12. Общие соображения. Предположим, что на твердое тело $S$ наложены такие связи и на него действуют такие силы, что оно движется параллельно некоторой неподвижной плоскости $\pi$. Этим мы хотим сказать, что всякое плоское сечение тела $S$, которое вначале параллельно $\pi$, должно оставаться таким же во все время движения. В силу предположенной твердости тела $S$ очевидно, что в таком случае движение твердого тела будет однозначно определено движением какого-нибудь одного из этих плоских сечений. Следовательно, достаточно рассмотреть движение одного из них, например того, которое содержит центр тяжести $G$ тела $S$; при этом ничто не мешает принять за плоскость $\pi$ неподвижную плоскость, в которой движется это плоское сечение, содержащее центр тяжести.

Таким образом, мы видим, что тело $S$ будет обладать тремя степенями свободы, так как за параметры, определяющие положение тела $S$, можно принять координаты $\xi_{0}, \eta_{0}$ центра тяжести $G$ относительно неподвижных осей $Q \xi \eta$ в плоскости $\pi$ и угол $\theta$, который ориентированная прямая, неизменно связанная с $S$ и лежащая в плоскости $\pi$, образует, например, с осью $\xi$.

Естественно, что для того, чтобы движение твердого тела $S$ имело только что описанный характер, действующе силы и связи, наложенные на тело $S$, а также структура самого тела должны удовлетворять соответствующим условиям. В следующем пункте будет показано, что для того, чтобы твердое тело $S$, предполагаемое вначале находящимся в движении, параллельном неподвижной плоскости $\pi$, продолжало двигаться параллельно этой плоскости, достаточно, чтобы:
a) результирующая внешних сил (прямо приложенных и реакций связей) была параллельна плоскости $\pi$ и результирующий момент тех же сил относительно произвольной точки плоскости $\pi$ был перпендикулярен к этой плоскости;
б) перпендикуляр, проведенный в начальный момент $к$ плоскости $\pi$ из центра тяжесті $G$, был для $S$ главной осью инерции.

Отметим теперь же, что это второе условие само собой выполняется, если речь идет не о твердом теле в собственном смысле, а о неизменяемой материальной плоской системе, целиком лежащей в плоскости $\pi$, или, как мы будем говорить, о плоском (твердом) диске. Действительно, если в этом случае обозначим через $\zeta$ третью ось системы отсчета $Q \xi \eta$, перпендикулярную к $\pi$, то третьи координаты всех материальных точек системы $S$ будут равны нулю, и, следовательно, обратятся в нуль два произведения инерции
\[
\sum_{i} m_{i} \xi_{i} \zeta_{i}, \quad \sum_{i} m_{i} \eta_{i} \zeta_{i} .
\]

В последующем изложении этого параграфа мы будем заниматься действительным определением движения, допуская прямо, что условия а) и б) выполнены для материальной системы, а для удобства представления и изложения мы будем всюду говорить о плоском диске, представляя себе вместо заданной системы $S$ диск, если система и не является таким диском. Центр тяжести $G$ этого диска мы будем считать совпадающим с центром тяжести системы $S$, массу его $m$ — равной массе системы $S$ и главный центральный момент инерции $C$ относительно той оси, неизменно связанной с телом и проходящей через центр тяжести $O$, которая, по предположению, вначале перпендикулярна к $\pi$, — равным $m \delta^{2}$ (где $\delta$ есть радиус инерции).
13. ДИНАмическиЕ и стРуктурныЕ условия плоского движЕния. Покажем теперь, почему условия а) и б), приведенные в предыдущем пункте, достаточны для обеспечения того, чтобы движение твердого тела постоянно оставалось параллельным неподвижной плоскости $\pi$, если начальное состояние движения было параллельно $\pi$.

С этой целью возьмем основные уравнения (1) и (2′), принимая за центр приведения моментов центр тяжести $G$ системы и относя эти уравнения к системе координат $Q \xi \eta$, плоскость которой $\zeta=0$, как и в предыдущем пункте, совпадает с плоскостью $\pi$, проходящей через центр тяжести $G$. В силу предположения а) $R_{\xi}, M_{\xi}, M_{\eta}$ постоянно равны нулю, так что если спроектируем первое основное уравнение на ось $\zeta$, а второе — на оси $\xi$ и $\eta$, то получим три скалярных уравнения
\[
\frac{d Q_{5}}{d t}=0, \quad \frac{d K_{\xi}}{d t}=0, \quad \frac{d K_{n}}{d t}=0,
\]

которые тотчас же дают
\[
Q_{\zeta}=\text { const }, K_{\xi}=\text { const }, K_{\eta}=\text { const. }
\]

Если теперь примем во внимание предположение б) и допустим, что в начальный момент движение параллельно плоскости $\pi$, то. легко убедимся, что все постоянные в правых частях равенств (15): равны нулю. Чтобы доказать это, достаточно убедиться, что они.

