62. Случай интегрируемости Лиувилля. Интегрирование канонической системы было сведено в § 6 к определению полного интеграла для соответствующего уравнения в частных производных Гамильтона – Якоби.

Наиболее замечательными случаями, в которых действительно удается указать такой полный интеграл, являются \”те, к которым приложим метод разделения переменных. Этим мы хотим сказать, что при характеристической функции, не зависящей от $t$, уравнению Гамильтона – Якоби (п. 38)
\[
H(p \mid q)=\mathrm{const}=E \quad\left(p_{h}=\frac{\partial W}{\partial q_{h}} ; \quad h=1,2, \ldots, n\right)
\]

можно удовлетворить функцией вида
\[
W=\sum_{h=1}^{n} W_{h}\left(q_{h}\right)
\]

где, для всякого значения индекса $h, W_{h}$ означает функцию от одного только аргумента $q_{h}$ и, конечно, $W_{h}$ в своей совокупности зависят от $n$ произвольных постоянных, одна из которых, согласно принимаемой здесь постановке Якоби, является самой постоянной энергии $E$.

Конечно, такая возможность может встретиться только для частных видов характеристической функции $H$; следует, однако, отметить, что характеристические функции, обладающие указанным свойством, непосредственно встречаются в важных динамических задачах.

Первый пример, указанный Лиувиллем и ставший теперь классическим, дают те динамические консервативные системы, в которых путем надлежащего выбора обобщенных координат $q$ живая сила материальной системы и потенциал имеют вид
\[
T=\frac{1}{2} b \sum_{h=1}^{n} A_{h} \dot{q}_{h}^{2}, \quad U=\frac{1}{b} \sum_{h=1}^{n} U_{h},
\]

где положено
\[
b=\sum_{h=1}^{n} B_{h},
\]

причем каждое из $A_{h} B_{h}, U_{h}$ является функцией одного аргумента $q_{h}$.
Легко видеть, что достаточно было бы ввести в качестве обобщенных координат новые переменные $q^{*}$, определяемые равенствами
\[
d q^{*}=\sqrt{A_{h}} \cdot d q_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

чтобы, не нарушая общности, сделать все $A_{h}$ равными 1 (т. е. привести квадратичную форму $\sum_{h=1}^{n} A_{h} \dot{q}_{h}^{3}$, которая после умножения на $b / 2$ дает живую силу, к евклидовой форме); но так как в некоторых, весьма интересных конкретных задачах, когда мы пользуемся параметрами, наиболее естественными для данной задачи, живая сила $T$ принимает вид, указанный в первом из равенств (121), то предпочтительнее вести вычисления в этих переменных. Однако, чтобы избежать исследований, мало пригодных для наших целей, предположим заранее,

что аргументы $q$ заключены в некоторой области, в которой функции $A_{h}, B_{h}$ и $b$ остаются не только правильными, наравне с $U$, но также и отличными от нуля.

Заметим теперь, что при наличии первого из равенств (121) на основании правила п. 5 имеем
\[
(T)=\frac{1}{2 b} \sum_{h=1}^{n} \frac{p_{h}^{2}}{A_{h}} .
\]

Уравнение Гамильтона – Якоби, для которого требуется найти полный интеграл вида ( 120 ), будет здесь иметь вид
\[
H=\frac{1}{b} \sum_{h=1}^{n}\left(\frac{1}{2} \frac{p_{h}^{3}}{A_{h}}-U_{h}\right)=E,
\]

где на основании равенства (120) надо положить
\[
p_{h}=\frac{d W_{h}}{d q_{h}}=W_{h}^{\prime} \quad(h=1,2, \ldots, n) ;
\]

если умножим обе части уравнения (122) на $b$ и примем во внимание явное выражение множителя $b$, то можно написать
\[
\sum_{h=1}^{n}\left(\frac{1}{2} \frac{W_{h}^{\prime 2}}{A_{h}}-U_{h}-E B_{h}\right)=0 .
\]

Таким образом, левая часть уравнения представлена в виде суммы $n$ слагаемых, каждое из которых зависит от одного только $q_{h}$. Обозначая эти слагаемые соответственно через $\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots, \pi_{n}$, будем иметь
\[
\sum_{h=1}^{n} \pi_{h}=0,
\]

а так как это равенство должно удовлетворяться тождественно относительно $q$, то достаточно взять частные производные по этим переменным, чтобы получить $\pi_{h}^{\prime}=0(h=1,2, \ldots, n)$, т. е. чтобы заключить, что каждое $\pi$ должно сводиться к постоянной и что уравнение ( $122^{\prime}$ ) равносильно $n$ обыкновенным дифференциальным уравнениям
\[
\frac{1}{2} \frac{W_{h}^{\prime 2}}{A_{h}}-U_{h}-E B_{h}=\pi_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

где $\pi$ обозначают $n$ постоянных, связанных между собой только соотношением (123).

