57. Свободная точка, находящаяся под действием консервативных сил, обладающих осевой симметрией. Иллюстрируем теперь общие рассуждения предыдущего параграфа, применяя их к некоторым частным задачам, которые в свою очередь связаны с примерами, изложенными в § 8. Рассмотрим прежде всего свободную точку (масса которой равна 1), находящуюся под действием такой консервативной

силы, что соответствующий потенциал $U$, отнесенный к цилиндрическим координатам $r, \varphi, z$ относительно галилеевой системы, не будет зависеть от угла $\varphi$.

Мы уже знаем (п. 46), что в этом случае существует интеграл площадей $p_{\varphi}=c$, так что на основании п. 54 для точки возможны $\infty^{2}$ движений Рауса.

Для определения этих движений возьмем прежде всего приведенную характеристическую функцию (п. 46)
\[
\widetilde{H}=\frac{1}{2}\left(p_{r}^{2}+p_{z}^{2}\right)+\frac{1}{2} \frac{c^{2}}{r^{2}}-U(r, z)
\]

и согласно п. 54 присоединим к символическому уравнению $\delta \bar{H}=0$ условие, заключающееся в том, что игнорируемая координата должна зависеть линейно от $t$.

Как было замечено в п. 46 , равенство $\delta \bar{H}=0$ можно истолковать как характеристическое условие возможных положений равновесия некоторой фиктивной точки, которая имеет одинаковые с заданной точкой координаты $r$ и $z$ в любой меридианной плоскости и находится под действием силы, являющейся производными от потенциала
\[
U(r, z)-\frac{1}{2} \frac{c^{2}}{r^{2}} ;
\]

поэтому значения координат $r, z$, соответствующих этим положениям равновесия фиктивной точки и, следовательно, движениям Рауса действительной точки, определяются двумя уравнениями
\[
\frac{\partial U^{0}}{\partial r}+\frac{c^{2}}{r^{3}}=0, \quad \frac{\partial U}{\partial z}=0 .
\]

Всякое решение $r_{0}, z_{0}$ этих уравнений определяет окружность (с осью $z$, радиусом $r_{0}$ и высотою $z_{0}$ ), так что мы имеем здесь дело с равномерными круговыми движениями, а именно с $\infty^{2}$ таких движений, так как они зависят от двух произвольных постоянных (постоянной $c$ площадей и начального угла $\varphi_{0}$ ).
58. Плоская зАДАчА трёх тел. Обратимся к результатам п. 47, предполагая, что движение трех тел, $P_{0}, P_{1}, P_{2}$, происходит в плоскости $\xi \eta$. Полагая равными нулю третьи координаты и соответствующие проекции количества движения, мы будем иметь для характеристической функции на основании формулы (96) выражение
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2 m_{1}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)+\frac{1}{2 m_{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{3}^{2}\right)+ \\
+\frac{1}{2 m_{0}}\left\{\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2}+\left(q_{1}+q_{2}\right)^{2}\right\}-U,
\end{array}
\]
rie
\[
U=f\left\{\frac{m_{0} m_{1}}{\Delta_{1}}+\frac{m_{0} m_{2}}{\Delta_{2}}+\frac{m_{1} m_{2}}{\Delta}\right\} .
\]

Если речь идет о системе, находящейся под действием только внутренних сил, то, как уже упоминалось в п. 24 , останутся в силе не только интегралы количеств движения, которые здесь будут полностью использованы для приведения (согласно п. 47) уравнений относительного движения к канонической форме Пуанкаре, но и интегралы результирующего момента количеств движения $K=$ const. Так как движение происходит в плоскости $\xi \eta$, то достаточно выбрать в ней центр приведения, для того чтобы вектор $\boldsymbol{K}$ был перпендикулярен к этой плоскости, и нам останется только рассмотреть осевой интеграл моментов $K=K_{3}=$ const.

