6. Синхронно-варьированные движения. Во многих случаях оказывается полезным сравнивать с заданным движением $M$ материальной системы так называемые синхронно-варьированные движения ${ }^{1}$ ), обозначая этим названием те воображаемые движения (бесконечно близкие к сравниваемому движению), в которых во всякий момент $t$ положения отдельных точек системы задаются величинами $P_{i}+\delta P_{i}$, где $P_{i}$ соответствует движению $M$, а $\delta P_{i}$ означает какое-нибудь одно из виртуальных перемещений, относящихся к рассматриваемому моменту (и к конфигурации $P_{i}$ ).

Это перемещение $\delta P_{i}$ в любой момент можно выбрать произвольно, но связи системы при этом, конечно, не должны быть нарушены; после того как этот выбор сделан, $\delta P_{i}$ будут функциями времени, и потому можно считать определенными также и векторы $d \delta P_{i} / d t$, если $\delta P_{i}$ 一 правильные функции.

Итак, предположим, что для материальной системы определены какое-либо движение $M$ и его синхронно-варьированное движение $M_{s}$, и пусть $q$ есть какая-нибудь величина, скалярная или векторная, свя- $\qquad$

занная с движением системы, например скорость $\boldsymbol{v}_{i}$ любой точки $P_{i}$ или полная живая сила $T$ и т. д. Обозначим через $\delta q$ вариацию или разность (бесконечно малую), которая в любой момент имеется между значениями $q$ в варьированном движении $M_{s}$ и в действительном движении $M$.

Для ближайших выводов важно сейчас же заметить, что для скоростей $\eta_{i}$ имеем
\[
\delta v_{i}=\delta \frac{d P_{i}}{d t}=\frac{d}{d t} \delta P_{i} \quad(i=1,2, \ldots, N) .
\]

В справедливости этих соотношений мы можем убедиться или чисто аналитическим путем, полагая, что в силу самого определения виртуального перемещения операция б и дифференцирование по времени суть операции, независимые между собой, и потому обладают свойством переместительности, или менее формальным и более прямым путем, замечая, что в любой момент $t$ положения одной и той же материальной точки системы в движениях $M$ и $M_{s}$ суть $P_{i}$ и $P_{i}+\delta P_{i}$, так что для варьированной скорости, дифференцируя $P_{i}+\delta P_{i}$ по времени $t$, получим выражение
\[
\boldsymbol{v}_{i}+\delta \boldsymbol{v}_{i}=\frac{d P_{i}}{d t}+\frac{d}{d t} \delta P_{i} \quad(i=1,2, \ldots, N) ;
\]

вычитая отсюда $\boldsymbol{v}_{i}$, мы и получим соотношения (11).
Отметим также, что для живой силы
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i} \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{i}} \cdot \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{i}}
\]

непосредственно находим
\[
\delta T=\sum_{i=1}^{N} m_{i} v_{i} \cdot \delta v_{i}
\]
7. ВАриационная формула ГАмильтона. Вернемся снова к материальной системе, подчиненной связям, указанным в п. 3 , и возьмем опять общее уравнение динамики
\[
\sum_{i=1}^{N}\left(F_{i}-m_{i} a_{i}\right) \cdot \delta P_{i}=0
\]

которое напишем в виде
\[
L^{\prime}-\sum_{i=1}^{N} m_{i} a_{i} \cdot \delta P_{i}=0
\]

здесь для виртуальной работы $\sum_{i=1}^{N} F_{i} \delta P_{i}$ активных сил взято обозначение $L^{\prime}$ вместо прежнего обозначения $\delta L$, чтобы сохранить символ $\delta$

для вариаций, испытываемых отдельными механическими величинами при переходе от естественного движения к какому-нибудь синхронно варьированному движению. Важно теперь же отметить, что только в том случае, когда действующие силы имеют потенциал $U$, виртуальная элементарная работа $L^{\prime}$ может быть представлена в виде приращения некоторой механической величины при переходе от сравниваемого движения к синхронно-варьированному движению: $L^{\prime}=\delta U$.