Поэтому мы можем рассматривать как вполне произвольные постоянные $n-1$ из них, например $\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots, \pi_{n-1}$, а $n$-е постоянное определится соответственно из уравнения
\[
\pi_{n}=-\sum_{n=1}^{n-1} \pi_{h}
\]

что касается величин $W_{h}$, то определение каждой из них сводится на основании уравнений (124) к одной квадратуре
\[
W_{h}=\int \chi_{h} d q_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

где для простоты положено
\[
\chi_{h}=\sqrt{2 A_{h}\left(U_{h}+E B_{h}+\pi_{h}\right)} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

При этих значениях $W_{h}$ уравнение (120) определит некоторую функцию $W$ от $q$ и $n$ произвольных постоянных $\pi_{1}, \pi_{2}, \ldots, \pi_{n-1}, E$, удовлетворяющую в силу способа, которым она получена, уравнению Гамильтона – Якоби (122); поэтому остается только проверить, что мы действительно имеем полный интеграл, т. е. (п. 38) что определитель
\[

abla^{\prime}=\left\|\frac{\partial^{2} W}{\partial q_{h} \partial \pi_{j}}\right\| \quad(h, j=1,2, \ldots, n-1)
\]

не равен тождественно нулю.
Для этой цели в соответствии с принятыми уже предположениями допустим, что $q$ и $\pi$ выбираются в области, в которой будет отличен от нуля каждый из трех членов $U_{h}+E B_{h}+\pi_{h}$, в силу чего на оснований уравнений (124) отличным от нуля будет также всякое отдельное $W_{h}^{\prime}$; а так как любой элемент детерминанта $
abla^{\prime}$ определяется выражением
\[
\frac{\partial W_{h}^{\prime}}{\partial \pi_{j}} \quad(h, j=1,2, \ldots, n-1),
\]

то достаточно принять во внимание те же уравнения (124), чтобы установить, что такой элемент при $j
eq h$ тождественно равен нулю, а при $j=h$ имеет вид
\[
\frac{A_{h}}{W_{h}^{\prime}} \quad(h=1,2, \ldots, n-1) ;
\]

поэтому определитель $
abla^{\prime}$, как это и требовалось показать, отличен от нуля.
63. общий интеграл и ход движения. Определив для уравнения Гамильтона – Якоби $H=E$ полный интеграл (120), мы получим согласно правилу п. 38 общее решение канонической системы, если, определив значения $W_{h}$ по формулам (125), подставим полный интеграл в уравнения ( $74_{a}$ ) п. 38 , определяющие траекторию, и в уравнение (746), определяющее закон движения по этой траектории. Таким образом, принимая во внимание выражение (123′) для величины $\pi_{n}$ и

дифференцируя под знаком интеграла по каждому $\pi_{j}$ (при $j=$ $=1,2, \ldots, n-1$ ) и по $E$, мы придем к окончательным уравнениям
\[
\begin{array}{c}
x_{j}=\int \frac{A_{j}}{\chi_{j}} d q_{j}-\int \frac{A_{n}}{\chi_{n}} d q_{n} \quad(j=1,2, \ldots, n), \\
t-t_{0}=\sum_{h=1}^{n} \int \frac{A_{h} B_{h}}{\chi_{h}} d q_{h} .
\end{array}
\]

Но если мы хотим быстро составить себе представление о ходе движения, то вместо этих уравнений удобно обратиться к уравнениям (124). Так как на основании характеристической формы (121), принятой для $T$, моменты $p_{h}$ связаны с соответствующими $\dot{q}$ равенствами
\[
p_{h}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}}=b A_{h} \dot{q}_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

и, кроме того, тождественны $c^{*} W_{h}^{\prime}$, то мы видим, что уравнения (124) можно написать в одном из двух видов
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \frac{p_{h}^{2}}{A_{h}}-U_{h}-E B_{h}=\pi_{h}, \\
\frac{1}{2} b^{2} A_{h} \dot{q}_{h}^{2}-U_{h}-E B_{h}=\pi_{h}, \\
(h=1,2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Так как уравнения ( $124^{\prime}$ ), помимо произвольных постоянных, содержат аргументы $p, q$, то их можно рассматривать как $n$ интегралов канонических уравнений, между тем как уравнения ( $124^{\prime \prime}$ ) вместе с $q$ содержат $\dot{q}$ и потому представляют собой $n$ первых квадратичных интегралов для первоначальных динамических уравнений Лагранжа, эквивалентных канонической системе.

