62. Случай интегрируемости Лиувилля. Интегрирование канонической системы было сведено в § 6 к определению полного интеграла для соответствующего уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби.

Наиболее замечательными случаями, в которых действительно удается указать такой полный интеграл, являются \»те, к которым приложим метод разделения переменных. Этим мы хотим сказать, что при характеристической функции, не зависящей от $t$, уравнению Гамильтона — Якоби (п. 38)
$$H(p\mid q)=\mathrm{const}=E(p_h=\frac{\partial W}{\partial q_h};h=1,2,\dots ,n)$$

можно удовлетворить функцией вида
$$W=\sum _{h=1}^n{W}_h\left(q_h\right)$$

где, для всякого значения индекса $h,W_h$ означает функцию от одного только аргумента $q_h$ и, конечно, $W_h$ в своей совокупности зависят от $n$ произвольных постоянных, одна из которых, согласно принимаемой здесь постановке Якоби, является самой постоянной энергии $E$.

Конечно, такая возможность может встретиться только для частных видов характеристической функции $H$; следует, однако, отметить, что характеристические функции, обладающие указанным свойством, непосредственно встречаются в важных динамических задачах.

Первый пример, указанный Лиувиллем и ставший теперь классическим, дают те динамические консервативные системы, в которых путем надлежащего выбора обобщенных координат $q$ живая сила материальной системы и потенциал имеют вид
$$T=\frac{1}{2}b\sum _{h=1}^n{A}_h{\dot{q}}_h^2,U=\frac{1}{b}\sum _{h=1}^n{U}_h,$$

где положено
$$b=\sum _{h=1}^n{B}_h,$$

причем каждое из $A_h{B}_h,U_h$ является функцией одного аргумента $q_h$.
Легко видеть, что достаточно было бы ввести в качестве обобщенных координат новые переменные $q^{\ast }$, определяемые равенствами
$$d{q}^{\ast }=\sqrt{A_h}\cdot d{q}_h(h=1,2,\dots ,n),$$

чтобы, не нарушая общности, сделать все $A_h$ равными 1 (т. е. привести квадратичную форму $\sum _{h=1}^n{A}_h{\dot{q}}_h^3$, которая после умножения на $b/2$ дает живую силу, к евклидовой форме); но так как в некоторых, весьма интересных конкретных задачах, когда мы пользуемся параметрами, наиболее естественными для данной задачи, живая сила $T$ принимает вид, указанный в первом из равенств (121), то предпочтительнее вести вычисления в этих переменных. Однако, чтобы избежать исследований, мало пригодных для наших целей, предположим заранее,

что аргументы $q$ заключены в некоторой области, в которой функции $A_h,B_h$ и $b$ остаются не только правильными, наравне с $U$, но также и отличными от нуля.

Заметим теперь, что при наличии первого из равенств (121) на основании правила п. 5 имеем
$$(T)=\frac{1}{2b}\sum _{h=1}^n\frac{p_h^2}{A_h}.$$

Уравнение Гамильтона — Якоби, для которого требуется найти полный интеграл вида ( 120 ), будет здесь иметь вид
$$H=\frac{1}{b}\sum _{h=1}^n(\frac{1}{2}\frac{p_h^3}{A_h}-U_h)=E,$$

где на основании равенства (120) надо положить
$$p_h=\frac{d{W}_h}{d{q}_h}=W_h^{\prime }(h=1,2,\dots ,n);$$

если умножим обе части уравнения (122) на $b$ и примем во внимание явное выражение множителя $b$, то можно написать
$$\sum _{h=1}^n(\frac{1}{2}\frac{W_h^{\prime 2}}{A_h}-U_h-E{B}_h)=0.$$

Таким образом, левая часть уравнения представлена в виде суммы $n$ слагаемых, каждое из которых зависит от одного только $q_h$. Обозначая эти слагаемые соответственно через ${\pi }_1,{\pi }_2,\dots ,{\pi }_n$, будем иметь
$$\sum _{h=1}^n{\pi }_h=0,$$

а так как это равенство должно удовлетворяться тождественно относительно $q$, то достаточно взять частные производные по этим переменным, чтобы получить ${\pi }_h^{\prime }=0(h=1,2,\dots ,n)$, т. е. чтобы заключить, что каждое $\pi$ должно сводиться к постоянной и что уравнение ( ${122}^{\prime }$ ) равносильно $n$ обыкновенным дифференциальным уравнениям
$$\frac{1}{2}\frac{W_h^{\prime 2}}{A_h}-U_h-E{B}_h={\pi }_h(h=1,2,\dots ,n),$$

где $\pi$ обозначают $n$ постоянных, связанных между собой только соотношением (123).

