоростью) вокруг каждой из трех главных осей инерции $x, y, z$; если введем, как обычно, проекции $p, q, r$ угловой скорости $\omega$, то перманентные: вращения твердого тела определятся равенствами
\[
\begin{array}{l}
\left.\overline{\sigma_{1}}\right) \quad p=\bar{p}, \quad q=r=0, \\
\left.\bar{\sigma}_{\mathrm{g}}\right) \quad q=\bar{q}, \quad r=p=0 \text {, } \\
\left.\overline{\sigma_{3}}\right) \quad r=\bar{r}, \quad p=q=0 \text {, } \\
\end{array}
\]

где $\bar{p}, \bar{q}, \bar{r}$ обозначают произвольные постоянные.
Равенства $\bar{\sigma}_{1}, \bar{\sigma}_{2}, \bar{\sigma}_{3}$ дают три семейства (зависящие каждое от одной произвольной постоянной) статических решений уравнений Эйлера (5′), которые, определяя $p, q, r$ в функциях времени, вполне определяют всякое возможное при предположенных условиях движение твердого тела.

Покажем теперь, что вращения $\bar{\sigma}_{1}, \bar{\sigma}_{3}$, т. е. перманентные вращения вокруг наибольшей оси $x$ и наименьшей оси $z$ эллипсоида инерции, будут устойчивыми, а перманентные вращения вокруг средней оси $y$, т. е. вращения $\bar{\sigma}_{2}$, будут неустойчивыми.

17. Устойчивые перманентные вращения. Мы будем исходить в нашем исследовании из интеграла моментов количеств движения и интеграла живых сил
\[
\begin{array}{c}
A^{2} p^{2}+B^{2} q^{2}+C^{2} r^{2}=K_{0}^{2}, \\
A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}=2 E
\end{array}
\]
[первые интегралы уравнений Эилера (5′) (п. 9)] и рассмотрим то. соотношение, которое выводится из них путем исключения $p^{2}, q^{2}$ или $r^{2}$, смотря по тому, какую устойчивость мы намерены исследовать, $\bar{\sigma}_{1}, \bar{\sigma}_{2}$ или $\bar{\sigma}_{3}$.
Начнем с первого случая и положим
\[
c_{1}=K_{0}^{2}-2 A E \text {. }
\]

После исключения $p^{2}$ из уравнений (20) и (21′) мы получим первый квадратичный интеграл
\[
B(B-A) q^{2}+C(C-A) r^{2}=c_{1},
\]

в котором для всякого решения $\sigma$ уравнений ( $5^{\prime}$ ), определяемого заданными начальными условиями $p=p_{0}, q=q_{0}, r=r_{0}$ при $t=t_{0}$, постоянная $c_{1}$ в силу соотношений (25) будет положительной, если исключить, что вполне естественно, предположение $q_{0}=r_{0}=0$, которое означало бы возвращение к случаю $\bar{\sigma}_{1}$.

Если согласно обычному геометрическому представлению истолковывать значения, которые в любой момент принимают проекции $q, r$ в решении $\sigma$, как декартовы координаты точки, движущейся по плоскости, то можно сказать, что эта изображающая точка движется вдоль кривой, определяемой уравнением (26). Эта кривая в силу неравенств (25) и неравенства $c_{1}>0$ всегда будет эллипсом.

Предположим теперь, что решение $\sigma$ соответствует начальным условиям, получаемым путем незначительного возмущения любого перманентного вращения $\bar{\sigma}_{1}$ вокруг оси $x$, т. е. предположим, что $q_{0}$ и $r_{0}$ являются произвольно малыми, а $p_{0}$ близко к значению $\bar{p}$, определяющему вращение $\bar{\sigma}_{1}$. Значения постоянной $c_{1}$, а следовательно, и осей эллипса (26) будут ничтожно малыми; мы видим таким образом, что при движении, определяемом из решения $\sigma$, проекции $q$ и $r$ будут. сколь угодно долго оставаться близкими к $q=r=0$.