Если при помощи начальных условий выбирается какое-нибудь движение $M$ системы, то оно, как мы знаем, в любой момент должно удовлетворять уравнению (13′) при всех виртуальных перемещениях $\delta P_{i}$. В частности, уравнение ( $\left.13^{\prime}\right)$ остается в силе в любой момент для $\delta P_{i}$, соответствующих какому-нибудь синхронно-варьированному движению $M_{s}$, во время которого эти $\delta P_{i}$, а вместе с ними элементарная работа $L^{\prime}$, будут определенными функциями времени. Если теперь проинтегрировать уравнение ( $\left.13^{\prime}\right)$ между двумя любыми моментами $t_{0}$ и $t_{1}$, то получится уравнение
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} L^{\prime} d t-\sum_{i=1}^{N} m_{i} \int_{t_{0}}^{t_{1}} a_{i} \cdot \delta P_{i} d t=0 .
\]

Интегрируя по частям и принимая во внимание соотношение $a_{i} d t=d v_{i}$ и уравнения (11), получим
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} a_{i} \cdot \delta P_{i} d t=\left[v_{i} \cdot \delta P_{i}\right]_{t_{0}}^{t_{1}}-\int_{t_{0}}^{t_{1}} \boldsymbol{v}_{i} \cdot \delta v_{i} d t ;
\]

на основании соотношения (12) уравнение (14) можно написать в виде
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\delta T+L^{\prime}\right) d t=\sum_{i=1}^{N} m_{i}\left[\boldsymbol{v}_{i} \cdot \delta P_{i}\right]_{t_{i}}^{t_{2}} .
\]

Заметим теперь, что, по самому определению виртуальных перемещений, они переводят систему из одной заданной конфигурации, совместимой со связями, в другую, тоже допускаемую связями в mom же самый момент; поэтому нулевое перемещение $\delta P_{i}=0$ следует рассматривать как виртуальное, каков бы ни был момент, к которому оно относится. Можно представлять себе по отношению к естественному движению $M$ синхронно-варьированное движение $M_{8}$ таким, что $\delta P_{i}$ исчезают в крайние моменты времени $t_{0}$ и $t_{1}$, но остаются совершенно произвольными в любой другой момент рассматриваемого промежутка времени, лишь бы они были правильными функциями $t$. Иначе говоря, из бесконечно большого числа синхронно-варьированных движений рассматриваются только те (составляющие также бесконечно большое число), которые имеют общие конфигурации с естественным движением $M$ в начале и конце промежутка времени.

Для всякого естественного движения, если синхронно-варьированные движения принадлежат к только что указанному частному классу, уравнение (14) сводится к более простому виду
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\delta T+L^{\prime}\right) d t=0 ;
\]

это и есть та вариационная формула, которая выражает так называемый принцип Гамильтона.

До сих пор мы видели только, что уравнение (15) является необходимым следствием общего уравнения (13) динамики. Для оправдания названия принципа, приписываемого уравнению (15), мы должны согласно п. 1 доказать и обратное предложение.

Предположим, что для естественного движения $M$ вариационная формула (15) справедлива по отношению к синхронно-варьированным движениям, имеющим те же конфигурации в моменты $t_{0}$ и $t_{1}$, что и естественное движение $M$; нужно доказать, что в этом случае для естественного движения справедливо общее уравнение динамики, т. е. что уравнение (15) определяет движение системы.

Мы дадим это доказательство в п. 9, после того как в следующем пункте изложим некоторые вспомогательные соображения.
8. Аналитические предпосылки. Задав для действительного переменного $t$ промежуток времени ( $t^{\prime}, t^{\prime \prime}$ ) и взяв внутри него любое значение $\bar{t}$, всегда можно построить многочлен $f(t)$, который при $t=\bar{t}$ принимает заданное значение $\bar{f}
eq 0$ и обращается в нуль любого наперед заданного порядка $n$ для каждого из значений $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}$ на концах промежутка. Таким, очевидно, будет многочлен
\[
f=\bar{f} \frac{\left(t-t^{\prime}\right)^{n}\left(t^{\prime \prime}-t\right)^{n}}{\left(\bar{t}-t^{\prime}\right)^{n}\left(t^{\prime \prime}-\bar{t}\right)^{n}} .
\]