Чтобы вычислить осевой кинетический момент $K$, заметим, что на самом деле интеграл моментов существует только в том случае, если центр приведения моментов берется в точке, неизменно связанной с галилеевой системой отсчета (или в центре тяжести); в нашем случае, когда начало галилеевой системы выбрано в центре тяжести (находящемся в равномерном и прямолинейном движении), имеем $Q_{1}=Q_{2}=Q_{3}=0$, поэтому при равенстве нулю результирующей количеств движения выбор центра моментов является совершенно безразличным, и если возьмем этот центр в теле $P_{0}$, то для интеграла моментов найдем явное выражение
\[
K=\sum_{i=1}^{2}\left(x_{i} q_{i}-y_{i} p_{i}\right)=\text { const },
\]

где $x_{1}, y_{1}$ и $x_{2}, y_{2}$ обозначают координаты точек $P_{1}$ и $P_{2}$ относительно точки $P_{0}$.

Теперь мы в состоянии изучить наиболее простым образом $\infty^{2}$ установившихся движений, существование которых при этой постановке задачи согласно п. 53 обеспечено существованием интеграла (109). Эти движения, если ввести множитель , который следует рассматривать как неопределенную пока функцию времени, определяются на основании п. 56 символическим уравнением
\[
\delta H-\omega \delta=0,
\]

где $\omega$ – неопределенный множитель; если принять во внимание, что в выражении $\left(96^{\prime}\right)$ функции $H$ координаты $x_{i}, y_{i}$ входят только в потенциал $U$, то последнее уравнение эквивалентно восьми уравнениям
\[
\begin{array}{cl}
\frac{\partial H}{\partial p_{i}}=-\omega y_{i}, \quad \frac{\partial H}{\partial q_{i}}=\omega x_{i} & (i=1,2), \\
\frac{\partial U}{\partial x_{i}}+\omega q_{i}=0, \quad \frac{\partial U}{\partial x_{i}}-\omega p_{i}=0 \quad(i=1,2) .
\end{array}
\]

Далее, на основании канонических уравнений
\[
\dot{x}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}, \quad \dot{y}=\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \quad(l=1,2)
\]

уравнения (110) преобразуются в уравнения
\[
\dot{x}_{i}=-\omega y_{i}, \quad \dot{y}_{i}=\omega x_{i} \quad(i=1,2),
\]

которые истолковываются непосредственно: обе точки $P_{1}, P_{2}$ движутся по окружностям вокруг точки $P_{0}$ с одной и той же угловой скоростью $\omega$.

Отсюда следует, что три расстояния $\Delta_{1}, \Delta_{2}, \Delta$ остаются неизменными, т. е. конфигурация трех тел $P_{0}, P_{1}, P_{2}$ остается неизменной во время движения.

Для определения этой конфигурации надо принять во внимание также и уравнения (111). Если, после того как мы придадим явную форму уравнениям (110) при помощи уравнения (96′), умножим в них обе части на $\omega$ и исключим $\omega p_{i}, \omega q_{i}$ при помощи (111), то придем к уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial U}{\partial x_{i}}+\frac{m_{i}}{m_{0}}\left(\frac{\partial U}{\partial x_{1}}+\frac{\partial U}{\partial x_{2}}\right)+m_{i} \omega^{2} x_{i}=0, \\
\frac{\partial U}{\partial y_{i}}+\frac{m_{i}}{m_{0}}\left(\frac{\partial U}{\partial y_{1}}+\frac{\partial U}{\partial y_{2}}\right)+m_{i} \omega^{2} y_{i}=0,
\end{array}
\]

