46. Свободная точка; отнесенная к цилиндрическим координатам. Каноническое выражение, имеющее место в этом случае для живой силы
\[
(T)=\frac{1}{2}\left(p_{r}^{2}+\frac{1}{r^{2}} p_{\varphi}^{2}+p_{z}^{2}\right),
\]

явно не зависит от азимутальной координаты находится в поле консервативной силы, симметричном относительно оси $z$, и, следовательно, соответствующий (единичный) потенциал $U$ тоже не зависит от $\varphi$, то эта координата является игнорируемой, и имеет место интеграл
\[
p_{\varphi}=r^{2} \dot{\varphi}=c,
\]

который, естественно, истолковывается как интеграл момента количества движения относительно оси $\boldsymbol{z}$ или как интеграл площадей относительно полюса в плоскости $z=0$.

Приведенная каноническая система (п. 42), имеющая только две степени свободы (относительно переменных $r$ и $z$ ), имеет в этом случае характеристическую функцию вида
\[
\bar{H}=\frac{1}{2}\left(p_{r}^{2}+p_{z}^{2}\right)+\frac{1}{2} \frac{c^{2}}{r^{2}}-U(r, z),
\]

которую можно истолковать как соответствующую некоторому движению в меридианной плоскости под действием силы, являющейся производной от потенциала
\[
U(r, z)-\frac{1}{2} \frac{c^{2}}{r^{2}} .
\]
47. ЗАДАЧА $n+1$ тЕЛ: КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА ПуАНКАРЕ для уРАвнений относительного движения. Значительно более важная иллюстрация общих рассуждений предыдущего параграфа дается в задаче $n+1$ тел (или вообще $n+1$ свободных точек, находящихся исключительно под действием внутренних сил), когда стараются получить решение из интегралов количеств движения (или количества движения центра тяжести)
\[
Q_{1}=c_{1}, \quad Q_{2}=c_{2}, \quad Q_{3}=c_{3},
\]

которые, как это отмечалось в п. 24 ,а, находятся в инволюции.
В случае взаимных ньютонианских притяжений, которыми мы здесь ограничимся, соответствующий потенциал (гл. V, п. 32) зависит

только от разностей
\[
x_{i}=\xi_{i}-\xi_{0}, \quad y_{i}=\eta_{1}-\eta_{0}, \quad z_{i}=\eta_{i}-\zeta_{0} \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

между абсолютными координатами (т. е. между координатами относительно галилеевой системы отсчета) любой точки $P_{i}$ и координатами заданной точки $P_{0}$ системы (центральное тело).

Это обстоятельство подсказывает, что удобно принять за лагранжевы параметры системы вместо $3(n+1)$ абсолютных координат $n+1$ тел $3 n$ относительных координат $n$ из них относительно центрального тела $P_{0}$ и абсолютные координаты $\xi_{0}$, $\eta_{0}$, $\zeta_{0}$ этого последнего; действительно, координаты $\xi_{0}, \eta_{0}, \zeta_{0}$ по отношению к характеристической функции $H=(T)-U$ задачи представляют собой игнорируемые координаты, и три соответствующих интеграла количеств движения (п. 4) будут тождественны с $Q_{1}, Q_{2}, Q_{8}$, так что последующее приведение системы будет сводиться к элементарному случаю п. 42.

Для этой цели заметим сначала, что к указанной замене переменных, когда вместо $\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}$ подставляются выражения (92) и $\xi_{0}$, $\eta_{0}, \zeta_{0}$, надо присоединить, конечно, и замену сопряженных переменных (п. 24,a)
\[
\pi_{i}=m_{i} \dot{\xi}_{i}, \quad \chi_{i}=m_{i} \dot{\eta}_{i}, \quad \rho_{i}=m_{i} \dot{\zeta}_{i} \quad(i=0,1,2, \ldots, n),
\]

