32. Закончим изложением одного существенного с математической точки зрения дополнения, которое можно внести в теорию импульсивного движения в случае систем со связями, для которых имеет

место теорема живых сил. Речь идет о той теореме Вольтерра, которую мы уже упоминали в п. 1 этой главы ${ }^{1}$ ).

Обозначив, как обычно, через $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{i}}$ силу, прямо приложенную к любой точке $P_{i}(i=1,2, \ldots, N)$ заданной материальной системы $S$, предположим, что связи (как это бывает, когда речь идет о связях без трения и не зависящих от времени) таковы, что имеет место теорема живых сил
\[
d T=d L,
\]

где $d L$ обозначает работу, совершенную за элемент времени $d t$ только активными силами (гл. V, п. 30), т. е.
\[
d L=\sum_{i=1}^{N} F_{i} \cdot d P_{i} .
\]

Рассматривая лишь очень короткий промежуток времени от $t_{0}$ до $t_{0}+\tau$, в течение которого некоторые или даже все силы $F_{i}$ имеют характер ударных сил, обозначим через
\[
I_{i}=\lim _{\tau \rightarrow 0} \int_{t_{0}}^{t_{0}+\tau} F_{i} d t \quad(i=1,2, \ldots, N)
\]

соответствующие импульсы. Помимо существования этих пределов, допустим, что во всякий момент $t$, заключенный между $t_{0}$ и $t_{0}+\tau$, даже при стремлении $\tau$ к нулю, остаются конечными интегралы
\[
\int_{t_{0}}^{t} F_{i} N^{*} \quad(i=1,2, \ldots, N) .
\]

Следует заметить, что это обстоятельство будет наверное вытекать, как необходимое следствие, из предположения существования пределов (64) всякий раз, когда ударные силы $F_{i}$ при стремлении $\tau$ к нулю неограниченно возрастают без колебаний, т. е. в конце конправлением всегда острне или всегда тупые углы (включая в обоих случаях предельный случай прямого угла). Удары, удовлетворяющие этому дополнительному условию, мы будем называть неколебательными.

Из допущенного предположения следует существование некоторого конечного и определенного числа $C$ такого, что в любой момент $t$ между $t_{0}$ и $t_{0}+\tau$ будем иметь
\[
\sum_{i=1}^{N} \int_{t_{0}}^{t} F_{i} d t<C
\]

Заметив это, проинтегрируем уравнение (63) от $t_{0}$ до $t$, после чего получим
\[
T-T_{0}=L,
\]

где
\[
L=\sum_{i=1}^{N} \int_{t_{0}}^{t} F_{i} \cdot d P_{i}=\sum_{i=1}^{N} \int_{t_{0}}^{t} F_{i} \cdot \boldsymbol{v}_{i} d t,
\]

и обозначим через $\Lambda$ максимум абсолютной величины, достигаемой функцией $L$ при изменении $t$ от $t_{0}$ до $t_{0}+\tau$.

Этот максимум $\Lambda$ на основании наших предположений есть некоторая функция от $\tau$, необходимо конечная, пока $\tau$ остается отличным от нуля; покажем прежде всего, что эта функция остается меньше некоторого постоянного количества, а потому остается конечной и тогда, когда т стремится к нулю.
Из уравнения (63) мы имеем
\[
T \leqslant T_{0}+\Delta,
\]

и так как живая сила $T$ определяется из соотношения
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i} v_{i}^{2}
\]

то и каждое из составляющих ее существенно положительных слагаемых $m_{i} v_{i}^{2} / 2$ будет оставаться меньше, чем $T_{0}+\Lambda$.
Поэтому для каждой точки $P_{i}$ будем иметь
\[
v_{i} \leqslant \sqrt{\frac{2\left(T_{0}+\Lambda\right)}{m_{i}}} \quad(i=1,2, \ldots, N)
\]

и, следовательно, обозначая через $m$ полную массу системы, и подавно
\[
v_{i} \leqslant \sqrt{\frac{2\left(T_{0}+\Lambda\right)}{m}} .
\]