Поэтому мы можем рассматривать как вполне произвольные постоянные $n-1$ из них, например ${\pi }_1,{\pi }_2,\dots ,{\pi }_{n-1}$, а $n$-е постоянное определится соответственно из уравнения
$${\pi }_n=-\sum _{n=1}^{n-1}{\pi }_h$$

что касается величин $W_h$, то определение каждой из них сводится на основании уравнений (124) к одной квадратуре
$$W_h=\int {\chi }_{h}d{q}_h(h=1,2,\dots ,n),$$

где для простоты положено
$${\chi }_h=\sqrt{2A_h(U_h+E{B}_h+{\pi }_h)}(h=1,2,\dots ,n).$$

При этих значениях $W_h$ уравнение (120) определит некоторую функцию $W$ от $q$ и $n$ произвольных постоянных ${\pi }_1,{\pi }_2,\dots ,{\pi }_{n-1},E$, удовлетворяющую в силу способа, которым она получена, уравнению Гамильтона — Якоби (122); поэтому остается только проверить, что мы действительно имеем полный интеграл, т. е. (п. 38) что определитель
\[

abla^{\prime}=\left\|\frac{\partial^{2} W}{\partial q_{h} \partial \pi_{j}}\right\| \quad(h, j=1,2, \ldots, n-1)
\]

не равен тождественно нулю.
Для этой цели в соответствии с принятыми уже предположениями допустим, что $q$ и $\pi$ выбираются в области, в которой будет отличен от нуля каждый из трех членов $U_h+E{B}_h+{\pi }_h$, в силу чего на оснований уравнений (124) отличным от нуля будет также всякое отдельное $W_h^{\prime }$; а так как любой элемент детерминанта $abl{a}^{\prime }$ определяется выражением
$$\frac{\partial W_h^{\prime }}{\partial {\pi }_j}(h,j=1,2,\dots ,n-1),$$

то достаточно принять во внимание те же уравнения (124), чтобы установить, что такой элемент при $jeqh$ тождественно равен нулю, а при $j=h$ имеет вид
$$\frac{A_h}{W_h^{\prime }}(h=1,2,\dots ,n-1);$$

поэтому определитель $abl{a}^{\prime }$, как это и требовалось показать, отличен от нуля.
63. общий интеграл и ход движения. Определив для уравнения Гамильтона — Якоби $H=E$ полный интеграл (120), мы получим согласно правилу п. 38 общее решение канонической системы, если, определив значения $W_h$ по формулам (125), подставим полный интеграл в уравнения ( ${74}_a$ ) п. 38 , определяющие траекторию, и в уравнение (746), определяющее закон движения по этой траектории. Таким образом, принимая во внимание выражение (123′) для величины ${\pi }_n$ и

дифференцируя под знаком интеграла по каждому ${\pi }_j$ (при $j=$ $=1,2,\dots ,n-1$ ) и по $E$, мы придем к окончательным уравнениям
$$\begin{array}{c}{x}_j=\int \frac{A_j}{{\chi }_j}d{q}_j-\int \frac{A_n}{{\chi }_n}d{q}_n(j=1,2,\dots ,n),\\ t-t_0=\sum _{h=1}^n\int \frac{A_h{B}_h}{{\chi }_h}d{q}_h.\end{array}$$

Но если мы хотим быстро составить себе представление о ходе движения, то вместо этих уравнений удобно обратиться к уравнениям (124). Так как на основании характеристической формы (121), принятой для $T$, моменты $p_h$ связаны с соответствующими $\dot{q}$ равенствами
$$p_h=\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_h}=b{A}_h{\dot{q}}_h(h=1,2,\dots ,n),$$

и, кроме того, тождественны $c^{\ast }{W}_h^{\prime }$, то мы видим, что уравнения (124) можно написать в одном из двух видов
$$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\frac{p_h^2}{A_h}-U_h-E{B}_h={\pi }_h,\\ \frac{1}{2}{b}^2{A}_h{\dot{q}}_h^2-U_h-E{B}_h={\pi }_h,\\ (h=1,2,\dots ,n).\end{array}$$

Так как уравнения ( ${124}^{\prime }$ ), помимо произвольных постоянных, содержат аргументы $p,q$, то их можно рассматривать как $n$ интегралов канонических уравнений, между тем как уравнения ( ${124}^{\prime \prime }$ ) вместе с $q$ содержат $\dot{q}$ и потому представляют собой $n$ первых квадратичных интегралов для первоначальных динамических уравнений Лагранжа, эквивалентных канонической системе.