так что в общей сложности преобразование между двумя парами рядов из $3(n+1)$ переменных
\[
\left(\begin{array}{l}
\xi_{i} \eta_{i} \zeta_{i} \\
\pi_{i} \chi_{i} p_{i}
\end{array}\right) \quad(i=0,1, \ldots, n) \quad \text { и } \quad\left(\begin{array}{l}
x_{i} y_{i} z_{i} \xi_{0} \eta_{0} \zeta_{0} \\
p_{i} q_{i} r_{i} p_{0} q_{q} r_{0}
\end{array}\right) \quad(i=1,2, \ldots, n)
\]

будет каноническим. Теперь ясно, что для этого достаточно, чтобы каноническими были преобразования между парами из $n+1$ переменных, соответствующих отдельным осям; так что на основании второго примера из п. 13 мы непосредственно будем иметь, что за переменные, сопряженные с $x_{i}, y_{i}, z_{i}, \xi_{0}, \eta_{0}, \zeta_{0}$, должны быть соответственно приняты
\[
\left.\begin{array}{l}
p_{i}=\pi_{i}, \quad q_{i}=\chi_{i}, \quad r_{i}=p_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n), \\
p_{0}=\sum_{i=1}^{n} \pi_{i}=Q_{1}, \quad q_{0}=\sum_{i=1}^{n} \chi_{i}=Q_{2}, \quad r_{0}=\sum_{i=1}^{n} p_{i}=Q_{3} .
\end{array}\right\}
\]

Таким образом (замечание Пуанкаре), в задаче $n+1$ тел за сопряженные переменные можно принять, наряду с относительными координатами $n$ тел по отношению к центральному телу и проекциями соответствующих количеств движения, абсолютные координаты центрального тела и проекции количества движения центра инерции.

Далее, если мы выразим в этих переменных характеристическую функцию $H=(T)-U$, то $\xi_{0}, \eta_{0}, \zeta_{0}$ явно в нее не войдут, потому

что они не входят, как это отмечалось с самого начала, ни в потенциал $U$, ни в выражение $(T)$, которые, как это было отмечено в п. 6 , б, зависит исключительно от $\pi, \chi$, p или на основании равенства (93) от $p, q, r$. Соответственно этим трем игнорируемым параметрам найдем три интеграла
\[
p_{0}=c_{1}, \quad q_{0}=c_{2}, \quad r_{0}=c_{3},
\]

и достаточно принять во внимание равенства (93), чтобы видеть, что мы имеем дело как раз с первоначальными интегралами количества движения центра тяжести.

Благодаря наличию этих трех интегралов согласно п. 12 можно понизить число степеней свободы канонической системы на три или, что одно и то же, понизить число переменных на шесть. Вследствие этого мы придем к так называемой канонической форме Пуанкаре для уравнений относительного движения (относительно центрального тела) в задаче $n+1$ тел. Мы знаем (п. 42), что когда проинтегрированы эти уравнения, то игнорируемые координаты $\xi_{0}$, $\eta_{0}, \zeta_{0}$ центрального тела определяются простыми квадратурами.

Далее, характеристическая функция этих канонических уравнений относительного движения определится, естественно, уравнением $H=$ $=(T)-U$, в котором потенциал $U$ предполагается выраженным через относительные координаты $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, и, согласно равенствам (93), в равенстве п. 6,6
\[
(T)=\frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n} \frac{1}{m_{i}}\left(\pi_{i}^{2}+\chi_{i}^{2}+\rho_{i}^{2}\right)
\]

вместо $\pi_{i}, \chi_{i}, \rho_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ подставлены соответственно $p_{i}, q_{i}$, $r_{i}$, а вместо $\pi_{0}, \chi_{0}, \rho_{0}$ – величины
\[
c_{1}-\sum_{i=1}^{n} p_{i}, \quad c_{2}-\sum_{i=1}^{n} q_{i}, \quad c_{3}-\sum_{i=1}^{n} r_{i} .
\]