где уравнения ( $112_{6}$ ) выводятся из ( $112_{\mathrm{a}}$ ) посредством замены $x$ на $y$; уравнения ( $112_{\mathrm{a}}$ ), выраженные в явной форме на основании выражения (97) функции $U$, принимают вид
\[
\left.\begin{array}{l}
{\left[f\left(\frac{m_{0}+m_{1}}{\Delta_{1}^{3}}+\frac{m_{2}}{\Delta^{3}}\right)-\omega^{2}\right] x_{1}+f m_{2}\left(\frac{1}{\Delta_{2}^{3}}-\frac{1}{\Delta^{3}}\right) x_{2}=0,} \\
f m_{1}\left(\frac{1}{\Delta_{1}^{3}}-\frac{1}{\Delta^{3}}\right) x_{1}+\left[f\left(\frac{m_{0}+m_{2}}{\Delta_{2}^{3}}+\frac{m_{1}}{\Delta^{3}}\right)-\omega^{2}\right] x_{2}=0,
\end{array}\right\}
\]
т. е. сводятся к двум линейным однородным уравнениям относительно $x_{1}, x_{2}$, которые в силу уравнений (112 ) должны удовлетворяться также и величинами $y_{1}, y_{2}$.

Таким образом, мы пришли к необходимости различать два случая:
I. Оба решения $x_{1}, x_{2}$ и $y_{1}, y_{2}$ уравнений (112′) различны, т. е. определитель $x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}$ отличен от нуля или, если угодно, неизменная конфигурация $P_{0} P_{1} P_{2}$ есть треугольник.
II. Оба решения совпадают, т. е. три точки $P_{0} P_{1} P_{2}$ остаются на одной прямой линни.

Случай I. Так как уравнения ( $112^{\prime}$ ) допускают два различных решения, то все четыре коэффициента при неизвестных должны быть равны нулю, откуда прежде всего имеем
\[
\frac{1}{\Delta_{1}^{3}}=\frac{1}{\Delta^{3}}, \frac{1}{\Delta_{2}^{3}}=\frac{1}{\Delta^{3}},
\]

так как $\Delta_{1}=\Delta_{2}=\Delta$; после этого остальные два условия, выражающие равенство коэффициентов нулю, принимают один и тот же вид
\[
\omega^{2}=\frac{f m}{\Delta^{3}},
\]

где $m=m_{0}+m_{1}+m_{2}$. Поэтому мы заключаем, что треугольник $P_{0} P_{1} P_{2}$, как уже отмечено, неизменным, будет равносторонним и угловая скорость $\omega$, с которой он вращается, постоянна и связана с длиной $\Delta$ стороны треугольника соотношением (113).

Почти излишне добавлять, что, так как центр тяжести системы неподвижен (относительно нашей галилеевой системы отсчета), абсолютное движение треугольника $P_{0} P_{1} P_{2}$ представляет собой равномерное вращение вокруг этого центра (ср. гл. III, пример 16).

Следует, однако, отметить, что это движение на самом деле зависит от двух произвольных постоянных: $\Delta$ или, если угодно, а, связанной с $\Delta$ уравнением (113), и постоянной, определяющей начальную ориентацию треугольника в его плоскости относительно некоторого неподвижного направления.

Случай II. Если в некоторый момент мы примем за ось $x$ прямую, на которой находятся в этот момент три тела, то будем иметь $y_{1}=y_{2}=0$, поэтому нет необходимости более заниматься координатами $y$. Для определения $x$ можно предположить, не нарушая общности, что точка $P_{0}$ заключена между точками $P_{1}$ и $P_{2}$ и что положительная сторона оси $x$ направлена от $P_{0}$ к $P_{1}$. Тогда будем иметь $\Delta_{1}=x_{1}, \Delta_{2}=-x_{2}, \Delta=x_{1}-x_{2}=\Delta_{1}+\Delta_{2}$, так что уравнения ( $112^{\prime}$ ) примут вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\Delta_{1} \omega^{2}=f\left(\frac{m_{0}+m_{1}}{\Delta_{1}^{2}}+\frac{m_{2}}{\left(\Delta_{1}+\Delta_{2}\right)^{2}}-\frac{m^{2}}{\Delta_{2}^{2}}\right), \\
\Delta_{2} \omega^{2}=f\left(\frac{m_{0}+m_{2}}{\Delta_{2}^{2}}+\frac{m_{1}}{\left(\Delta_{1}+\Delta_{2}\right)^{2}}-\frac{m_{1}}{\Delta_{1}^{2}}\right) ;
\end{array}\right\}
\]