Выбрав промежуток $\left[t_{0}, t_{1}\right]$, заключающий внутри себя $\left[t^{\prime}, t^{\prime \prime}\right]$, так что $t_{0} \leqslant t^{\prime}, t_{1} \geqslant t^{\prime \prime}$, рассмотрим функцию, которая в этом новом промежутке будет равна нулю вместе со своими первыми $n$ производными при $t \leqslant t^{\prime}$ и $t \geqslant t^{\prime \prime}$, а в промежугке $\left[t^{\prime}, t^{\prime \prime}\right]$ совпадает с $f$; таким образом получим в промежутке $\left[t_{0}, t_{1}\right]$ функцию, непрерывную вместе со своими первыми $n-1$ производными.

Это простое замечание пригодится нам для построения частного типа синхронно-варьированных движений по отношению к любому движению $M$ системы в заданном промежутке времени.

Проекции $\delta \xi_{i}, \delta \eta_{i}, \delta \zeta_{i}$ виртуальных перемещений $\delta P_{i}$ в любой момент определяются некоторой системой линейных однородных уравнений
\[
B_{k} \equiv \sum_{k=1}^{N}\left(a_{k i}^{\prime} \delta \xi_{i}+a_{k i}^{\prime \prime} \delta \eta_{i}+a_{k i}^{\prime \prime \prime} \delta \zeta_{i}\right)=0 \quad(i=1,2, \ldots, N) ;
\]

поэтому для любого момента $t$ и для любой соответственно возможной конфигурации наиболее общие выражения вариаций $\delta \xi_{i}, \delta \eta_{s}, \delta \zeta_{i}$ можно представить в виде линейных комбинаций с неопределенными множителями $\lambda$. Чтобы ввести синхронно-варьированное движение для заданного движения $M$, достаточно указать выражения множителей $\lambda$ в функции времени $t$.

Если теперь, выбрав внутри промежутка времени $\left[t_{0}, t_{1}\right]$ произвольный момент $\bar{t}$, включим это $\bar{t}$ в какой-нибудь частичный промежуток $\left[t^{\prime}, t^{\prime \prime}\right]$ и из всех виртуальных перемещений, относящихся к моменту $\bar{t}$, выберем одно, соответствующее значениям $\bar{\lambda}$ произвольных множителей, то мы всегда сможем, как было сказано выше, предположить, что эти множители определены как непрерывные функции времени и притом так, что при $t=\bar{t}$ они принимают как раз значения $\bar{\lambda}$, и потому дают заданное виртуальное перемещение и, наоборот, будут постоянно равны нулю при $t \leqslant t^{\prime}, t \geqslant t^{\prime \prime}$ (вместе со своими производными до какого-нибудь наперед установленного порядка).

Синхронно-варьированным движением, которое таким образом определено, мы воспользуемся в следующем пункте.
9. ВЫвОД ОБЩЕГО УРАвНЕНИЯ ДИНАМИКИ Из ВАРИАцИОННОЙ ФОРМУЛЫ Гамильтона. Как было сказано в п. 7 , мы должны доказать, что если для определенного движения $M$ системы, по отношению ко всем синхронно-варьированным движениям, имеющим одни и те же конфигурации на концах промежутка, справедливо (15), то в силу этого, как необходимое следствие, будет справедливо и общее уравнения динамики (13).

Для этой цели заметим сначала, что так как виртуальные перемещения $\delta P_{i}$ предполагаются равными нулю в моменты времени $t_{0}$ и $t_{1}$, то уравнению (15) можно придать вид (14′), после чего, выполнив снова в обратном порядке формальные переходы п. 7 , мы возвратимся к уравнению (14), которое можно написать в виде
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} \Delta d t=0,
\]

где для краткости мы обозначили через $\Delta$ левую часть общего уравнения динамики ( $13^{\prime}$ ) или (13). Таким образом, нам надо доказать, что если имеет место уравнение (14\”) при каком-нибудь выборе синхронно-варьированного движения с теми же самыми конфигурациями на концах, что и в естественном движении, то $\Delta$ в любой момент исчезает при каком угодно виртуальном перемещении (относящемся к рассматриваемому моменту и к конфигурации, принимаемой системой в движении $M$ ).