Относительно последней подстановки надо сделать одно важное замечание. Три интеграла (94) в силу их значения выражают постоянство скорости центра тяжести системы, а так как все предшествующее имеет силу для произвольной галилеевой системы осей, то мы можем прямо взять одну такую систему с началом в центре тяжести, благодаря чему придется положить $c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$. Таким образом, для характеристической функции получаем окончательное выражение
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{m_{i}}\left(p_{i}^{2}+q_{i}^{2}+r_{i}^{2}\right)+ \\
+\frac{1}{2 m_{0}}\left\{\left(\sum_{i=1}^{n} p_{i}\right)^{2}+\left(\sum_{i=1}^{n} q_{i}\right)^{2}+\left(\sum_{i=1}^{n} r_{i}\right)^{2}\right\}-U
\end{array}
\]

которое в случае $n=2$ для трех тел принимает вид
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2 m_{1}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}+r_{1}^{2}\right)+\frac{1}{2 m_{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}+r_{2}^{2}\right)+ \\
+\frac{1}{2 m_{0}}\left\{\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2}+\left(q_{1}+q_{2}\right)^{2}+\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}\right\}-U .
\end{array}
\]

В этом последнем случае явное выражение потенциала, относящегося к взаимному притяжению грех тел, определяется равенством
\[
U=f\left\{\frac{m_{0} m_{1}}{\Delta_{1}}+\frac{m_{0} m_{2}}{\Delta_{2}}+\frac{m_{1} m_{2}}{\Delta}\right\},
\]

где $m_{0}, m_{1}, m_{2}$ суть массы трех тел и
\[
\Delta_{1}=P_{0} P_{1}, \quad \Delta_{2}=P_{0} P_{2}, \quad \Delta=P_{1} P_{2} .
\]
48. ТЕЛО, ЗаКРеПленНОЕ в ОДНОЙ ТОЧКЕ. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ТЯЖЕЛОГО твердого тела. В случае движения твердого тела, закрепленного в одной точке, каноническое выражение живой силы, как мы видели в п. 6 , в, есть
\[
(T)=\frac{1}{2}\left\{\frac{\left(p_{\theta} \cos \varphi+\sigma \sin \varphi\right)^{2}}{A}+\frac{\left(p_{\theta} \sin \varphi-\sigma \cos \varphi\right)^{2}}{B}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{C}\right\},
\]

где
\[
\sigma=\frac{p_{\psi}-p_{\varphi} \cos \theta}{\sin \theta} .
\]

Координата \& явно в него не входит, так что всякий раз, когда и потенциал $U$ активных сил окажется не зависящим от $\psi$, эта координата будет игнорируемой, а для соответствующей задачи о движении будет существовать первый интеграл $p_{\psi}=$ const, в котором, если вспомним (п. 6, в), что $p_{\psi}$ равно $A p \gamma_{1}+B q_{\gamma_{2}}+C r \gamma_{3}$, мы узнаем интеграл момента количеств движения относительно неподвижной оси $\zeta$.

Применяя к этому случаю следствие из теоремы Лиувилля, указанное в п. 45, мы заключаем, что достаточно найти еце один интеграл, который не зависел бы от $t$ и был бы отличен от интеграла $H=$ const энергии и, кроме того, находился бы в инволюции с $p_{\psi}$ (т. е. не содержал явно $\psi$ ), чтобы задача о движении твердого тела вокруг закрепленной точки была разрешена только посредством квадратур.

Чтобы разъяснить важность этого заключения, полезно истолковать допущенное выше существенное условие $\partial U / \partial \psi=0$. Из толкования, данного в п. 5 гл. IV для обобщенных сил, действующих на твердое тело и соответствующих эйлеровым углам, следует, что это условие характеризует тот механический факт, что результирующий момент $\boldsymbol{M}$ активных сил относительно неподвижной точки $O$ перпендикулярен к неподвижной оси $\zeta$. Это обстоятельство по отношению к неподвижной вертикальной оси имеет место в том случае, когда активная сила

представляет собой вес, как это видно из прямых геометрических соображений, а также и из известного выражения потенциала (гл. VIII, п. 21)
\[
U=P\left(\gamma_{1} x_{0}+\gamma_{2} y_{0}+\gamma_{3} z_{0}\right),
\]

