32. Закончим изложением одного существенного с математической точки зрения дополнения, которое можно внести в теорию импульсивного движения в случае систем со связями, для которых имеет

место теорема живых сил. Речь идет о той теореме Вольтерра, которую мы уже упоминали в п. 1 этой главы ${}^1$ ).

Обозначив, как обычно, через ${\mathit{F}}_{\mathit{i}}$ силу, прямо приложенную к любой точке $P_i(i=1,2,\dots ,N)$ заданной материальной системы $S$, предположим, что связи (как это бывает, когда речь идет о связях без трения и не зависящих от времени) таковы, что имеет место теорема живых сил
$$dT=dL,$$

где $dL$ обозначает работу, совершенную за элемент времени $dt$ только активными силами (гл. V, п. 30), т. е.
$$dL=\sum _{i=1}^N{F}_i\cdot d{P}_i.$$

Рассматривая лишь очень короткий промежуток времени от $t_0$ до $t_0+\tau$, в течение которого некоторые или даже все силы $F_i$ имеют характер ударных сил, обозначим через
$$I_i=\underset{\tau \to 0}{lim}{\int }_{t_0}^{t_0+\tau }{F}_{i}dt(i=1,2,\dots ,N)$$

соответствующие импульсы. Помимо существования этих пределов, допустим, что во всякий момент $t$, заключенный между $t_0$ и $t_0+\tau$, даже при стремлении $\tau$ к нулю, остаются конечными интегралы
$${\int }_{t_0}^t{F}_i{N}^{\ast }(i=1,2,\dots ,N).$$

Следует заметить, что это обстоятельство будет наверное вытекать, как необходимое следствие, из предположения существования пределов (64) всякий раз, когда ударные силы $F_i$ при стремлении $\tau$ к нулю неограниченно возрастают без колебаний, т. е. в конце конправлением всегда острне или всегда тупые углы (включая в обоих случаях предельный случай прямого угла). Удары, удовлетворяющие этому дополнительному условию, мы будем называть неколебательными.

Из допущенного предположения следует существование некоторого конечного и определенного числа $C$ такого, что в любой момент $t$ между $t_0$ и $t_0+\tau$ будем иметь
$$\sum _{i=1}^N{\int }_{t_0}^t{F}_{i}dt<C$$

Заметив это, проинтегрируем уравнение (63) от $t_0$ до $t$, после чего получим
$$T-T_0=L,$$

где
$$L=\sum _{i=1}^N{\int }_{t_0}^t{F}_i\cdot d{P}_i=\sum _{i=1}^N{\int }_{t_0}^t{F}_i\cdot {\mathit{v}}_{i}dt,$$

и обозначим через $\mathrm{\Lambda }$ максимум абсолютной величины, достигаемой функцией $L$ при изменении $t$ от $t_0$ до $t_0+\tau$.

Этот максимум $\mathrm{\Lambda }$ на основании наших предположений есть некоторая функция от $\tau$, необходимо конечная, пока $\tau$ остается отличным от нуля; покажем прежде всего, что эта функция остается меньше некоторого постоянного количества, а потому остается конечной и тогда, когда т стремится к нулю.
Из уравнения (63) мы имеем
$$T⩽T_0+\mathrm{\Delta },$$

и так как живая сила $T$ определяется из соотношения
$$T=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N{m}_i{v}_i^2$$

то и каждое из составляющих ее существенно положительных слагаемых $m_i{v}_i^2/2$ будет оставаться меньше, чем $T_0+\mathrm{\Lambda }$.
Поэтому для каждой точки $P_i$ будем иметь
$$v_i⩽\sqrt{\frac{2(T_0+\mathrm{\Lambda })}{m_i}}(i=1,2,\dots ,N)$$

и, следовательно, обозначая через $m$ полную массу системы, и подавно
$$v_i⩽\sqrt{\frac{2(T_0+\mathrm{\Lambda })}{m}}.$$

