31. Принцип Гамильтона, распространенный в п. 19 на нормальные лагранжевы системы, устанавливает эквивалентность между любой такой системой (31) и условием стационарности $\delta S=0$ соответствующего интеграла
\[
\mathrm{S}=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \Omega d t
\]

по отношению ко всем синхронным и только синхронным вариациям любого движения $\sigma$ между одними и теми же крайними конфигурациями, к которому относится этот интеграл. Такая вариация определяется $n$ бесконечно малыми функциями $\delta q$ от $t$, произвольными в промежутке от $t_{0}$ до $t_{1}$, но исчезающими в моменты, соответствующие крайним положениям.

Далее, вспоминая, что $\delta \dot{q}$ суть не что иное, как производные по времени от $\delta q$ (п. 6 ), и принимая во внимание уравнения, определяющие обобщенные количества движения
\[
p_{h}=\frac{\partial \Omega}{\partial \dot{q}_{h}} \quad(h=1,2 \ldots, n),
\]

мы увидим, что вариации $\delta p$ не остаются произвольными, а будут однозначно определены как линейные однородные функции от $\delta q, \dot{\delta} q$; поэтому, если ввести характеристическую функцию Гамильтона
\[
H=\sum_{h=1}^{n} \frac{\partial \mathcal{Q}}{\dot{\delta} \dot{q}_{h}} \dot{q}_{h}-\mathfrak{Q}=\sum_{h=1}^{n} p_{h} q_{h}-\Omega
\]

и написать интеграл (16) в виде
\[
\mathrm{S}=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum_{h=1}^{n} \dot{p_{h}} \dot{q_{h}}-H\right) d t,
\]

то эквивалентность, утверждаемая принципом Гамильтона, будет иметь место, так как в синхронной вариации $\delta \mathrm{S}$ вариации $\delta p$ рассматриваются уже не произвольными, а связанными с $\delta q, \delta \dot{q}$, как было сказано выше.

Гельмгольц заметил, что если интеграл, $\mathrm{S}$ берется в виде (16′) и функция $H$ рассматривается в нем выраженной через $p, q$ и, возможно, через $t$ и если в соответствующей синхронной вариации $\delta \mathrm{S}$ вариации $\delta p$ рассматриваются как произвольные наравне с $\delta q$ (при $\delta q_{h}=0$ при $t=t_{0}$ и при $t=t_{1}$, но без какого бы то ни было ограничения для $\delta p$ ), то условие $\delta \mathrm{S}=0$ будет все еще эквивалентно лагранжевой системе (31) или, что одно и то же, в предположении $\Delta
eq 0$, гамильтоновой системе
\[
\dot{p}_{h}=-\frac{\partial H}{\partial q_{h}}, \quad \dot{q}_{h}=\frac{\partial h}{\partial p_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Чтобы оправдать это утверждение, заметим прежде всего, что из $\delta S=0$ следуют уравнения (31′), потому что $\delta \mathrm{S}$ обращается в нуль при всяком возможном выборе $\delta p$ (и $\delta q$ ), что несомненно оправдывается, в частности, когда вариациям $\delta p$ приписываются те значения в виде линейных функций от $\delta q, \dot{\delta} q$, которые выводятся из уравнений, определяющих обобщенные количества движения. Заметим, далее, что в то время как в обычном понимании вариация интеграла $\mathrm{S}$ геометрически истолковывается как происходящая от бесконечно малого. произвольного изменения изображающей кривой в пространстве $\Gamma_{n}$ конфигураций (между теми же крайними конфигурациями), обобщение Гельмгольца относится непосредственно к произвольной бесконечно малой вариации изображающей кривой в фазовом пространстве $\Phi_{2 n}$ (между теми же крайними значениями для $q$, но не необходимо для $p$ ).

Доказательство справедливости обратного свойства, т. е. доказательство того, что из уравнений ( $\left.31^{\prime}\right)$ следует $\delta S=0$, может быть найдено также непосредственно. Прежде всего, вводя в формулу $\left(16^{\prime}\right)$ символ синхронной вариации $\delta$ под знак интеграла, будем иметь
\[
\delta \mathrm{S}=\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t \sum_{h=1}^{n} p_{h} \frac{d}{d t} \delta q_{h}+\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t \sum_{h=1}^{n}\left(\dot{q}_{h} \delta p_{h}-\frac{\partial H}{\partial p_{h}} \delta p_{h}-\frac{\partial H}{\partial q_{h}} \delta q_{h}\right),
\]

после чего, применяя к первому слагаемому интегрирование по частям и замечая, что члены с пределами интегрирования исчезают вместе с $\delta q$, получим
\[
\delta \mathrm{S}=\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t \sum_{h=1}^{n}\left\{-\left(\dot{p}_{h}+\frac{\partial H}{\partial q_{h}}\right) \delta q_{h}+\left(\dot{q}_{h}-\frac{\partial H}{\partial p_{h}}\right) \delta p_{h}\right\} ;
\]

эта вариация тождественно обращается в нуль в силу гамильтоновой системы (31′).

Мы не прибавим ничего другого к этому указанию, ограничиваясь напоминанием, что важные следствия из этого обобщения принципа Гамильтона были даны Пуанкаре ${ }^{1}$ ).