Теперь из выражения (67) для $L$, замечая, что абсолютная величина скалярного произведения двух векторов всегда меньше или, самое большее, равна произведению абсолютных величин сомножителей, тотчас же выводим
\[
|L| \leqslant \sum_{i=1}^{N} \int_{i_{0}}^{t} F_{i} v_{i} d t
\]

и, следовательно, в силу соотношении (66), (68),
\[
|L| \leqslant C \sqrt{\frac{2\left(T_{0}+\Lambda\right)}{m}} .
\]

Это неравенство справедливо для всякого момента, заключенного между $t_{0}$ и $t_{0}+\tau$, а потому, в частности, и тогда, когда $|L|$ достигает своего максимального значения $\Delta$; отсюда имеем
\[
\Lambda \leqslant C \sqrt{\frac{2\left(T_{0}+\Lambda\right)}{m}}
\]

или же
\[
\frac{\Lambda^{2}}{T_{0}+\Lambda} \leqslant \frac{2 C^{2}}{m} .
\]

Если к обеим частям этого соотношения прибавим по $2 T_{0}$ и заметим, что количество, которое таким образом получится в левой части, т. е.
\[
\frac{\Lambda^{2}+2 T_{0}\left(\Lambda+T_{0}\right)}{\Lambda+T_{0}}=\frac{\left(\Lambda+T_{0}\right)^{2}+T_{0}^{2}}{\Lambda+T_{0}},
\]

будет больше, чем $\Delta+T_{0}$, то придем к соотношению
\[
\Lambda+T_{0} \leqslant \frac{2 C^{2}}{m}+2 T_{0},
\]

или к соотношению
\[
\Lambda \leqslant \frac{2 C^{2}}{m}+T_{0},
\]

которое показывает, что при каком угодно значении $\tau$ (лишь бы, конечно, оно было достаточно мало) $\Lambda$ остается меньше некоторой постоянной величины.

С другой стороны, соотношение (69) позволяет подставить вместо (68) соотношение
\[
\boldsymbol{v}_{i} \leqslant \frac{2}{m} \sqrt{m T_{0}+C^{2}},
\]

и если обозначим через $\Delta P_{i}$ перемещение, которое испытывает точка $P_{i}$ от момента $t_{0}$ до момента $t$ между $t_{0}$ и $t_{0}+\tau$, т. е. если положим
\[
\Delta P_{i}=\int_{t_{\mathrm{c}}}^{t} \gamma_{i} d t \quad(i=1,2, \ldots, N)
\]

и обозначим через $s_{i}$ верхний предел длины этого перемещения $\Delta P_{i}$ при изменении $t$ от $t_{0}$ до $t_{0}+\tau$, то будем иметь
\[
s_{i} \leqslant \int_{t_{5}}^{t_{0}+\tau} v_{i} d t \quad(i=1,2, \ldots, N)
\]

и, следовательно, на основании уравнении (70)
\[
s_{i} \leqslant \frac{2 \tau}{m} \sqrt{m T_{0}+C^{2}} \quad(i=1,2, \ldots, N) .(71)
\]

Мы видим, таким образом, что $s_{i}$ стремятся к нулю вместе с $\tau$. Собирая в одну общую формулировку результаты, последовательно полученные в предыдущих рассуждениях, мы придем к упомянутой выше теореме:

Если на материальную систему наложены такие связи, что имеет место теорема живых сил, и если в течение чрезвычайно короткого промежутка времени $\tau$ система находится под действием ударных (неколебательных) сил, то при $\tau \rightarrow 0$ :
a) работа сил остается меньшей некоторой конечной величины [соотношение $\left(69^{\prime}\right)$ ];
б) скорости точек системы остаются также меньшими некоторых конечных величин [соотношения (70)];
в) перемещения, испытываемые отдельными точками системы, стремятся к нулю вместе с $\tau$. [соотношения (71)].

В пределе можно сказать, что под действием какого угодно числа прямо приложенных импульсов конфигурация системы остается неизменной, тогда как для скоростей отдельных точек, вообще говоря, возможны резкие изменения.