4. Геометрические предпосылки. Пусть кривая задана в трехмерном пространстве, отнесенном к прямоугольным декартовым координатам, которые для однообразия будем обозначать через $x_{1}, x_{2}, x_{3}$, посредством ее параметрических уравнений $x_{\mathrm{v}}=x_{v}(s)$, где $s$, как обычно, обозначает длину дуги. Как известно (т. I, гл. I, § 11), кривизна $c$ этой кривой определяется соотношением
\[
c^{2}=\sum_{v=1}^{3}\left(\frac{d^{2} x_{y}}{d s^{2}}\right)^{2} ;
\]

к этому определению мы приходим, обращаясь к сферическому изображению или к индикатрисе касательных и вычисляя предел отношения угла смежности между касательными в двух смежных точках к длине дуги, заключенной между ними.

Все это распространяется и на пространство с каким угодно числом измерений $n$, при существенном условии, что речь идет об евклидовом пространстве, так как справедливость указанного вывода зависит от того обстоятельства, что квадрат расстояния между двумя

бесконечно близкими точками $x_{y}$ и $x_{y}+d x_{y}$ (линейный элемент пространства) определяется евклидовой квадратичной формой
\[
\sum_{v=1}^{n} d x_{v}^{2}
\]

Таким образом, для квадрата кривизны какой-нибудь кривой рассматриваемого пространства мы получим выражение
\[
c^{2}=\sum_{
u=1}^{n}\left(\frac{d^{2} x_{
u}}{d s^{2}}\right)^{2} .
\]

Пусть дана материальная система из $N$ точек $P_{i}$; будем представлять ее конфигурацию в евклидовом пространстве $E$, имеющем $n=3 N$ измерений, полагая
\[
\begin{array}{c}
x_{3 i-2}=\sqrt{m_{i}} \xi_{i}, \quad x_{3 i-1}=\sqrt{m_{i}} \eta_{i}, \quad x_{3 i}=\sqrt{m_{i} \xi_{i}} \\
(i=1,2, \ldots, N) .
\end{array}
\]

Последовательность $\infty^{1}$ конфигураций, принимаемых системой в любом ее движении $x_{y}=x_{y}(t)$, будет представлена $\infty^{1}$ точек кривой пространства $E$, которая называется траекторией системы; легко видеть, что квадрат элемента дуги такой траектории пропорционален живой силе системы, если допустить предположение, что пространство является евклидовым. Действительно, равенство
\[
d s^{2}=d t^{2} \sum_{v=1}^{N} \dot{x}_{v}^{2}
\]

приводится в силу формул (10) к виду
\[
d s^{2}=d t^{2} \sum_{i=1}^{N} m_{i}\left(\dot{\xi}_{i}^{2}+\dot{\eta}_{i}^{3}+\dot{\zeta}_{i}\right)=2 d t^{2} T .
\]
5. Принцип прямейшего пути. Предположим, что связи не зависят от времени и что активных сил нет; следовательно, материальная система движется исключительно под действием связей (движение по инерции).

В этом случае можно дать замечательное геометрическое истолкование тому обстоятельству, что принуждение $\Gamma$ (п. 3) имеет минимум для действительного движения; это истолкование указано Герцем.

Чтобы прийти к этому истолкованию, заметим, что выражение $\gamma$, определенное из формулы (8), которое, как мы видим, имеет минимум вместе с $Г$, приводится при отсутствии активных сил к виду
\[
\gamma=\sum_{i=1}^{N} m_{i} a_{i}^{2}
\]

или в силу формул (10) к виду
\[
\gamma=\sum_{v=1}^{m} \ddot{x}_{v}^{2} .
\]

Тождественно имеем
\[
\ddot{x}_{v}=\frac{d^{2} x_{v}}{d s^{2}} \dot{s}^{2}+\frac{d x_{v}}{d s} \ddot{s} \quad(v=1,2, \ldots, n) ;
\]

с другой стороны, из тождества
\[
\sum_{
u=1}^{n}\left(\frac{d x_{v}}{d s}\right)^{2}=1
\]

путем дифференцирования по $s$ получим
\[
\sum_{v=1}^{n} \frac{d^{2} x_{v}}{d s^{2}} \frac{d x_{v}}{d s}=0 ;
\]

поэтому, вспоминая формулу (9), мы придем к новому выражению для $\gamma:$
\[
\gamma=c^{2} \dot{s}^{4}+\ddot{s}^{2} .
\]

После этого вернемся к функции $\gamma$, которая при заданном состоянии движения имеет минимум в естественном движении по сравнению со всеми другими, кинематически возможными движениями, и заметим, что так как речь идет о связях, не зависящих от времени, то соответствующие уравнения ( $2^{\prime}$ ) будут обязательно однородными ( $b_{k}=0$ ) и, кроме того, коэффициенты при $\dot{\xi}_{i}, \dot{\eta}_{i}, \dot{\zeta}_{i}$ не будут зависеть от $t$. Поэтому если эти уравнения умножить на $d t / d s$, то они приведутся относительно $d \xi_{i} / d s, d \eta_{i} / d s, d \zeta_{i} / d s$, т. е., на основании соотношений (10), относительно $d x_{\mathrm{v}} / d s$ к линейным однородным уравнениям с коэффициентами, зависящими только от координат $x_{v}$, т. е. от положения системы.

Воспользовавшись теперь представлением движения в евклидовом пространстве $E$ конфигураций, мы увидим, что связи имеют исключительно геометрический характер, т. е. накладывают ограничения только на траектории, но не на закон движения вдоль траектории; этот последний для каждой из возможных траекторий можно выбрать произвольно, не нарушая связей. Так как $\gamma$ имеет минимум в естественном движении в сравнении со всеми возможными движениями, совместными со связями, то выражение (8′) для $\gamma$ (в котором $\dot{s}$ имеет значение, определяемое рассматриваемым состоянием движения) позволяет сделать следующие заключения:
$1^{\circ} . \ddot{s}=0$, т. е. естественное движение является равномерным, как это можно вывести и из интеграла живых сил (гл. V, П, 30),

который при отсутствии активных сил сводится к следующему;
\[
T=\frac{1}{2} \cdot \dot{s}^{2}=\text { const; }
\]
2 . $c^{2}$ имеет наименьшую допускаемую связями величину.
Следовательно, мы можем сформулировать упомянутый выше принцип прямейшего пути так: для материальной системы с двухсторонними идеальными и не зависящими от времени связями, на которую не действуют активные силы, естественное движение, начиная от какого-нибудь состояния движения, происходит с постоянной скоростью и так, что во всякий момент кривизна траектории в представляющем пространстве $Е$ имеет минимум по сравнению со всеми другими траекториями, совместными со связями. Эта формулировка представляет собою замечательное распространение принципа инерции (т. I, гл. VII, п. 30) с элементарного случая свободной точки на движение материальных систем с какими угодно связями (при отсутствии активных сил и трения).

Важно добавить, что предположение об отсутствии активных сил с точки зрения Герца не составляет ограничения, так как Герц исходит из основного взгляда, что из механики должно быть изгнано понятие о силе, как понятие примитивное, и все должно быть сведено к действию связей. Следовательно, по Герцу, силы должны входить только в виде реакций связей.