отсюда мы видим, если оставить пока в стороне вопрос о совместности этих двух уравнений и о действительности угловой скорости $\omega$, что эта угловая скорость в силу неизменности величин $\Delta_{1}$, $\Delta_{2}, \Delta$ является и в этом случае постоянной, т. е. и здесь мы имеем равномерное вращение.

Что же касается вопроса о совместности уравнений (112\”), то, исключая из них $\omega^{2}$, мы получим условие
\[
\left|\begin{array}{l}
\Delta_{1}\left[\left(m_{0}+m_{1}\right) \Delta_{2}^{2}-m_{2} \Delta_{1}^{2}\right]\left[\Delta_{1}+\Delta_{2}\right]^{2}+m_{2} \Delta_{1}^{2} \Delta_{2}^{2} \\
\Delta_{2}\left[\left(m_{0}+m_{3}\right) \Delta_{1}^{2}-m_{1} \Delta_{2}^{2}\right]\left[\Delta_{1}+\Delta_{3}\right]^{2}+m_{1} \Delta_{1}^{2} \Delta_{2}^{2}
\end{array}\right|=0,
\]

которое будет уравнением пятой степени и однородным относительно $\Delta_{1}, \Delta_{2}$. Полагая $A=\Delta_{2} / \Delta_{1}$, найдем уравнение (Лагранжа)
\[
\begin{array}{l}
\left(m_{0}+m_{1}\right) A^{5}+\left(2 m_{0}+3 m_{1}\right) A^{4}+\left(m_{0}+3 m_{1}\right) A^{3}+ \\
+\left(m_{0}+3 m_{2}\right) A^{2}-\left(2 m_{0}+3 m_{2}\right) A-\left(m_{0}+m_{2}\right)=0,
\end{array}
\]

которое, как это следует из расстановки знаков коэффициентов, допускает один и только один положительный корень (см. гл. III, упражнение 17).

Если отношение расстояний $\Delta_{1}, \Delta_{2}$ принимается равным этому корню, то уравнения ( $112^{\prime \prime}$ ) дают для $\omega^{2}$ одну и ту же величину, и достаточно сложить их по частям, чтобы получить эту величину в симметричном виде
\[
\omega^{2}=\frac{f}{\Delta_{1}+\Delta_{2}}\left\{m_{0}\left(\frac{1}{\Delta_{1}^{2}}+\frac{1}{\Delta_{2}^{2}}\right)+\frac{m_{1}+m_{2}}{\left(\Delta_{1}+\Delta_{2}\right)^{2}}\right\} ;
\]

из этого соотношения видно, что $\omega$ есть действительная величина.
В этом случае мы также имеем $\infty^{2}$ установившихся движений, так как остаются произвольными одно из двух расстояний $\Delta_{1}, \Delta_{2}$ и начальная ориентировка прямой $P_{2} P_{0} P_{1}$.
59. Тяжёлое твёрдое тело, Закрепленное в одной точке. Общий случан̆. Для изучения установившихся движений вернемся к рассуждениям I. 48, но в качестве параметров Лагранжа примем, как это было сделано в § 5 гл. VIII, проекции $p, q, r$ угловой скорости на оси, неизменно связанные с телом и являющиеся главными осями инерции относительно неподвижной точки $O$, и направляющие косинусы $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ нисходящей вертикали относительно этих неподвижных в теле осей.

