4. Геометрические предпосылки. Пусть кривая задана в трехмерном пространстве, отнесенном к прямоугольным декартовым координатам, которые для однообразия будем обозначать через $x_1,x_2,x_3$, посредством ее параметрических уравнений $x_{\mathrm{v}}=x_v(s)$, где $s$, как обычно, обозначает длину дуги. Как известно (т. I, гл. I, § 11), кривизна $c$ этой кривой определяется соотношением
$$c^2=\sum _{v=1}^3{\left(\frac{d^2{x}_y}{d{s}^2}\right)}^2;$$

к этому определению мы приходим, обращаясь к сферическому изображению или к индикатрисе касательных и вычисляя предел отношения угла смежности между касательными в двух смежных точках к длине дуги, заключенной между ними.

Все это распространяется и на пространство с каким угодно числом измерений $n$, при существенном условии, что речь идет об евклидовом пространстве, так как справедливость указанного вывода зависит от того обстоятельства, что квадрат расстояния между двумя

бесконечно близкими точками $x_y$ и $x_y+d{x}_y$ (линейный элемент пространства) определяется евклидовой квадратичной формой
$$\sum _{v=1}^{n}d{x}_v^2$$

Таким образом, для квадрата кривизны какой-нибудь кривой рассматриваемого пространства мы получим выражение
$$c^2=\sum _{u=1}^n{\left(\frac{d^2{x}_u}{d{s}^2}\right)}^2.$$

Пусть дана материальная система из $N$ точек $P_i$; будем представлять ее конфигурацию в евклидовом пространстве $E$, имеющем $n=3N$ измерений, полагая
$$\begin{array}{c}{x}_{3i-2}=\sqrt{m_i}{\xi }_i,x_{3i-1}=\sqrt{m_i}{\eta }_i,x_{3i}=\sqrt{m_i{\xi }_i}\\ (i=1,2,\dots ,N).\end{array}$$

Последовательность ${\mathrm{\infty }}^1$ конфигураций, принимаемых системой в любом ее движении $x_y=x_y(t)$, будет представлена ${\mathrm{\infty }}^1$ точек кривой пространства $E$, которая называется траекторией системы; легко видеть, что квадрат элемента дуги такой траектории пропорционален живой силе системы, если допустить предположение, что пространство является евклидовым. Действительно, равенство
$$d{s}^2=d{t}^2\sum _{v=1}^N{\dot{x}}_v^2$$

приводится в силу формул (10) к виду
$$d{s}^2=d{t}^2\sum _{i=1}^N{m}_i({\dot{\xi }}_i^2+{\dot{\eta }}_i^3+{\dot{\zeta }}_i)=2d{t}^{2}T.$$
5. Принцип прямейшего пути. Предположим, что связи не зависят от времени и что активных сил нет; следовательно, материальная система движется исключительно под действием связей (движение по инерции).

В этом случае можно дать замечательное геометрическое истолкование тому обстоятельству, что принуждение $\mathrm{\Gamma }$ (п. 3) имеет минимум для действительного движения; это истолкование указано Герцем.

Чтобы прийти к этому истолкованию, заметим, что выражение $\gamma$, определенное из формулы (8), которое, как мы видим, имеет минимум вместе с $Г$, приводится при отсутствии активных сил к виду
$$\gamma =\sum _{i=1}^N{m}_i{a}_i^2$$

или в силу формул (10) к виду
$$\gamma =\sum _{v=1}^m{\ddot{x}}_v^2.$$

Тождественно имеем
$${\ddot{x}}_v=\frac{d^2{x}_v}{d{s}^2}{\dot{s}}^2+\frac{d{x}_v}{ds}\ddot{s}(v=1,2,\dots ,n);$$

с другой стороны, из тождества
$$\sum _{u=1}^n{\left(\frac{d{x}_v}{ds}\right)}^2=1$$

путем дифференцирования по $s$ получим
$$\sum _{v=1}^n\frac{d^2{x}_v}{d{s}^2}\frac{d{x}_v}{ds}=0;$$

поэтому, вспоминая формулу (9), мы придем к новому выражению для $\gamma :$
$$\gamma =c^2{\dot{s}}^4+{\ddot{s}}^2.$$

После этого вернемся к функции $\gamma$, которая при заданном состоянии движения имеет минимум в естественном движении по сравнению со всеми другими, кинематически возможными движениями, и заметим, что так как речь идет о связях, не зависящих от времени, то соответствующие уравнения ( $2^{\prime }$ ) будут обязательно однородными ( $b_k=0$ ) и, кроме того, коэффициенты при ${\dot{\xi }}_i,{\dot{\eta }}_i,{\dot{\zeta }}_i$ не будут зависеть от $t$. Поэтому если эти уравнения умножить на $dt/ds$, то они приведутся относительно $d{\xi }_i/ds,d{\eta }_i/ds,d{\zeta }_i/ds$, т. е., на основании соотношений (10), относительно $d{x}_{\mathrm{v}}/ds$ к линейным однородным уравнениям с коэффициентами, зависящими только от координат $x_v$, т. е. от положения системы.

Воспользовавшись теперь представлением движения в евклидовом пространстве $E$ конфигураций, мы увидим, что связи имеют исключительно геометрический характер, т. е. накладывают ограничения только на траектории, но не на закон движения вдоль траектории; этот последний для каждой из возможных траекторий можно выбрать произвольно, не нарушая связей. Так как $\gamma$ имеет минимум в естественном движении в сравнении со всеми возможными движениями, совместными со связями, то выражение (8′) для $\gamma$ (в котором $\dot{s}$ имеет значение, определяемое рассматриваемым состоянием движения) позволяет сделать следующие заключения:
$1^{\circ }.\ddot{s}=0$, т. е. естественное движение является равномерным, как это можно вывести и из интеграла живых сил (гл. V, П, 30),

который при отсутствии активных сил сводится к следующему;
$$T=\frac{1}{2}\cdot {\dot{s}}^2=\text{ const; }$$
2 . $c^2$ имеет наименьшую допускаемую связями величину.
Следовательно, мы можем сформулировать упомянутый выше принцип прямейшего пути так: для материальной системы с двухсторонними идеальными и не зависящими от времени связями, на которую не действуют активные силы, естественное движение, начиная от какого-нибудь состояния движения, происходит с постоянной скоростью и так, что во всякий момент кривизна траектории в представляющем пространстве $Е$ имеет минимум по сравнению со всеми другими траекториями, совместными со связями. Эта формулировка представляет собою замечательное распространение принципа инерции (т. I, гл. VII, п. 30) с элементарного случая свободной точки на движение материальных систем с какими угодно связями (при отсутствии активных сил и трения).

Важно добавить, что предположение об отсутствии активных сил с точки зрения Герца не составляет ограничения, так как Герц исходит из основного взгляда, что из механики должно быть изгнано понятие о силе, как понятие примитивное, и все должно быть сведено к действию связей. Следовательно, по Герцу, силы должны входить только в виде реакций связей.