Теперь из выражения (67) для $L$, замечая, что абсолютная величина скалярного произведения двух векторов всегда меньше или, самое большее, равна произведению абсолютных величин сомножителей, тотчас же выводим
$$|L|⩽\sum _{i=1}^N{\int }_{i_0}^t{F}_i{v}_{i}dt$$

и, следовательно, в силу соотношении (66), (68),
$$|L|⩽C\sqrt{\frac{2(T_0+\mathrm{\Lambda })}{m}}.$$

Это неравенство справедливо для всякого момента, заключенного между $t_0$ и $t_0+\tau$, а потому, в частности, и тогда, когда $|L|$ достигает своего максимального значения $\mathrm{\Delta }$; отсюда имеем
$$\mathrm{\Lambda }⩽C\sqrt{\frac{2(T_0+\mathrm{\Lambda })}{m}}$$

или же
$$\frac{{\mathrm{\Lambda }}^2}{T_0+\mathrm{\Lambda }}⩽\frac{2C^2}{m}.$$

Если к обеим частям этого соотношения прибавим по $2T_0$ и заметим, что количество, которое таким образом получится в левой части, т. е.
$$\frac{{\mathrm{\Lambda }}^2+2T_0(\mathrm{\Lambda }+T_0)}{\mathrm{\Lambda }+T_0}=\frac{{(\mathrm{\Lambda }+T_0)}^2+T_0^2}{\mathrm{\Lambda }+T_0},$$

будет больше, чем $\mathrm{\Delta }+T_0$, то придем к соотношению
$$\mathrm{\Lambda }+T_0⩽\frac{2C^2}{m}+2T_0,$$

или к соотношению
$$\mathrm{\Lambda }⩽\frac{2C^2}{m}+T_0,$$

которое показывает, что при каком угодно значении $\tau$ (лишь бы, конечно, оно было достаточно мало) $\mathrm{\Lambda }$ остается меньше некоторой постоянной величины.

С другой стороны, соотношение (69) позволяет подставить вместо (68) соотношение
$${\mathit{v}}_i⩽\frac{2}{m}\sqrt{m{T}_0+C^2},$$

и если обозначим через $\mathrm{\Delta }{P}_i$ перемещение, которое испытывает точка $P_i$ от момента $t_0$ до момента $t$ между $t_0$ и $t_0+\tau$, т. е. если положим
$$\mathrm{\Delta }{P}_i={\int }_{t_{\mathrm{c}}}^t{\gamma }_{i}dt(i=1,2,\dots ,N)$$

и обозначим через $s_i$ верхний предел длины этого перемещения $\mathrm{\Delta }{P}_i$ при изменении $t$ от $t_0$ до $t_0+\tau$, то будем иметь
$$s_i⩽{\int }_{t_5}^{t_0+\tau }{v}_{i}dt(i=1,2,\dots ,N)$$

и, следовательно, на основании уравнении (70)
$$s_i⩽\frac{2\tau }{m}\sqrt{m{T}_0+C^2}(i=1,2,\dots ,N).(71)$$

Мы видим, таким образом, что $s_i$ стремятся к нулю вместе с $\tau$. Собирая в одну общую формулировку результаты, последовательно полученные в предыдущих рассуждениях, мы придем к упомянутой выше теореме:

Если на материальную систему наложены такие связи, что имеет место теорема живых сил, и если в течение чрезвычайно короткого промежутка времени $\tau$ система находится под действием ударных (неколебательных) сил, то при $\tau \to 0$ :
a) работа сил остается меньшей некоторой конечной величины [соотношение $\left({69}^{\prime }\right)$ ];
б) скорости точек системы остаются также меньшими некоторых конечных величин [соотношения (70)];
в) перемещения, испытываемые отдельными точками системы, стремятся к нулю вместе с $\tau$. [соотношения (71)].

В пределе можно сказать, что под действием какого угодно числа прямо приложенных импульсов конфигурация системы остается неизменной, тогда как для скоростей отдельных точек, вообще говоря, возможны резкие изменения.