Далее, для определения $p$ возьмем снова один из двух первых интегралов (20), (21′), например второй. Решив уравнение (21′), получим
\[
p^{2}=\frac{11}{A}\left(2 E-B q^{2}-C r^{2}\right) .
\]

Так как вначале величина $p$ близка к $\bar{p}$, а величины $q, r$ остаются во время движения весьма малыми, то прямо заключаем, что $p$.

в решении $\sigma$ сколь угодно долго остается в непосредственной близости к $\bar{p}$. То же самое произойдет, если мы будем сравнивать указанное решение $\bar{\sigma}_{1}$ с другим решением того же семейства, соответствующим постоянному значению $p$, очень близкому к $\vec{p}$ (и нулевым значениям $q, r$ ). Поэтому движение $\bar{\sigma}_{1}$ устойчиво.
Аналогично доказывается и устойчивость любого решения $\bar{\sigma}_{3}$, т. е. устойчивость всякого перманентного вращения вокруг наименьшей оси эллипсоида инерции (фиг. 15).
Фиг. 15.
18. НЕустоЙчивОЕ ПЕРмАнентное вРАщЕниЕ. Перейдем теперь к исследованию решения $\bar{\sigma}_{2}$. Исключая $q^{2}$ из уравнений (20) и (21′), получим квадратичный интеграл. вида
\[
A(A-B) p^{2}-C(B-C) r^{2}=K_{0}^{2}-2 B E=c_{2},
\]

где для общего решения $\sigma$ уравнений (5′) постоянная $c_{2}$ может оказаться как положительной, так и отрицательной (или нулем), в зависимости от выбора начальных условий $p=p_{0}, q=q_{0}, r=r_{0}$, определяющих $\sigma$. Здесь изображающая точка для одновременных значений $p$ и $r$ в решении $\sigma$ движется по гиперболе, которая может принадлежать тому или другому из двух сопряженных семейств гипербол, имеющих действительную ось тем меньшую, чем меньше будет по абсолютной величине $c_{2}$ или чем ближе к нулю будут начальные значения $p_{0}, r_{0}$.

Легко убедиться, что предположение об устойчивости решения $\sigma_{2}$ приводит к противоречию. В самом деле, предположим, что в некотором решении $\sigma$, вначале близком к решению $\bar{\sigma}_{2}$, величина $q$ даже при беспредельном возрастании времени остается близкой к $\bar{q}$ – угловой скорости этого перманентного вращения. В этом предположении $q$ сохраняет сколь угодно долго знак $\bar{q}$, что же касается абсолютной величины $q$, то ее всегда можно считать большей $|\bar{q}| / 2$. Тогда, имея из уравнений ( $5^{\prime}$ )
\[
\dot{r}-p \dot{r}=\frac{q}{A C}\left[C(B-C) r^{2}-A(A-B) p^{2}\right]=-\frac{c_{2}}{A C} q,
\]

легко видеть, что секторная скорость изображающей точки для $p, r$ относительно центра ветви гиперболы (27), по которой движется эта точка, сохраняет всегда один и тот же знак, а по абсолютной

величине остается в течение всего движения больше постоянной
\[
\frac{\left|c^{2}\right|}{4 A C}|\bar{q}|
\]

точка, вынужденная двигаться по ветви гиперболы всегда в одном и том же направлении и так, чтобы своим радиусом-вектором описывать площадь, возрастающую беспредельно с течением времени, может только удаляться в бесконечность, вопреки предположению об устойчивости решения $\bar{\sigma}_{2}$.

Таким образом, мы заключаем, что перманентные вращения вокруг средней оси эллипсоида инерции, соответствующие решению $\bar{\sigma}_{2}$, неустойчивы (фиг. 15).
19. Случай тЕла с гироскопической структурой. Предыдущие результаты получены в предположении, что три главных момента инерции относительно точки $O$ неравны между собой; поэтому нужно отдельно рассмотреть случай, когда некоторые из моментов инерции совпадают. Однако бесполезно останавливаться на предположении $A=B=C$ (эллипсоид инерции, сводящийся к шару), при котором, как мы знаем, все возможные движения твердого тела сводятся к перманентным вращениям, так что устойчивость каждого из них очевидна.