Это есть простое следствие из того обстоятельства, что все аргументы, от которых зависит $\Lambda$ (силы, ускорения, виртуальные перемещения), суть непрерывные функции времени. Действительно, выбрав один какой-нибудь момент $\bar{t}$ в промежутке $\left(t_{0}, t_{1}\right)$ (открытый промежуток) и задав какое-нибудь виртуальное перемещение $\delta P_{i}$ (между теми, которые относятся к моменту $\bar{t}$ и к одновременной \”конфигурации системы в движении $M$ ), обозначим через $\bar{\Lambda}$ соответствующее значение $\Lambda$, которое, как мы сейчас покажем, равно нулю. Из предыдущего пункта следует, что если заключить момент $\bar{t}$ в некоторый промежуток $\left[t^{\prime}, t^{\prime \prime}\right]$, внутренний д.я промежутка $\left(t_{0}, t_{1}\right)$, то можно бесконечным множеством способов определить в функции от времени бесконечное множество виртуальных перемещений $\infty^{2}$ (для последующих конфигураций системы в прямом движении $M$ ) и, следовательно, можно определить синхронно-варьированное движение так, чтобы для $t=t_{0}$ и $t=t_{1}$ конфигурация системы совпадала с конфигурацией в движении $M$; виртуальное перемещение при $t=\bar{t}$ будет тождественно с заданным и будет исчезать при $t \leqslant t^{\prime}$ и $t \geqslant t^{\prime \prime}$. Соответственно этому $\Delta$ при $t=\bar{t}$ принимает значение $\bar{\Delta}$, а при $t \leqslant t^{\prime}$ и $t \geqslant t^{\prime \prime}$ будет равно нулю, так что уравнение (14\”) приведется к виду
\[
\int_{t^{\prime}}^{t^{\prime \prime}} \Delta d t=0 .
\]

Так как вследствие непрерывности $\Lambda$ к левой части применима формула о среднем значении, то можно также написать
\[
\left(t^{\prime \prime}-t^{\prime}\right) \Delta^{*}=0,
\]

где $\Lambda^{*}$ обозначает величину $\Delta$, относящуюся к некоторому моменту $t^{*}$, заключенному между $t^{\prime}$ и $t^{\prime \prime}$. Поэтому имеем $\Delta^{*}=0$, а так как это имеет место, сколь бы малым ни был промежуток $\left[t^{\prime}, t^{\prime}\right]$, то заключаем, переходя к пределу, что вследствие непрерывности $\Delta$ не может не быть $\bar{\Delta}=0$.

Таким образом установлена полная эквивалентность между общим уравнением динамики (13) и вариационной формулой Гамильтона, которой теперь уже на законном основании можно приписывать название принципа.

Как уже указывалось в общем случае п. 1, формальное различие между двумя уравнениями (13) и (15) дает возможность использовать для составления уравнений движения то или другое из них, смотря по тому, какое является более удобным.

Следует добавить, что формула (15), хотя и включает, в отличие от уравнения (13), интегрирование по времени, однако имеет преимущество благодаря большей краткости, так как помимо виртуальной работы $L^{\prime}$, которая входит также и в уравнение (13) или (13′), содержит только скорости, входящие неявно через посредство вариации $\delta T$ живой силы, тогда как в уравнение (13) входят явно ускорения отдельных точек.
10. Случай консервативных сил. Принцип Гамильтона приобретает особенно простую и наглядную форму, когда силы, действующие на материальную систему, имеют потенциал $U$. При этом предположении, как уже было отмечено в п. 7 , виртуальная работа $L^{\prime}$ не отличается от вариации (полного дифференциала) $\delta U$, которую испытывает потенциал при переходе от естественного движения к синхронно-варьированному движению. Поэтому, принимая во внимание свойство переместительности операций варьирования и дифференцирования ( $\delta$ и $d / d t$ ), а следовательно, также и операций варьирования и интегрирования по времени, мы будем тождественно иметь
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}}\left(\delta T+L^{\prime}\right) d t=\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}}(T+U) d t=\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} \varepsilon d t,
\]