равны нулю в начале движения; для этой цели начнем с замечания, что из того предположения, что начальное движение должно происходить в плоскости, параллельной плоскости $\zeta=0$, следует, что центр тяжести $G$ движется параллельно этой плоскости, так что в начальный момент (и, следовательно, в течение всего движения) Q. безусловно будет равно нулю. Что же касается центрального результирующего момента количеств движения $K$, то он связан с угловой скоростью ш посредством аффинора инерции, а в силу предположения б) направление оси $\zeta$, перпендикулярной к $\pi$ и в начале движения являющейся главной осью аффинора инерции (главной осью инерции для твердого тела), будет также и направлением вектора $\omega$, гак как этот вектор вначале направлен по оси ל; то же самое будет иметь место и для вектора $\boldsymbol{K}$. Поэтому в начале движения (а следовательно, и во все время движения) обе проекции $K_{\bar{\xi}}, K_{\eta}$ вектора $\boldsymbol{K}$ обращаются в нуль.

Остается только доказать, что из постоянного равенства нулю величин $Q_{v}, K_{\xi}, K_{\eta}$ следует, что движение будет происходить всегда в плоскости, параллельной плоскости $\pi$, если только оно было таковым вначале; из уравнения $Q_{p}=0$ и из известного тождества $\boldsymbol{Q}=m \boldsymbol{v}_{G}$ заключаем, что центр тяжести движется в плоскости, параллельной $\pi$. Теперь достаточно убедиться, что та главная ось инерции твердого тела, которую мы предполагаем вначале перпендикулярной к этой плоскости, остается перпендикулярной к ней во все время движения.

Для этой цели согласно с тем, что было сказано в общем случае в п. 3, введем сначала систему отсчета, неизменно связанную с телом, и воспользуемся в этом частном случае известными классическими уравнениями (Эинера), большую важность которых мы покажем в следующей главе.

За такую систему, неизменно связанную с телом, возьмем систему осей $G x y z$, в которой ось $G z$ совпадает с главной осью инерции, вначале перпендикулярной к плоскости $\pi$ (и ориентированной так же, как $Q_{0}$ ), а оси $G x$ и $G y$ представляют собой две другие главные оси инерции, проходящие через $G$ (или две любые другие оси, перпендикулярные между собон, если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения относительно $G z$ ). Проекции результирующего момента количеств движения на оси системы Gxyz определяются (гл. IV, п. 16) равенствами
\[
K_{x}=A p, \quad K_{y}=B q, \quad K_{z}=C r .
\]

С другой стороны, если обозначим через $x$ неизменный в пространстве единичный вектор неподвижной оси $Q_{\%}^{\%}$, перпендикулярный к $\pi$, то результирующий момент внешних сил относительно центра тяжести вследствие того, что компоненты $M_{\xi}, M_{\eta}$ постоянно равны нулю, можно представить в виде $\boldsymbol{M}=\boldsymbol{M}, \boldsymbol{x}$; поэтому второе основное уравнение, отнесенное к осям, неизменно связанным с телом, т. е. уравнение $\left(4^{\prime}\right)$ п. 3 , принимает вид
\[
\dot{K}+\omega \times K=M_{\varphi} \boldsymbol{x} .
\]

После проектирования на подвижные оси (неизменно связанные с телом) это уравнение даст для неизвестных проекций $p, q, r$ вектора () три скалярных уравнения (уравнения Эйлера):
\[
\left.\begin{array}{l}
A \dot{p}-(B-C) q r=M_{r \gamma_{1}}, \\
B \dot{q}-(C-A) r p=M_{r \gamma_{2}}, \\
C \dot{r}-(A-B) p q=M_{\curlyvee \gamma_{3}},
\end{array}\right\}
\]

где через $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ обозначены проекции вектора $\boldsymbol{x}$ на подвижные оси, или, что одно и то же, направляющие косинусы оси Q५ относительно системы Gxyz.