При качественном изучении движения более удобными оказываются уравнения ( ${124}^{\prime \prime }$ ), каждое из которых содержит только одну из переменных $q$ и представляет само по себе дифференциальное уравнение первого порядка уже неоднократно встречавшегося типа
$${\dot{q}}^2=\mathrm{\Phi }(q).$$

Поэтому на основании результатов исследования § 6 гл. I можно заключить, что каждая из переменных $q$ представляет собой периодическую функцию времени или асимптотически приближается к предельному значению. Чтобы точнее определить характер движения, значительно целесообразнее было бы изучить изменение параметров $q$ при помощи уравнений ( ${124}^{\prime \prime })$, рассматривая их как функции не

только от $t$, но также и от $n-1$ аргументов $x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}$; однако мы не будем останавливаться на этом ${}^1$ ).
64. Случай интегрируемости Штеккеля. Штеккель поставил себе задачу указать другие классы динамических задач, к которым можно было бы применить метод разделе:ия переменных ${}^2$ ); в частности, он искал все динамические задачи, интегрируемые этим методом, ограничиваясь предположением, что живая сила, как и в случае Лиувилля, является квадратичной формой от ортогонального вида. Таким образом, он пришел к важному обобщению результатов предыдущих пунктов; не воспроизводя соображений, какими руководствовался Штеккель в его исследовании, мы ограничимся здесь лишь характеристикой динамических задач, найденных им таким способом.

Рассмотрим $n^2$ функций ${\phi }_{vh}\left(q_h\right)$ при $v,h=1,2,\dots ,n$, таких, что каждая из них зависит только от одной переменной $q_h$, индекс которой совпадает со вторым индексом рассматриваемой функции, и предположим, что определитель
$$D=\mid {\phi }_{vh}\Vert (h_{1}u=1,2,\dots ,n)$$

не равен тождественно нулю. Если обозначим через ${\psi }_h$ при $h=1,2,\dots ,n$ величины, взаимные элементам какой-нибудь строки определителя $D$, например $n$-ой, то увидим на основании равенства
$$\sum _{h=1}^n{\phi }_{nh}{}^{\prime }h=1,$$

что ${\psi }_h$ не все равны нулю. Условившись заранее ограничить изменение $q$ некоторой областью, в которой функции ${\psi }_h$ остаются отличными от нуля, рассмотрим динамическую, консервативную систему, обладающую живой силой и потенциалом вида
$$T=\frac{1}{2}\sum _{h=1}^n\frac{{\dot{q}}_h^2}{{\psi }_h},U=\sum _{h=1}^n{\psi }_n{U}_h,$$

где каждая из функций $U_h$, как и в п. 62 , зависит только от $q_h$ и, само собой разумеется, является конечной и правильной в рассматриваемой области.
Выражая в $T$ количества $q$ через $p_h$, будем иметь (п. 5)
$$(T)=\frac{1}{2}\sum _{h=1}^n{\psi }_h{p}_h^2,$$
в силу чего уравнение Гамильтона — Якоби $H=E$, полный интеграл которого $W$ в форме (120) требуется определить, принимает вид
$$\sum _{h=1}^n{\psi }_h(\frac{1}{2}{p}_h^2-U_h)=E(p_h=\frac{\partial W}{\partial q_h};h=1,2,\dots ,n).$$

Теперь легко убедиться, что для того, чтобы получить полный интеграл этого уравнения, достаточно определить $W_h$ из $n$ дифференциальных уравнений первого порядка.
$$\frac{1}{2}{W}_h^{\prime 2}=\sum _{u=1}^{n-1}{\pi }_u{\phi }_{uh}+E{\phi }_{nh}+U_h(h=1,2,\dots ,n),$$