В силу этого характеристическая функция, при обычных обозначениях, принимает вид
\[
H=\frac{1}{2}\left(A p^{2}+B q^{2}+C r^{2}\right)-P\left(\gamma_{1} x_{0}+\gamma_{2} y_{0}+\gamma_{3} z_{0}\right),
\]

и интеграл моментов количеств движения $p_{\varphi}=$ const в явной форме будет
\[
K_{\mathrm{t}}=A p \gamma_{1}+B q \gamma_{2}+C r \gamma_{3}=\text { const. }
\]

Для определения установившихся движений мы должны положить $\delta H=0$, при условии, что переменные связаны уравнением (114) и, конечно, геометрическим условием $\gamma_{1}^{3}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1$; согласно п. 56 это выразится уравнением
\[
\delta H-
u \delta K_{5}-\lambda\left(\gamma_{1} \delta \gamma_{1}+\gamma_{2} \delta \gamma_{2}+\gamma_{8} \delta \gamma_{3}\right)=0,
\]

где $\lambda$ и v обозначают два неопределенных множителя.

Раскрывая это уравнение и приравнивая нулю коэффициенты при $\delta p, \delta q, \delta r, \delta \gamma_{1}, \delta \gamma_{2}, \delta \gamma_{3}$, мы получим две системы уравнений
\[
\left.\begin{array}{c}
p=
u \gamma_{1}, \quad q=
u \gamma_{2}, \quad r=
u \gamma_{3}, \\
P x_{0}-
u A p-\lambda \gamma_{1}=0, \quad P y_{0}-
u B q-\lambda \gamma_{2}=0, \\
P z_{0}-
u C r-\lambda \gamma_{3} ;
\end{array}\right\}
\]

из первого из них мы найдем, что $
u$ есть проекция угловой скорости твердого тела на вертикаль, направленную вниз; теперь достаточно сопоставить уравнения (115) с уравнениями Пуассона
\[
\dot{\gamma}_{1}=\gamma_{2} r-\gamma_{3} q, \quad \dot{\gamma}_{2}=\gamma_{3} p-\gamma_{1} r, \quad \dot{\gamma}_{3}=\gamma_{1} q-\gamma_{2} p,
\]

чтобы видеть, что $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ являются постоянными, т. е. что нисходящая вертикаль неподвижна в теле.

С другой стороны, исключая $p, q, r$ из уравнения (114) посредством уравнений (115), найдем уравнение
\[

u\left(A_{\gamma_{1}^{2}}^{2}+B_{\gamma_{1}^{2}}^{2}-C_{\gamma_{3}^{2}}^{2}\right)=\mathrm{const},
\]

которое обнаруживает постоянство $у$; отсюда мы заключаем, что установившиеся движения сводятся к равномерным вращениям вокруг вертикали, проходящей через неподвижную точку.

Это – движения по Штауде, которые мы подробно изучили в ппt. 25 и 26 и в упражнении 11 гл. VIII; для нахождения полученных там результатов нужно было бы лишь исследовать уравнения (115), (116). СлучаЙ ЛагРанжа – Пуассона. Здесь, кроме $A=B$, надо еще положить $x_{0}=y_{0}=0$, а потенциал, предполагаемый зависящим только от $\theta$, можно рассматривать как функцию от единственного аргумента $\gamma_{\mathrm{B}}=\cos \theta$. Мы уже знаем, что эти условия выполняются как при изучении влияния притяжения отдаленным телом Земли на ее вращение вокруг центра тяжести (п. 50), так и в задаче о движении тяжелого гироскопа (случай Лагранжа – Пуассона), для которого имеем $U=P z_{0} \gamma_{3}$ (гл. VIII, § 6).

Характеристическая функция $H$ и осевой момент $K_{\zeta}$ количеств движения относительно неподвижной оси $\zeta$ определяются во всех этих случаях уравнениями
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left\{A\left(p^{2}+q^{2}\right)+C r^{2}\right\}-U\left(\gamma_{3}\right), \\
K_{\zeta}=A\left(p \gamma_{1}+q \gamma_{2}\right)+C r \gamma_{3} ;
\end{array}
\]

вместе с двумя интегралами $H=$ const, $K_{\mathrm{t}}=$ const существует третий интеграл $p_{\varphi}=$ const или, в силу второго из уравнений (14) п. 5 , интеграл $r=$ const $=r_{0}$, который, так как $K_{\varphi}=p_{\psi}$, находится в инволюции с интегралом $K_{5}=$ const.