При качественном изучении движения более удобными оказываются уравнения ( $124^{\prime \prime}$ ), каждое из которых содержит только одну из переменных $q$ и представляет само по себе дифференциальное уравнение первого порядка уже неоднократно встречавшегося типа
\[
\dot{q}^{2}=\Phi(q) .
\]

Поэтому на основании результатов исследования § 6 гл. I можно заключить, что каждая из переменных $q$ представляет собой периодическую функцию времени или асимптотически приближается к предельному значению. Чтобы точнее определить характер движения, значительно целесообразнее было бы изучить изменение параметров $q$ при помощи уравнений ( $\left.124^{\prime \prime}\right)$, рассматривая их как функции не

только от $t$, но также и от $n-1$ аргументов $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}$; однако мы не будем останавливаться на этом ${ }^{1}$ ).
64. Случай интегрируемости Штеккеля. Штеккель поставил себе задачу указать другие классы динамических задач, к которым можно было бы применить метод разделе:ия переменных ${ }^{2}$ ); в частности, он искал все динамические задачи, интегрируемые этим методом, ограничиваясь предположением, что живая сила, как и в случае Лиувилля, является квадратичной формой от ортогонального вида. Таким образом, он пришел к важному обобщению результатов предыдущих пунктов; не воспроизводя соображений, какими руководствовался Штеккель в его исследовании, мы ограничимся здесь лишь характеристикой динамических задач, найденных им таким способом.

Рассмотрим $n^{2}$ функций $\varphi_{v h}\left(q_{h}\right)$ при $v, h=1,2, \ldots, n$, таких, что каждая из них зависит только от одной переменной $q_{h}$, индекс которой совпадает со вторым индексом рассматриваемой функции, и предположим, что определитель
\[
D=\mid \varphi_{v h} \| \quad\left(h_{1}
u=1,2, \ldots, n\right)
\]

не равен тождественно нулю. Если обозначим через $\psi_{h}$ при $h=1,2, \ldots, n$ величины, взаимные элементам какой-нибудь строки определителя $D$, например $n$-ой, то увидим на основании равенства
\[
\sum_{h=1}^{n} \varphi_{n h}{ }^{\prime} h=1,
\]

что $\psi_{h}$ не все равны нулю. Условившись заранее ограничить изменение $q$ некоторой областью, в которой функции $\psi_{h}$ остаются отличными от нуля, рассмотрим динамическую, консервативную систему, обладающую живой силой и потенциалом вида
\[
T=\frac{1}{2} \sum_{h=1}^{n} \frac{\dot{q}_{h}^{2}}{\psi_{h}}, \quad U=\sum_{h=1}^{n} \psi_{n} U_{h},
\]

где каждая из функций $U_{h}$, как и в п. 62 , зависит только от $q_{h}$ и, само собой разумеется, является конечной и правильной в рассматриваемой области.
Выражая в $T$ количества $q$ через $p_{h}$, будем иметь (п. 5)
\[
(T)=\frac{1}{2} \sum_{h=1}^{n} \psi_{h} p_{h}^{2},
\]
в силу чего уравнение Гамильтона – Якоби $H=E$, полный интеграл которого $W$ в форме (120) требуется определить, принимает вид
\[
\sum_{h=1}^{n} \psi_{h}\left(\frac{1}{2} p_{h}^{2}-U_{h}\right)=E \quad\left(p_{h}=\frac{\partial W}{\partial q_{h}} ; \quad h=1,2, \ldots, n\right) .
\]

Теперь легко убедиться, что для того, чтобы получить полный интеграл этого уравнения, достаточно определить $W_{h}$ из $n$ дифференциальных уравнений первого порядка.
\[
\frac{1}{2} W_{h}^{\prime 2}=\sum_{
u=1}^{n-1} \pi_{
u} \varphi_{
u h}+E \varphi_{n h}+U_{h} \quad(h=1,2, \ldots, n),
\]

