71. Введение кеплеровых переменных в возмущенном движении. Предположим, как в п. 27 гл. III, что точка $P$, помимо преобладающего действия ньютонианского притяжения неподвижным центром $O$, подвергается действию некоторой возмущающей силы, являющейся производной от единичного потенциала $V$. В этом случае, принимая для простоты массу точки $P$ равной 1 , мы должны

будем определить движение канонической системы с характеристической функцией
\[
H=H_{0}-V,
\]

где $H_{0}$ обозначает характеристическую функцию, которая входит в уравнение (130) и соответствует невозмущенному движению, а $V$ есть так называемая пертурбационная функция.

В качестве неизвестных мы прежде всего могли бы взять здесь те переменные, которые определяют состояние движения (положение и скорость) точки $P$, т. е. переменные $x, y, z$ и $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ или переменные $p_{\rho}, p_{\sigma}, p_{\varphi}$ и $\rho, \sigma, \varphi$, соответствующие полярным координатам.

Но в этой задаче лучше ввести согласно указаниям в конце п. 68 кеплеровы переменные (138), относительно которых можно предположить, что $L, G, \theta, g, \theta$ изменяются, оставаясь близкими к тем постоянным значениям, которые они имели бы в невозмущенном движении (кеплеровом), а изменение $l$, которое в этом последнем движении было бы пропорционально $t-t_{0}$, будет немного отличаться от равномерного изменения.

Так как преобразование между первоначальными переменными и переменными (138) является вполне каноническим, то преобразованные уравнения будут также каноническими, а новая характеристическая функция получится просто путем выражения первоначальной функции $H$ через кеплеровы переменные. Так как на основании формул (140) имеем
\[
H=-\frac{k^{2}}{2 L^{2}}-V,
\]

то преобразованные уравнения принимают вид
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d L}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial l}=\frac{\partial V}{\partial l}, \quad \frac{d G}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial g}=\frac{\partial V}{\partial g}, \\
\frac{d \Theta}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial \theta}=\frac{\partial V}{\partial \theta} \\
\frac{d l}{d t}=\frac{\partial H}{\partial L}=n-\frac{d V}{d L}, \quad \frac{d g}{d t}=\frac{\partial H}{\partial G}=-\frac{\partial V}{\partial G}, \\
\frac{d \theta}{d t}=\frac{\partial H}{\partial \theta}=-\frac{\partial V}{\partial \theta} .
\end{array}\right\}
\]
72. Возмущения первого порядка. До тех пор пока не делается никакого предположения о функции $V$, преобразованная система (142) не представляет, конечно, никакого преимущества по сравнению c первоначальной; дело, однако, будет обстоять иначе, если, как это предполагается с самого начала, слагаемое $V$ есть простая пертурбационная функция, т. е., по существу, остается малой по сравнению с первым слагаемым $H_{0}$. Это, в частности, будет иметь место, если отношение $V ; H_{0}$ можно рассматривать как количество первого порядка,

например, если $V$ будет вида $-\varepsilon H_{1}$, где функция $H_{1}$ сравнима с $H_{0}$, а $\varepsilon$ есть очень малая численная постоянная. $\mathrm{C}$ обстоятельствами такого рода мы встречаемся в случае планетной системы, когда, фиксируя внимание на некоторой планете $P$, рассматриваем Солнце как центральное тело, так что потенциал $V$ происходит от притяжения других планет. Так как взаимные расстояния сравнимы, а масса Солнца, наоборот, значительно больше массы планеты, то отношение $V: H_{0}$ в этом случае будет того же порядка величины, что и очень малое отношение между массой возмущающих планет и массой Солнца.

Обращаясь теперь к канонической системе (142), заметим, что первое слагаемое $H_{0}$ характеристической функции $H$ зависит исключительно от аргумента $L$. Чтобы выяснить, какую выгоду можно извлечь из этого обстоятельства в отношении определения возмущенного движения, обобщим постановку задачи, обращаясь к канонической системе с $n$ степенями свободы и с характеристической функцией $H=H_{0}-V$; предполагая функцию $V$ бесконечно малой по сравнению с $\mathrm{H}_{0}$, допустим еще, что это первое слагаемое зависит только от переменных одного из двух рядов, например только от $p$. Речь, следовательно, будет идти о системе вида
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}}, \quad \frac{\dot{\partial} q_{i}}{\partial t}=\frac{\partial\left(H_{0}-V\right)}{\partial p_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