Отсюда следует на основании п. 53, что для гироскопа возможны $\infty^{4}$ движений Рауса, которые легко определить, следуя обычному способу п. 56.

Если, введя два неопределенных множителя $\lambda$ и v, мы развернем условие стационарности
\[
\delta H-
u \delta K_{t}-A \lambda\left(\gamma_{1} \delta \gamma_{1}+\gamma_{2} \delta \gamma_{2}+\gamma_{8} \delta \gamma_{3}\right)=0,
\]

полагая в нем $r=r_{0}$ и; следовательно, $\delta r=0$, то придем к уравнениям
\[
\left.\begin{array}{c}
p=
u \gamma_{1}, \quad q=
u \gamma_{2}, \\

u p+\lambda \gamma_{1}=0, \quad v q+\lambda \gamma_{2}=0, \\
C
u r_{0}+A \lambda \gamma_{3}=-\frac{\partial U}{\partial \gamma_{3}},
\end{array}\right\}
\]

где, в случае тяжелого гироскопа, надо взять
\[
\frac{\partial U}{\partial \gamma_{3}}=P z_{0} .
\]

Вторая пара уравнений (117), если исключим из нее $p$ и $q$ при помощи первых двух, дает
\[
\left(
u^{2}+\lambda\right) \gamma_{1}=0, \quad\left(
u^{2}+\lambda\right) \gamma_{2}=0,
\]

так что должно быть или

или
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{1}=\gamma_{2}=0, \\
\lambda=-
u^{2} .
\end{array}
\]

В первом случае, когда $\gamma_{1}=\gamma_{2}=0$ и, следовательно, $\gamma_{3}= \pm 1$, гироскопическая ось $z$ все время сохраняет направление (в ту или другую сторону) неподвижной оси $\zeta$ и, в частности, вертикальное направление, если действующие силы сводятся к весу; гироскоп равномерно вращается вокруг этой оси с угловой скоростью, проекции которой суть $p=q=0, r=r_{0}$ (гл. VIII, п. 35). Как известно, это движение осуществляется (теоретически – строго, практически – с хорошим приближением) волчком (гл. VIII, п. 42), если позаботиться о том, чтобы в начальный момент его ось была вертикальна (спящий волчок).

Во втором случае основные уравнения (117), если исключить $\lambda$ (и заметить, что $\lambda$ и $v$ не могут исчезать одновременно, если речь идет о действительном движении), приведутся к виду
\[
p=
u \gamma_{1}, \quad q=
u \gamma_{2}, \quad C
u r_{0}=A
u^{2} \gamma_{3}-\frac{\partial U}{\partial \gamma_{3}} ;
\]

подставляя в интеграл момента количеств движения вместо $p$ и $q$ выражения. определяемые этими уравнениями, мы придем к уравнению
\[
A \vee\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)+C r_{0} \gamma_{3}=\text { const. }
\]

Так как теперь можно исключить случай $\gamma_{3}= \pm 1$, уже рассмотренный выше, то это уравнение будет разрешимо относительно $
u$ и определит эту величину только через $\gamma_{3}$ (и через структурные и механические постоянные). Достаточно тогда это значение у внести в третье из уравнений (117), чтобы получить одно уравнение с одним только $\gamma_{3}$, откуда заключаем, что $\gamma_{3}$ есть постоянная величина, а в силу этого такой же будет и v.