где $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ суть координаты центра тяжести и
\[
\gamma_{1}=\sin \theta \sin \varphi, \quad \gamma_{2}=\sin \theta \cos \varphi, \quad \gamma_{3}=\cos \theta .
\]

Мы теперь в состоянии доказать утверждение п. 24 гл. VIII, что задача о движении тяжелого твердого тела вокруг закрепленной точки будет разрешима при помощи только квадратур во всех тех случаях, когда для уравнений Эйлера-Пуассона удается указать один интеграл, не зависящий от $t$ и отличный от интегралов моментов количеств движения ( $p_{\psi}=$ const) и энергии ( $H=$ const). Действительно, такой интеграл, поскольку он относится к уравнениям Эйлера-Пуассона, может зависеть только от аргументов $p, q, r, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$, выражения которых через канонические переменные $\left(\begin{array}{cc}p_{\theta} p_{\varphi} p_{\phi} \\ \theta & \varphi\end{array}\right)$, даваемые равенствами (14′) п. 6 и (98), не содержат $४$. Поэтому необходимо будет иметь место равенство $\partial f / \partial \psi=0$, так что речь идет об интеграле, находящемся в инволюции с интегралом $p_{\psi}=$ const, и потому непосредственно будет применимо следствие из теоремы Лиувилля п. 45.
49. Тело гироскопической структуры. Если предположить, что $A=B$, то выражение живой силы, упомянутое в предыдущем пункте, получает вид
\[
(T)=\frac{1}{2}\left\{\frac{p_{\theta}^{2}+\sigma^{2}}{A}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{C}\right\}
\]

и, как мы видим, не зависит не только от $\psi$, но также и от $\varphi$, так что если то же самое справедливо и для потенциала $U$ (который в этом предположении будет зависеть только от $\theta$ ), то наряду с первым интегралом $p_{\psi}=$ const будем иметь еще один первый интеграл $p_{\varphi}=$ const, который в силу второго из равенств (14) п. 6 равносилен $r=$ const, т. е. выражает постоянство проекции угловой скорости твердого тела на ось симметрии. Так как оба этих интеграла не зависят от $t$, отличны от $H$ и находятся в инволюции, то можно прямо утверждать на основании следствия из теоремы Лиувилля (п. 45), что задача разрешима в одних только квадратурах. Классический пример мы имеем в случае Лагранжа – Пуассона (тяжелый гироскоп, гл. VIII, § 6), когда упомянутое уже выражение потенциала приводится к виду $U=P z_{0} \gamma_{3}=P z_{0} \cos \theta ;$ утверждение п. 27 главы VIII, таким образом, доказано.

Другая важная задача того же типа будет разобрана в следующем пункте.

50. ДВИЖЕНИЕ ЗЕМЛИ вокРуг вЕ ЦЕНТРА тяЖЕСТИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ притяжения отдаленным телом. В п. 31 гл. XI т. I мы видели, что потенциал притяжения $V$ каким-нибудь телом (например, Землею), масса которого $m_{0}$, какой-нибудь отдаленной точки $P$ с массою $m$ с достаточным приближением можно принять равным
\[
V=\frac{f m_{0} m}{\rho}+\frac{f m}{\rho^{3}}\left(\mathfrak{M}-\frac{3}{2} J\right),
\]

где $f$ обозначает, как обычно, постоянную всемирного тяготения, $\rho$ – расстояние точки $P$ от центра тяжести $O$ Земли, $\mathfrak{M}$ – полярный момент инерции Земли относительно $O$ (полусумма трех главных моментов инерции) и $I$-осевой момент инерции относительно $O P$. Для нас существенно отметить, что потенциал $V$ можно истолковать так же, как потенциал полного притяжения, которое точка $P$ оказывает на Землю, поскольку это справедливо относительно отдельных элементарных потенциалов, суммой которых является $V$.