частным случаем которой являются уравнения (142).
Для невозмущенного движения, когда нет возмущающего воздействия пертурбационной функции $V$, законы движения определяются равенствами
\[
p_{i}=\bar{p}_{i}, \quad q_{i}=\bar{q}_{i}=n_{i} t+q_{i}^{0} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где $\bar{p}_{i}, \bar{q}_{i}^{0}$ суть $2 n$ произвольных постоянных и через $n_{i}$ для краткости обозначены постоянные
\[
\left(\frac{\partial H_{0}}{\partial p_{i}}\right)_{p=\bar{p}} \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]

Поэтому в возмущенном движении, если $V$ бесконечно мало по сравнению с $H_{0}$, величины $p_{i}, q_{i}$ можно представить в виде
\[
p_{i}=\overline{p_{i}}+\delta p_{i}, \quad q_{i}=\overline{q_{i}}+\delta q_{i} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где величины $\delta p_{i}, \delta q_{i}$ представляют функции от $t$, бесконечно малые, как и функция $V$, и называются возмущениями или неравенствами первого порядка. Для определения их подставим предыдущие выражения в уравнения ( $142^{\prime}$ ) и примем во внимание, что $\overline{p_{i}}, \overline{q_{i}}$, по определению, будут удовлетворять уравнениям, которые получатся из уравнений (142′), если положить в них $V=0$, и что, так как $V$ уже является бесконечно малой, функция $V(p \mid q)$ отличается от $V(\bar{p} \mid \vec{q})$ только на бесконечно малые порядка выше первого, что будет

относиться также и к соответствующим производным. Вводя эти приближения, получим для определения $\delta p_{i}, \delta q_{i}$ уравнения в вариациях (ср. гл. IV, п. 19)
\[
\frac{d \hat{\delta} p_{i}}{d t}=\frac{\overline{\partial V}}{\partial q_{i}}, \quad \frac{d \hat{\delta} q_{i}}{d t}=-\frac{\overline{\partial V}}{\partial p_{i}} \quad(i=1,2, \ldots, n),
\]

где черта сверху стоит для указания, что в производных от $V$ вместо $p, q$ надо подставить их невозмущенные значения $\bar{p}, \bar{q}$.

Так как теперь правые части будут известными функциями от одного только независимого переменного $t$, то мы будем иметь следующую основную теорему:

Если известно невозмущенное движение, то возмущения первого порядка определяются простыми квадратурами.
73. ВозмущЕния, пРоисходящиЕ от ПРитяжЕния тРЕтьим тЕлом. Предположим, что точка $P$, о которой идет речь, подвергается, помимо притяжения центра $O$, еще и притяжению третьего тела $P^{\prime}$, и постараемся учесть, как это делается в классической задаче трех тел, тот факт, что точки $O, P, P^{\prime}$ попарно взаимно притягивают друг друга. Для движения точки $P$ относительно точки $O$ по-прежнему будут иметь силу уравнения ( $142^{\prime}$ ), но в этом случае возмущающая функция $V$ будет зависеть не только от $P$, но также и от $P^{\prime}$; задача будет определена, как на это уже указывалось в пп. 47, 48, если к шести уравнениям относительного движения точки $P$ присоединить аналогичные уравнения для относительного движения точки $P^{\prime}$.

Однако, если будем иметь в виду значение возмущений первого порядка, в смысле, разъясненном в предыдущем пункте, то движение возмущающего тела $P^{\prime}$ можно рассматривать непосредственно как кеплерово, так как отклонения действительного движения от невозмущенного, которые сами по себе должны приниматься как отклонения первого порядка, могут прибавить к возмущениям точки $P$ только слагаемые более высокого порядка.

Если в качестве параметров, определяющих состояние движения (невозмущенного) точек $P, P^{\prime}$, принимаются соответствующие эллиптические канонические элементы

то функция возмущения $V$ в конце концов будет зависеть известным образом от $t$ через посредство только двух аргументов $\bar{l}=n\left(t-t_{0}\right)$, $\overline{l^{\prime}}=n^{\prime}\left(t-t_{0}^{\prime}\right)$, так что остальные десять элементов будут постоянными. То же будет иметь место и для частных производных от $V$, появляющихся в правых частях уравнений вида (143), которые определяют возмущения первого порядка $\delta L, \delta G, \ldots, \delta \theta$; поэтому,