Из неизменности $\gamma_{3}$ следует также, что ось гироскопа описывает круговой конус вокруг неподвижной оси $O \zeta$; с другой стороны, принимая во внимание, что также и у является постоянной, и записывая уравнения ( $\left.117^{\prime}\right)$ в виде
\[
p=
u \gamma_{1}+0, \quad q=
u \gamma_{2}+0, \quad r_{0}=
u \gamma_{3}+\frac{A-C}{C}
u \gamma_{3}-\frac{1}{C
u} \frac{\partial U}{\partial \gamma_{3}},
\]

мы найдем, что угловая скорость тела может быть разложена в векторную сумму двух постоянных составляющих – одной, направленной по неподвижной оси $\zeta$ и измеряемой по величине и по знаку числом $
u$, и другой, направленной по гироскопической оси и измеряемой аналогично числом
\[
\mu=\frac{A-C}{C}
u \gamma_{3}-\frac{1}{C
u} \frac{\partial U}{\partial \gamma_{3}}=r_{0}-\gamma_{3} .
\]

Следовательно, мы имеем здесь дело с правильной прецессией (т. I, гл. IV, II. 15), с угловой скоростью прецессии v и собственной угловой скоростью тела $\mu$, которые в случае тяжелого гироскопа совпадают с угловыми скоростями, уже изученными подробно в п. 37 гл. VIII; легко проверить, что, полагая в уравнении (118) $\partial U / \partial \gamma_{3}=P z_{0}$, мы снова возвращаемся к характеристическому уравнению ( $74^{\prime}$ ), цитированному в п. 37 гл. VIII.

Каковы бы ни были при принятых предположениях действующие силы, эта прецессия в согласии с общим результатом п. 53 зависит от четырех произвольных постоянных: двух из трех постоянных $\mu, v, \gamma_{3}$, связанных уравнением (118), и начальных величин углов Эйлера $\varphi$ и $\psi$.

Необходимо, наконец, заметить, что когда прецессия оказывается медленной, т. е. когда угловая скорость прецессии $
u$ мала по сравнению с гироскопической скоростью $r_{0}$ (и, следовательно, также по сравнению с $\mu$ ), то, пренебрегая членами с $
u^{2}$ в равенстве (117′), получим
\[

u=-\frac{1}{C r_{0}} \frac{\partial U}{\partial \gamma_{3}} .
\]
массы Луны. Уже в кинематике (т. I, гл. IV, п. 19) мы описали регулярную прецессию, к которой в первом приближении приводится движение Земли вокруг ее центра тяжести $O$. Здесь на основе рассуждений предыдущего пункта вместе с рассуждениями п. 50 можно дать

этой прецессии динамическое объяснение; легко убедиться, что мы имеем здесь дело с одной из тех медленных прецессий, которые согласно только что приведенным теоретическим соображениям можно объяснить в случае Земли лунно-солнечным притяжением, если довольствоваться оценкой его среднего действия за очень длительный период, или вековым действием.

Чтобы выполнить эту проверку, начнем с замечания, обращаясь к соображениям п. 50, что комбинированное притяжение Солнцем и Луною Земли, как происходящее от отдаленных тел, можно с достаточным приближением вывести на основании формулы (103) и добавочного введения ньютонова потенциала из потенциала
\[
U=-\frac{3}{4}(C-A)\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)\left(n^{2}+\frac{n^{\prime 2}}{1+\frac{m_{0}}{m^{\prime}}}\right),
\]

где через $n, n^{\prime}$ обозначены средние движения Солнца и Луны (гл. III, п. 10), через $m_{0}$ и $m^{\prime}$ – массы Земли и Луны и в слагаемом, относящемся к Солнцу, т. е. в делителе $n^{2}$, подставлена 1 вместо двучлена $1+m_{0} / m$ вследствие малости земной массы $m_{0}$ по сравнению с солнечной массой $m$.