Величины- $\gamma$ входят в задачу как вспомогательные неизвестные и прежде всего в силу их геометрического значения связаны конечным соотношением
\[
x^{2}=\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1 \text {. }
\]

C другой стороны, неизменяемость в пространстве единичного вектора \% выражается дифференциальным условием $d x / d t=0$ или же, гри отнесении к подвижным осям (т. I, гл. IV, п. 10), соотношением
\[
\dot{x}+\omega \times x=0,
\]

которое после проектирования на оси $G x y z$ приводит к уравнениям (Пуассона):
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{\gamma}_{1}=\gamma_{2} r-\gamma_{3} q \\
\dot{\gamma_{2}}=\gamma_{3} p-\gamma_{1} r \\
\dot{\gamma_{3}}=\gamma_{1} q-\gamma_{2} p .
\end{array}\right\}
\]

Шесть дифференциальных уравнений (17), (19) вместе с конечным соотношением (18) определяют закон, по которому изменяется в зависимости от времени вектор угловой скорости $\omega$ внутри тела н, следовательно, результирующий момент $K$ количеств движения. Мы знаем, что по теореме о единственности интегралов систем дифференциальных уравнений это изменение с временем однозначно определяется начальными значениями, которые при единственном условии (18) можно произвольно приписывать неизвестным функциям $p, q, r$, $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$.

Далее, состояние движения, параллельное плоскости $\pi$, которое мь: предполагаем у тела вначале, включает в себя, очевидно, отно-

сительно подвижных осей, произвольное начальное значение $r_{0}$ для $r$ и начальные значения
\[
p=q=\gamma_{1}=\gamma_{2}=0, \quad \gamma_{3}=1
\]

для остальных пяти функций.
Если мы предположим теперь, что равенства (20) сохраняют свое значение не только в начальный момент, но также и для всякого другого значения времени, то сейчас же увидим, что равенства (17), (19) будут выполняться тождественно, за исключением третьего из (17), которое принимает вид
\[
C \dot{r}=M_{\zeta}
\]

и, начиная с начального значения $r_{0}$, определяет $r$ в функции от времени.

По упомянутой уже теореме о единственности, это и будет решением уравнений (17), (19), соответствующим заданному начальному состоянию движения, параллельного плоскости $\pi$; из того, что во все время движения $\gamma_{1}=\gamma_{2}=0$, следует, что главная ось инерции $G z$ постоянно сохраняет направление неподвижной оси $Q \zeta$, перпендикулярной к плоскости $\pi$; в согласии с тем обстоятельством, что центр тяжести движется в плоскости $\pi$, это приводит, как уже было отмечено, к заключению, что движение твердого тела оказывается параллельным этой плоскости.
14. ОсновныЕ уРавнения плоского движЕния. Предположим теперь, что структурные и динамические условия, при которых движение твердого тела оказывается параллельным неподвижной плоскости, выполнены; в этом случае, как мы видели в п. 12 , можно прямо обратиться к изучению движения твердого диска $S$ в его плоскости $\pi$.

Выбрав в плоскости $\pi$ две неподвижные оси, примем согласно с условиями п. 12 за параметры, определяющие положение диска, координаты $\xi_{0}$, $\eta_{0}$ центра тяжести $G$ и угол $\theta$, составленный с осью $Q \xi$ какой-нибудь ориентированной прямой, неизменно связанной с $S$, и возьмем снова основные уравнения (1), (2′), принимая за центр приведения моментов центр тяжести. Уравнение (1), так как согласно предположению векторы $\boldsymbol{Q}$ и $\boldsymbol{R}$ оба параллельны $\pi$, равносильно, в этой плоскости, двум скалярным уравнениям, которые получаются проектированием его на две оси, $\xi$ и $\eta$, и на основании тождества $\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{m} \boldsymbol{v}_{G}$ сводятся к следующим:
\[
m \ddot{\xi}_{0}=R_{\xi}, \quad m \ddot{\eta}_{0}=R_{\eta} .
\]

Аналогично, на основании предположения, что $\boldsymbol{K}$ и $\boldsymbol{M}$ перпендикулярны к плоскости $\pi$, уравнение ( $2^{\prime}$ ) будет равносильно при рассмотрении плоского движения скалярному уравнению, которое полу-

чится проектированием (2) на третью ось системы.
Чтобы придать явный вид этому уравнению, положим $\omega=\dot{\theta}$, в силу чего $\omega$ означает для диска $S$ угловую скорость уже не только по абсолютной величине, как это было вначале, но и с надлежащим знаком, а именно: в любой момент она будет положительной или отрицательной в зависимости от того, вращается ли диск в рассматриваемый момент в направлении от $Q \xi$ к $Q \eta$ (через прямой угол) или в противоположном направлении. Проекция на ось $Q \zeta$ результирующего момента количеств движения $\boldsymbol{K}$ относительно центра тяжести определится тогда (гл. IV, п. 16) равенством $K_{\varphi}=C \omega=m \delta^{2} \omega$, так что искомое скалярное уравнение примет вид
\[
m \hat{\delta}^{2} \dot{\omega}=M_{\zeta} .
\]