Для уточнения постановки задачи уподобим Землю гироскопу, имеющему осью полярную ось $O z(A=B)$, и обозначим через $\theta, \varphi$, $\psi$ углы Эйлера неподвижной в теле системы осей Oxyz относительно осей неизменного направления. Если представим себе, что нам известны как абсолютное движение центра тяжести $O$ Земли, так и движение отдалённой точки $P$, то расстояние $\rho$ и направляющие косинусы $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ направленной прямой $O P$ относительно неподвижных осей нужно рассматривать как известные функции времени. $\mathrm{C}$ другой стороны, так как $\mathfrak{R}=A+C / 2$ есть постоянная, то из основного соотношения (16) гл. X т. I мы имеем
\[
I=A\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right)+C \gamma^{2}=A+(C-A) \gamma^{2},
\]

где $\alpha, \beta, \gamma$ обозначают направляюцие косинусы полупрямой $O P$ относительно осей, неподвижных в теле. Наконец, последний косинус $\gamma$ зависит от двух троек направляющих косинусов $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ прямой $O P$ и $\boldsymbol{a}_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}$ оси $O z$ (относительно неподвижной системы осей):
\[
\gamma=\alpha_{3} u_{1}+\beta_{3} u_{2}+\gamma_{3} u_{3} ;
\]

принимая во внимание, что
\[
\alpha_{3}=\sin \psi \sin \theta, \quad \beta_{3}=-\cos \psi \sin \theta, \quad \gamma_{3}=\cos \theta,
\]

выражение для $\gamma$ можно написать в виде
\[
\gamma=\sin \theta\left(u_{1} \sin \psi-u_{2} \cos \psi\right)+u_{3} \cos \theta .
\]

Заметим теперь, что члены потенциала $V$, не зависящие от обобщенных координат $\theta$, $\varphi$, Џ (но зависящие все же от времени), ничего не прибавят в формулах, выражающих канонические уравнения движения.

Поэтому в выражении (99) для потенциала $V$ мы можем пренебречь как двумя первыми слагаемыми
\[
\frac{f m_{0} m}{\rho}, \frac{f m \mathfrak{M}}{\rho^{3}},
\]

так и членом
\[
-\frac{3}{2} \frac{f m A}{p^{3}},
\]

входящим на основании выражения для $I$ в третье слагаемое, так что за потенциал можно принять функцию
\[
U=-\frac{3}{2} \frac{f m}{\rho^{3}}(C-A) \gamma^{2},
\]

зависящую, кроме времени, еще и от углов Эйлера согласно равенству (100).

Для постановки динамической задачи о движении Земли около ее центра тяжести под действием притяжения отдаленной точки $P$ необходимо, помимо потенциала (фиктивного), еще и выражение для живой силы. Здесь нам пригодится замечание п. 2 гл. VIII, на основании которого (поскольку действие силы зависит только от ориентировки Земли относительно неподвижных осей) вращательное движение определяется уравнениями (лагранжевыми и, следовательно, каноническими), составляемыми в предположении, что центр тяжести неподвижен. Следовательно, для живой силы Земли здесь надо принять выражение ( $T$ ) в канонических переменных, приведенное в предыдущем пункте. При помощи выражений ( $T$ ) для живой силы и (101) для потенциала $U$ мы можем получить явное представление характеристической функции $H=(T)-U$.

Введем дальнейшее упрощение в задачу, предполагая, что движение отдаленной точки $P$ известно; с этой целью ограничимся наиболее замечательным случаем, в котором движение точки $P$ можно строго или, по крайней мере, приближенно рассматривать так, как если бы эта точка притягивалась только одной Землей. Тогда, если имеются в виду отдаленные тела, мы приходим к задаче двух тел, одно из которых есть точка $P$, а другое – Земля, масса которой $m_{0}$ предполагается сосредоточенной в центре тяжести $O$; в пп. 4 и 21 гл. III мы видели, что при таких условиях всегда возможны круговые движения (частный случай так называемого кеплерова движения), угловая скорость которых $n$ связана с радиусом орбиты соотношением
\[
n^{2}=f \frac{m+m_{0}}{\rho},
\]

откуда получаем
\[
\frac{f m}{\rho^{3}}=\frac{n^{2}}{1+\frac{m_{0}}{m}} .
\]

Предположим, что точка $P$ совершает именно такое равномерное движение по окружности.