где $\pi_{1}, \ldots, \pi_{n-1}$ обозначают $n-1$ произвольных постоянных.
В самом деле, функция $W=\Sigma W_{h}$ удовлетворяет уравнению (128), как это непосредственно можно увидеть, если обратить внимание на равенства $p_{h}=W_{h}^{\prime}$ и уравнение (129). Далее, чтобы показать, что $W$ есть полный интеграл, достаточно заметить, что при качественных ограничениях, аналогичных ограничениям п. 62 , можно принять, что всякое $W_{h}^{\prime}$ в рассматриваемой области отлично от нуля; после этого увидим, что определитель
\[

abla^{\prime}=\left\|\frac{\partial^{2} W}{\partial q_{h} \partial \pi_{j}}\right\|=\left\|\frac{\partial W_{h}^{\prime}}{\partial \pi_{j}}\right\| \quad(h, j=1,2, \ldots, n-1),
\]

так как он приводится к виду

не может тождественно равняться нулю.
Как мы уже знаем (п. 38), общее решение канонической системы мы найдём из равенств ( $\left.74_{\mathrm{a}}\right)$, ( $74_{6}$ ); что касается аналитической природы переменных $q$, как функций от $t$ (и от $n-1$ постоянных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}$ ), то имеют место соображения, аналогичные тем, которые были приведены в предыдущем пункте. Здесь, как и раньше, успех применения способа разделения переменных тесно связан с существованием $n$ квадратичных интегралов относительно $\dot{q}$ для лагранжевых уравнений движения; эти интегралы определяются здесь уравнениями (129), в которые вместо $W_{h}^{\prime}=p_{h}$ должны быть подставлены
\[
\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{h}}=\frac{\dot{q}_{h}}{\psi h} \quad(h=1,2, \ldots, n) .
\]

Так как рассматриваемый здесь случай, как было сказано вначале, представляет собой обобщение случая Лиувилля, то целесообразно указать, какие значения должны быть взяты для функций १. $\left(q_{h}\right)$, чтобы снова вернуться к динамической задаче Лиувилля.

Если ограничиться решением этой задачи в предположении, что все $A_{h}$ п. 62 равны 1 , то достаточно взять $\varphi_{n h}$ соответственно равными $B_{h}$, а остальные $\varphi$ постоянными, причем все алгебраические дополнения функций $\varphi_{n h}=B_{h}$, т. е. функций $\psi_{n}$, должны быть равны 1 , например

Если в этом определителе умножим элементы первого, второго, $\ldots, n$-го столбца соответственно на $1 / A_{1}, 1 / A_{2}, \ldots, 1 / A_{n}$, то снова вернемся к случаю (только формально более общему), который мы изучали в пп. $62,63$.
65. Добавим еще, что сам Штеккель и другие указали дальнейшие случаи интегрируемости способом разделения переменных и что даже был установлен критерий классификации всех типов возможных динамических задач, интегрируемых этим методом ${ }^{1}$ ). Действительное определение этих типов впервые и исчерпывающим образом было выполнено при $n=2$ Mорера ${ }^{2}$ ), а позднее было дополнено для $n=3$ Даль-Аква (Dall’Acqua) ${ }^{3}$ ).

Было замечено также ${ }^{4}$ ), что если для консервативной динамической системы с характеристической функцией $H=(T)-U$ задача может быть сведена к квадратурам, то это справедливо и для случая, когда $(T)=E$, т. е. для соответствующей задачи о движении при отсутствии сил (движение по инерции).

C другой стороны, то обстоятельство, что в указанных выше случаях Лиувилля и Штеккеля приложимость метода разделения переменных связывается с существованием квадратичных относительно $q$ первых интегралов, заставляло изучать условия, при которых динамическая задача допускает первые интегралы указанного выше вида. Известные типы таких задач были указаны, кроме Штеккеля, Ди Пирро ${ }^{5}$ ) и Пэнлеве ${ }^{6}$ ). И для этих динамических задач,

допускающих квадратичные относительно $\dot{q}$ интегралы, также имеет место замечание, что эти интегралы продолжают существовать даже и в том случае, когда силы отсутствуют; с другой стороны, возможна еще систематическая классификация, из которой следует, что, наверное, существуют другие случаи, помимо открытых до сих пор ${ }^{1}$ ); однако задача полного определения таких случаев представляет, по-видимому, большие трудности *).