Уравнения (21) (плоского движения центра тяжести) и уравнение (22) (уравнение моментов относительно центра тяжести) представляют собой основные уравнения плоского движения диска и, что вполне естественно, совпадают с уравнениями Лагранжа относительно параметров $\xi_{0}, \eta_{0}, \theta$, которые получились бы на основании известного выражения для живой силы (гл. V, п. 49)
\[
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{\xi}_{0}^{2}+\dot{\eta}_{0}^{2}+\delta^{2} \dot{\theta}^{2}\right) .
\]

Если вместо неподвижных осей $Q \xi \eta$ мы отнесли бы диск- $S$ (как это уже делалось в предыдущем пункте) к подвижным осям $G x y$, неизменно связанным с $S$, то уравнение (22) осталось бы, очевидно, неизменным. Что же касается уравнений (21), то надо было бы их преобразовать; но мы достигнем результата быстрее, если спроектируем на подвижные оси первое основное уравнение, отнесенное к ним, т. е. уравнение
\[
\dot{\boldsymbol{Q}}+\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{R} .
\]

Если обозначим через $v_{x}, v_{y}$ проекции на оси $G x y$ скорости центра тяжести, то аналогичные проекции вектора $Q$ будут $m v_{\boldsymbol{w}}$ $m v_{y}$, и мы придем, таким образом, к уравнениям
\[
m\left(\dot{v}_{x}-\omega v_{y}\right)=R_{x}, \quad m\left(\dot{v}_{y}+\omega v_{x}\right)=R_{y^{\prime}} \cdot
\]

Отметим еще, что все это сохраняет свое значение в предположении, что мы принимаем за центр приведения моментов центр тяжести. Если же, наоборот, центр моментов берется в произвольной точке $O$ плоскости $\pi$, причем закон движения точки $O$ должен быть задан посредством выражения ее координат $\xi^{\prime}$, $\eta^{\prime}$ в функции времени, то $K_{\text {; }}$ нужно будет определить на основании известного тождества
\[
K=K_{G}+\overrightarrow{O G} \times Q .
\]

Таким образом, получим
\[
K_{\varphi}=m\left\{\delta^{2} \omega+\left(\xi_{0}-\xi^{\prime}\right) \dot{\eta}_{0}-\left(\eta_{0}-\eta^{\prime}\right) \dot{\xi}_{0}\right\} .
\]
ния скольжения мы знаем уже (гл. I, § 8), что при движении оно направлено прямо противоположно скорости точки соприкосновения между телом и опорой и имеет максимальную величину $f N$, где $f$ обозначает коэффициент трения, а $N$-абсолютную величину нормальной реакции опоры.

Что же касается трения качения, то мы уже видели в Статике (т. I, гл. XIII, § 6), что его можно схематически представить некоторой парой с моментом $\mathbf{\Gamma}$, у которого следует отличать касательную составляющую $\boldsymbol{\Gamma}_{\tau}$, или момент трения качения, и нормальную $\boldsymbol{\Gamma}_{n}$, или момент трения верчения; в статическом случае всегда принимают, что величины этих двух моментов не могут превосходить соответственно двух максимумов $h_{1} N, h_{2} N$, где $h_{1}$ и $h_{2}$ обозначают соответствующие коэффициенты трения.

Далее, в динамическом случае допускается, как дальнейший эмпирический закон, что величина каждого из двух моментов $\mathbf{\Gamma}_{\tau}, \mathbf{\Gamma}_{n}$ сохраняет в течение всего времени движения свое максимальное значение, а направления этих моментов таковы, что сопротивление вращению твердого тела в любой момент оказывается наиболее эффективным.

Более точно это означает, что ориентированное направление $\boldsymbol{\Gamma}_{\tau}$, остающееся а priori неопределенным, когда угловая скорость $\omega$ равна нулю, в любой момент, когда $\omega
eq 0$, будет прямо противоположно направлению касательной составляющей вектора $\omega$, в то время как составляющая $\boldsymbol{\Gamma}_{n}$, у которой при $\boldsymbol{\omega}=0$ остается неопределенной только сторона обращения, при $\omega
eq 0$ будет направлена противоположно нормальной составляющей вектора $\boldsymbol{\omega}$.

Например, в случае цилиндра, который, будучи опертым на шероховатую плоскость вдоль какой-нибудь своей образующей $g$, может вращаться (мгновенно) вокруг нее и скользить в направлении, перпендикулярном к ней, трение верчения отсутствует, трение же качения имеет момент $\boldsymbol{\Gamma}_{\tau}$, направленный по образующей $g$ в сторону, обратную вращению, когда оно не равно нулю.