Если в этом предположении за неподвижную плоскость $\xi \eta$ возьмем плоскость круговой орбиты и обозначим через $w=n t+w_{0}$ долготу точки $P$, т. е. угол полупрямой $O P$ с осью $\xi$, то будем иметь
\[
u_{1}=\cos w, \quad u_{2}=\sin w, \quad u_{3}=0,
\]

так что равенство (100) принимает вид
\[
\gamma=\sin \theta \sin (\psi-w),
\]

а потенциал (101), если примем во внимание равенство (102), будет равен
\[
U=-\frac{3}{4} \frac{n^{2}}{1+\frac{m_{0}}{m}}(C-A) \sin ^{2} \theta[1-\cos 2(\psi-w)] .
\]

Таким образом, мы видим, что, в то время как живая сила (T) зависит (в отношении того, что касается координат) исключительно от угла нутации $\theta$, потенциал $U$, даже в схематически простом случае, когда движение точки $P$ относительно $O$ предполагается круговым, явно содержит, наряду с $\theta$, угол $\psi$, а также и время, входящее через посредство долготы w. Поэтому существует один только первый интеграл $p_{\varphi}=$ const постоянства угловой гироскопической скорости, а поскольку $H$ зависит через посредство $w$ от времени, то даже интеграл энергии не будет иметь места.

Но мы ограничимся рассмотрением так называемых вековых действий, т. е. изучением движения за большой промежуток времени, отвлекаясь от возможных малых колебаний. Для этой цели, как это будет следовать из общих соображении, которые мы изложим в п. 74 , приближенно вместо $U$ (или слагаемого из $U$ ), зависящего от времени по какому-нибудь периодическому закону, можно подставить его среднее значение за период $T$ или, так как $n T=2 \pi$,
\[
[U]=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} U d t=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} U d w .
\]

Далее, в настоящем случае $U$ есть сумма двух членов: одного, не зависящего от времени, и другого, содержащего $\cos 2(\psi-w)$; среднее значение этого последнего члена по отношению к $w$, очевидно, равно нулю, так что мы пришли к изучению вращательного движения вокруг точки $O$ при наличии потенциала
\[
U_{1}=-\frac{3}{4} \frac{n^{2}}{1+\frac{m_{0}}{m}}(C-A) \sin ^{2} \theta .
\]

Так как этот потенциал, так же как и живая сила, зависит исключительно от угла нутации $\theta^{1}$ ), то имеют место оба первых интеграла:
\[
p_{\varphi}=\text { const }, p_{\Psi}=\text { const; }
\]

на основании известного следствия из теоремы Лиувилля мы заключаем, что вековые действия притяжения отдаленного тела на движение Земли вокруг ее центра тяжести можно представить в квадратурах.

Если на движение Земли влияют несколько тел, то потенциал притяжения, зависящий от каждого из них, вычисляется тем же способом. Так как речь идет об отдаленных телах, то вместо потенциала (101′) надо подставить сумм стольких аналогичных членов, сколько имеется тел, создающих потенциал; для такой суммы также будут иметь место высказанные выше заключения, относящиеся к интегрированию дифференциальных уравнений движения Земли вокруг центра тяжести, в частности, и то заключение, что для определения вековых действий мы приходим к квадратурам.

Заметим наконец, что слагаемое, прибавляемое к потенциалу от каждого из тел, создающих потенциал и предполагаемых отдаленными, согласно равенству (101) будет прямо пропорционально массе $m$ тела и обратно пропорционально кубу расстояння $\rho$ от $O$; если принять это во внимание, то окажется, что в конкретном случае Земли можно пренебречь действием других планет и рассматривать только два тела: Солнце – вследствие его большой массы и Луну – вследствие ее относительно малого расстояния.