Остается, следовательно, гироскопический случай, характеризуемый равенством $A=B$ ( $C$ может быть, безразлично, больше или меньше общего значения величин $A$ и $B$ ). В этом предположении возможны, как мы видели, перманентные вращения (с постоянной произвольной угловой скоростью) вокруг бесконечного множества осей: гироскопической оси $z$ и всех экваториальных осей. Мы покажем здесь, что устойчивыми будут перманентные вращения вокруг гироскопической оси, и неустойчивыми – все остальные.

Напомним прежде всего (п. 14), что при любом движении $\sigma$ твердого тела с гироскопической структурой (регулярная прецессия) проекция $r$ угловой скорости на направление гироскопической оси остается постоянной; отсюда следует, что при исследовании устойчивости мы можем ограничиться рассмотрением двух экваториальных проекций $p$ и $q$.

Заметим при этом, что при любом гироскопическом движении $\sigma$ угловая скорость
\[
\omega=e+r k
\]

именно потому, что речь идет о регулярной прецессии, сохраняет неизменной свою величину; то же самое свойство имеет, следовательно, ее составляющая $\boldsymbol{e}$ в экваториальной плоскости, неизменно связанной с осью фигуры $z$; поэтому, обозначив через $p_{0}$ и $q_{0}$ начальные значения $p$ и $q$ в движении $\sigma$, будем иметь квадратичный интеграл
\[
p^{2}+q^{2}=p_{0}^{2}+q_{0}^{2},
\]

который, естественно, можно было бы вывести также из интеграла (21) живых сил, принимая во внимание допущенные здесь частные предположения. На основании предыдущего синтетического рассуждения условное представление величин $p$ и $q$ посредством изображающей точки в данном случае реализуется на экваториальной плоскости концом составляющей $\boldsymbol{e}$ вектора $\boldsymbol{\omega}$, описывающим в течение прецессии окружность ( $21^{\prime \prime}$ ) с радиусом $\sqrt{p_{0}^{2}+q_{0}^{2}}$ постоянно в одном и том же направлении (и с постоянной скоростью).

Обращаясь теперь к любому перманентному вращению $\bar{\sigma}(r=\vec{r}$, $p=q=0$ ) вокруг гироскопической оси, мы увидим, что для любой регулярной прецессии $\sigma$, вначале близкой к $\bar{\sigma}$, т. е. такой, что $p_{0}$ и $q_{0}$ близки к нулю, изображающая точка для $p, q$ движется сколь угодно долго по окружности с весьма малым радиусом ( $21^{\prime \prime}$ ), а потому $p$ и $q$ остаются всегда близкими к нулю, и устойчивость вращения $\bar{\sigma}$, таким образом, доказана.

Наоборот, рассмотрим любое перманентное вращение вокруг какой-нибудь экваториальной оси, которую, не нарушая общности, мы можем предположить совпадающей с осью $x$, т. е. обратимся к решению $\sigma_{1}(p=\bar{p}, q=r=0$ ). Для какой-нибудь регулярной прецессии $\sigma$, вначале близкой к $\bar{\sigma}_{1}$, т. е. имеющей $p_{0}$ и $q_{0}$ соответственно близкими к $\vec{p}$ и к нулю, окружность ( $\left.21^{\prime \prime}\right)$ будет иметь радиус не ничтожно малын, а близкий к $\bar{p}$, так что при движении по ней изображающей точки проекция $q$ изменяется по гармоническому закону в интервале, близком к интервалу от $\bar{p}$ до – $\bar{p}$ и, следовательно, большем конечного интервала от $\bar{p} / 2$ до- $\bar{p} / 2$, не зависящего от начальной разности между решениями $\sigma$ и $\bar{\sigma}$.

Это вполне ясно показывает неустойчивость всякого перманентного вращения вокруг экваториальной оси [5].