Так как этот потенциал зависит исключительно от Ү $_{3}$, то непосредственно приложимы результаты предыдущего пункта; так как земная прецессия является медленной, то нам придется проверить, будет ли удовлетворяться уравнение (119), когда в качестве потенциала $U$ берут только что указанный потенциал лунно-солнечного притяжения и величинам $r_{0}$ и $\vee$ приписывают значения угловых скоростей, которые соответственно принадлежат суточному вращению Земли и платоническому году (около 26000 звездных лет). На самом деле угловая скорость суточного вращения Земли была бы здесь строго равна величине $\mu$, определенной из уравнения (118); но вследствие малости $
u$ ‘по сравнению с $\mu$ на основании того же уравнения (118) можно принять $r_{0}$, как было сказано, совпадающим с $\mu$.

Далее, уравнение (119) после подстановки вместо $U$ указанного выше выражения и деления обеих частей на $r_{0}^{2}$ принимает вид
\[
-\frac{
u}{r_{0}}=\frac{3}{2} \frac{C-A}{C} \Upsilon_{3} \cdot \frac{1}{r_{0}^{2}}\left(n^{2}+\frac{n^{2}}{1+\frac{m_{0}}{m^{\prime}}}\right) .
\]

Принимая во внимание, что отношения угловых скоростей можно отождествить с обратными отношениями соответствующих периодов и что продолжительности обращения Солнца и Луны в солнечных днях равны соответственно $365 \frac{1}{4}$ и $271 / 3$, придется положить для земной прецессии
\[
\frac{n}{r_{0}}=\frac{1}{365,25}, \frac{n^{\prime}}{r_{0}}=\frac{1}{27,33},
\]

тогда как в п. 19 гл. IV т. I мы видели, что
\[
-\frac{
u}{r_{0}}=\frac{1}{9 \cdot 10^{6}}, \quad \gamma_{8}=\cos 23^{\circ} 30^{\prime}=0,917 .
\]

При этих численных значениях и, принимая для отвлеченных чисел $m_{0} / m^{\prime},(C-A) / C$ значения 82 и $1 /$ зог , которые можно вывести из других астрономо-геодезических соображении, мы установим, что уравнение ( $119^{\prime}$ ) будет удовлетворяться с достаточной степенью точности; мы получили, таким образом, указанное выше доказательство причинной зависимости между лунно-солнечным притяжением и земной прецессией.

Заметим, что, так как в действительности между всеми элементами, входящими в уравнение ( $\left.119^{\prime}\right)$, элементом наименее доступным для измерения каким-либо другим путем является отношение $m_{0} / m^{\prime}$ массы Земли к массе Луны, то с астрономической точки зрения наибольший интерес, который представляет формула (119’), будет заключаться именно в том, чтобы дать хорошую численную оценку этого отношения, если заранее считается достоверным, что земная прецессия происходит от лунно-солнечного притяжения.

Следует заметить, что аддитивное свойство потенциала отражается также и на угловой скорости $
u$, которая аналогично может рассматриваться как сумма двух слагаемых $
u_{1},
u_{2}$, происходящих первое от действия Солнца, второе от действия Луны; из уравнения ( $\left.119^{\prime}\right)$ соответственно двум слагаемым потенциала получим
\[
-\frac{
u_{1}}{r_{0}}=\frac{3}{2} \frac{C-A}{C} \gamma_{3} \frac{n^{2}}{r_{0}^{3}}, \quad-\frac{
u_{2}}{r_{0}}=\frac{3}{2} \frac{C-A}{C} \gamma_{3} \frac{n^{2}}{r_{0}^{2}\left(1+\frac{m_{0}}{m^{\prime}}\right)},
\]

так что будем иметь
\[
\frac{v_{2}}{v_{1}}=\left(\frac{n^{\prime}}{n}\right)^{2} \frac{1}{1+\frac{m^{\prime}}{m}} .
\]

Так как $n^{\prime} / n$ есть не что иное, как отношение одного года к одному лунному месяцу, т. е. приблизительно 13,4 , то найдем
\[
\frac{v_{2}}{v_{1}}=\frac{169}{83}=2,13,
\]

откуда следует, что влияние Луны на земную прецессию будет более чем вдвое интенсивнее влияния Солнца.