где ${\pi }_1,\dots ,{\pi }_{n-1}$ обозначают $n-1$ произвольных постоянных.
В самом деле, функция $W=\mathrm{\Sigma }{W}_h$ удовлетворяет уравнению (128), как это непосредственно можно увидеть, если обратить внимание на равенства $p_h=W_h^{\prime }$ и уравнение (129). Далее, чтобы показать, что $W$ есть полный интеграл, достаточно заметить, что при качественных ограничениях, аналогичных ограничениям п. 62 , можно принять, что всякое $W_h^{\prime }$ в рассматриваемой области отлично от нуля; после этого увидим, что определитель
\[

abla^{\prime}=\left\|\frac{\partial^{2} W}{\partial q_{h} \partial \pi_{j}}\right\|=\left\|\frac{\partial W_{h}^{\prime}}{\partial \pi_{j}}\right\| \quad(h, j=1,2, \ldots, n-1),
\]

так как он приводится к виду

не может тождественно равняться нулю.
Как мы уже знаем (п. 38), общее решение канонической системы мы найдём из равенств ( ${74}_{\mathrm{a}})$, ( ${74}_6$ ); что касается аналитической природы переменных $q$, как функций от $t$ (и от $n-1$ постоянных $x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}$ ), то имеют место соображения, аналогичные тем, которые были приведены в предыдущем пункте. Здесь, как и раньше, успех применения способа разделения переменных тесно связан с существованием $n$ квадратичных интегралов относительно $\dot{q}$ для лагранжевых уравнений движения; эти интегралы определяются здесь уравнениями (129), в которые вместо $W_h^{\prime }=p_h$ должны быть подставлены
$$\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_h}=\frac{{\dot{q}}_h}{\psi h}(h=1,2,\dots ,n).$$

Так как рассматриваемый здесь случай, как было сказано вначале, представляет собой обобщение случая Лиувилля, то целесообразно указать, какие значения должны быть взяты для функций १. $\left(q_h\right)$, чтобы снова вернуться к динамической задаче Лиувилля.

Если ограничиться решением этой задачи в предположении, что все $A_h$ п. 62 равны 1 , то достаточно взять ${\phi }_{nh}$ соответственно равными $B_h$, а остальные $\phi$ постоянными, причем все алгебраические дополнения функций ${\phi }_{nh}=B_h$, т. е. функций ${\psi }_n$, должны быть равны 1 , например

Если в этом определителе умножим элементы первого, второго, $\dots ,n$-го столбца соответственно на $1/A_1,1/A_2,\dots ,1/A_n$, то снова вернемся к случаю (только формально более общему), который мы изучали в пп. $62,63$.
65. Добавим еще, что сам Штеккель и другие указали дальнейшие случаи интегрируемости способом разделения переменных и что даже был установлен критерий классификации всех типов возможных динамических задач, интегрируемых этим методом ${}^1$ ). Действительное определение этих типов впервые и исчерпывающим образом было выполнено при $n=2$ Mорера ${}^2$ ), а позднее было дополнено для $n=3$ Даль-Аква (Dall’Acqua) ${}^3$ ).

Было замечено также ${}^4$ ), что если для консервативной динамической системы с характеристической функцией $H=(T)-U$ задача может быть сведена к квадратурам, то это справедливо и для случая, когда $(T)=E$, т. е. для соответствующей задачи о движении при отсутствии сил (движение по инерции).

C другой стороны, то обстоятельство, что в указанных выше случаях Лиувилля и Штеккеля приложимость метода разделения переменных связывается с существованием квадратичных относительно $q$ первых интегралов, заставляло изучать условия, при которых динамическая задача допускает первые интегралы указанного выше вида. Известные типы таких задач были указаны, кроме Штеккеля, Ди Пирро ${}^5$ ) и Пэнлеве ${}^6$ ). И для этих динамических задач,

допускающих квадратичные относительно $\dot{q}$ интегралы, также имеет место замечание, что эти интегралы продолжают существовать даже и в том случае, когда силы отсутствуют; с другой стороны, возможна еще систематическая классификация, из которой следует, что, наверное, существуют другие случаи, помимо открытых до сих пор ${}^1$ ); однако задача полного определения таких случаев представляет, по-видимому, большие трудности *).