где опять появляется кинетический потенциал или функция Лагранжа $\mathfrak{Q}$ (гл. V, п. 40). Обозначив через S (главная функция Гамильтона, см. п. 27) интеграл
\[
\int_{t_{1}}^{t_{1}}(T+U) d t=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \Omega d t,
\]

мы можем придать принципу Гамильтона в этом случае следующий вид:
\[
\delta \mathrm{S}=0 .
\]

Для истолкования этого результата заметим, что интеграл $\mathrm{S}$ принимает вполне определенное зна́чение при всяком кинематически возможном движении (естественном или фиктивном), определенном для заданной системы от момента $t_{0}$ до момента $t_{1}$. Заметим, что $\mathrm{S}$ есть функция, зависящая уже не от переменных, а только от некоторого числа функций и как раз от тех, которые входят в уравнения движения.

Далее, уравнение (15′) выражает то обстоятельство, что вариация ô S, испытываемая этим интегралом при переходе от любого естественного движения к какому угодно синхронно-варьированному движению с теми же начальной и конечной конфигурациями, как и в естественном движении, равна нулю. Подобно тому, как в случае какой-нибудь функции $f$ от нескольких переменных $x$ мы заключаем, что обращение в нуль полного дифференциала от $f$ определяет те системы значений $x$, для которых функция $f$ принимает стационарное значение, уравнение (15′), пользуясь основными понятиями вариационного исчисления, можно истолковать следующим образом: для материальной системы с двусторонними связями без трения, находящейся под действием консервативных сил, любое естественное движение можно рассматривать как движение, для которого интеграл $\mathrm{S}$ имеет стационарное значение по отношению ко всем синхронно-варьированным движениям между теми же самыми начальной и конечной конфигурациями.

Это и есть формулировка принципа Гамильтона для консервативных систем.

Как в случае функций от многих переменных природа второго дифференциала $d^{2} f$ позволяет определить, при каких дальнейших условиях имеет место максимум или минимум, так и в вариационном исчислении можно рассмотреть аналогичный вопрос, обращаясь ко второй вариации ${ }^{1}$ ).

Далее, в случае принципа Гамильтона можно доказать, что при достаточно малых промежутках времени интеграл $S$ для естественного движения не только принимает стационарное значение, но и имеет минимум ${ }^{2}$ ).

Мы не будем здесь доказывать этого. Отметим только следующее обстоятельство: когда при переходе к синхронно-варьированным движениям начальный и конечный моменты $t_{0}$ и $t_{1}$ не изменяются, то интеграл $\mathrm{S}$ в течение рассматриваемого движения отличается только на постоянный множитель $\left(t_{1}-t_{0}\right)$ от среднего значения [2] функции Лагранжа; написав
\[
[\Omega]=[T]-[-U],
\]

мы увидим, что принцип Гамильтона в случае консервативных сил можно высказать также в другой форме: для естественного движения разность между средними значениями кинетической и потенциальной энергии принимает стационарное (именно, минимальное) значение по сравнению с синхронно-варьированными движениями с теми же начальной и конечной конфигурациями.

С физической точки зрения, это свойство стационарности (и минимума) содержится как частный случай в том принципе распределения энергии, который имеет место в статистической механике и, в частности, в кинетической теории газов ${ }^{3}$ ), в том смысле, что естественное движение, если сравнивать это движение с другими кинематически возможными и имеющими те же конфигурации для $t=t_{0}$

и $t=t_{1}$, определяется как движение, при котором среднее значение разности между двумя видами энергии, кинетической и потенциальной, имеет наименьшее значение. В явлениях, в которые входит большое число элементов, так что оказываются полезными только средние значения, наблюдается аналогичная тенденция, в некотором смысле даже более подчеркнутая, в отношении распределения энергии между всеми различными степенями свободы, которыми обладает система.

Отметим, наконец, как из того же определения (16) следует, что вычисление S предполагает знание движения, о котором идет речь, и в общем случае требует одной квадратуры. Не лишено интереса замечание, что, если известен полный интеграл $V(q|t| \pi)$ уравнения Гамильтона – Якоби, что, как мы знаем, позволяет определить общее решение уравнений движения (предыдущая глава, п. 35), квадратура выполняется. Мы отложим доказательство этого положения до п. 26, где речь будет идти о лагранжевых системах общего вида. ния. Возьмем снова принцип Гамильтона в его общей форме (15) и применим его к такой материальной системе, для которой элементарная работа $L^{\prime}$ активных сил и вариация кинетической энергии $\delta T$ при переходе от любого естественного движения к какому-нибудь синхронно-варьированному движению между одними и теми же конфигурациями в начале и конце промежутка времени выразятся в виде
\[
L^{\prime}=\sum_{h=1}^{n} A_{h} \mu_{h}, \quad \delta T=\sum_{h=1}^{n}\left(B_{h} \mu_{h}+C_{h} \dot{\mu}_{h}\right),
\]

где $\mu$ суть бесконечно малые произвольные функции времени, подчиненные только одному условию: они должны обращаться в нуль в моменты $t_{0}$ и $t_{1}$. Непосредственно ясно, как эти предположения подсказываются случаем голономной системы, отнесенной к лагранжевым независимым координатам $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$, так как для такой системы имеем (гл. V, п. 36)
\[
L^{\prime}=\sum_{h=1} Q_{h} \delta q_{h},
\]

а вариацию $\delta T$ живой силы, выраженную в функции от $q$ и $\dot{q}$, на основании свойства переместительности операторов $\delta$ и $d / d t$ можно написать в виде
\[
\delta T=\sum_{h=1}^{n}\left(\frac{\partial T}{\partial q_{h}} \delta q_{h}+\frac{\partial T}{\partial \dot{q}} \frac{d}{d t} \delta q_{h}\right) .
\]

Вариации $\delta q_{h}$ обращаются в нуль при $t=t_{0}$ и $t=t_{1}$, так как они соответствуют синхронно-варьированному движению, для которого начальная и конечная конфигурации совпадают с соответствующими конфигурациями естественного движения.

Предполагая, что выполняются равенства (17), из принципа Гамильтона можно получить уравнение
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{h=1}^{n}\left\{\left(A_{h}+B_{h}\right) \mu_{h}+C_{h} \dot{\mu}_{h}\right\} d t=0 .
\]

Так как $\mu_{h}$ обращаются в нуль при $t=t_{0}$ и $t=t_{1}$, то, интегрируя по частям, найдем
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} C_{h} \dot{\mu}_{h} d t=-\int_{t_{0}}^{t_{4}} \frac{d C_{h}}{d t} \mu_{h} d t,
\]

после чего можно написать
\[
\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum_{h=1}^{n}\left(A_{h}+B_{h}-\frac{d C_{h}}{d t}\right) \mu_{h} d t=0 .
\]

Рассуждение, совершенно аналогичное рассуждению п. 9, приводит к заключению, что функция под знаком интеграла должна обращаться в нуль, а так как $\mu_{h}$ произвольны, то каждый множитель при $\mu_{h}$ должен обращаться в нуль, т. е.
\[
\frac{d C_{h}}{d t}-B_{h}=A_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n)
\]

Эти уравнения и представляют собой дифференциальные уравнения движения системы.

Для упомянутого выше случая голономной системы, сравнивая уравнения (18) и (19) с уравнениями (17), найдем
\[
A_{h}=Q_{h}, B_{h}=\frac{\partial T}{\partial q_{h}}, C_{h}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}} \quad(h=1,2, \ldots, n)
\]

и потому
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_{h}}=Q_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]
т. е. уравнения (а) приводятся к уравнениям Лагранжа.

Естественно, что принцип Гамильтона можно применить к выводу дифференциальных уравнений движения также и в более общих случаях; такими будут, например, уравнения движения систем с неголономными связями, изученные нами в § 8 гл. V, или, чтобы указать более конкретный случай, уравнения Эилера для твердого тела, закрепленного в одной точке и отнесенного, помимо чисто позиционных координат $\theta, \varphi$,, к проекциям $p, q, r$ угловой скорости, т. е. $\mathbf{x}$ трем линейным неинтегрируемым комбинациям производных $\dot{\theta}, \dot{\varphi}, \dot{\psi}$.

Мы не будем останавливаться на этом и ограничимся ссылкой на классический трактат Кирхгоффа ${ }^{1}$ ), содержащий все, что касается только что указанных уравнений Эилера и их обобщений.