обозначая через $f$ одно какое-нибудь из этих возмущений, мы можем сказать, что все эти уравнения будут иметь вид
\[
\frac{d f}{d t}=F\left(\bar{l}, \bar{l}^{\prime}\right) .
\]

Если мы примем во внимание, что переменные $\vec{l}, \overrightarrow{l^{\prime}}$ являются аномалиями и что если $\bar{l}$ или $\bar{l}^{\prime}$ возрастает на $2 \pi$, точка $P$ или $P^{\prime}$ снова занимает то же самое положение на соответствующей оскулирующей орбите, так что функция $V$ и, следовательно, функция $F$ должны оставаться неизменными, то увидим, что эта последняя функция должна быть периодической с периодом $2 \pi$ по отношению к каждому из своих аргументов.

Здесь важно исследовать, как такая периодичность функции $F$ отражается на характере возмущения $f$, определяемого равенством (144). Для этой цели достаточно использовать основное свойство периодических функций, обладающих производной (вообще говоря, непрерывной), заключающееся в возможности разложения их в ряд Фурье, абсолютно и равномерно сходящийся.

Принимая во внимание прежде всего периодичность функции относительно аргумента $\overline{l^{\prime}}$, можно написать
\[
F=[F]+\sum_{j=1}^{\infty}\left(\varphi_{j} \cos \overline{j l^{\prime}}+\psi_{j} \sin \overline{j l^{\prime}}\right),
\]

где
\[
[F]=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} F d \overline{l^{\prime}}
\]

представляет среднее значение $F$ относительно $\tilde{l^{\prime}}$ в интервале от 0 до $2 \pi$ и поэтому означает наравне с каждой из функций $\varphi_{j}$, $\psi_{j}$ некоторую функцию одного только аргумента $l$, периодическую с периодом $2 \pi$.

Если к обеим функциям $\varphi_{j}, \psi_{j}$ применить разложение в ряд Фурье и принять во внимание хорошо известные гониометрические тождества, то сумма в правой части равенства (145) преобразуется в двойную сумму членов типа
\[
a_{i j} \cos \left(\bar{i} \bar{l}+i \bar{l}^{\prime}\right)+b_{i j} \sin \left(\bar{i}+j \overline{l^{\prime}}\right),
\]

где $a_{i j}, b_{i j}$ суть постоянные, и индексы $i, j$ означают числа (положительные или отрицательные), второе из которых всегда отлично от нуля, как это видно из равенства (145).

Если мы будем придерживаться более общего предположения, что средние движения $n$ и $n^{\prime}$ несоизмеримы между собой, то будет исключена возможность, что бином in $+j n^{\prime}$ при каком угодно выборе целых чисел $i, j$ при $j
eq 0$ может обратиться в нуль. Поэтому, когда

над $F$ будет выполнена квадратура по $t$, которая на основании уравнения (144) дает возмущение $f$, суммирование, появляющееся в выражении (145) для $F$, приводит к двойной сумме членов вида
\[
\frac{a_{i j}}{i n+j n^{\prime}} \sin \left(\overline{i l}+j \overline{l^{\prime}}\right)-\frac{b_{i j}}{i n+j n^{\prime}} \cos \left(i \overline{i l}+j \overline{l^{\prime}}\right),
\]

которые составят еще столько периодических функций от $\bar{l}$ и $\bar{l}^{\prime}$, сколько имеется периодов, отличных один от другого.

Таким образом, если разложим в ряд Фурье первый член $[F]$ в правой части равенства (145), то придем к выражению вида
\[
[F]=[[F]]+\sum_{i=1}^{\infty}\left(a_{i} \cos i l+b_{i} \sin \bar{i}\right),
\]

где $[[F]]$ и $a_{i}, b_{i}$ обозначают постоянные, причем $[[F]]$ есть среднее значение $[F]$ относительно $\vec{l}$ в интервале от 0 до $2 \pi$, т. е., на основании равенства (146),
\[
[[F]]=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}[F] d \bar{l}=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int_{0}^{2 \pi} d \bar{l} \int_{0}^{2 \pi} F d \overline{l^{\prime}} .
\]

Интегрируя почленно по $t$ разложение (149) функции $[F]$, заключаем, что возмущение $f$ складывается из двойной суммы членов вида (148), суммы функций, тоже периодических относительно времени,
\[
\frac{a_{i}}{i n} \sin i \bar{l}-\frac{b_{i}}{i n} \cos \bar{i} \quad(i>0)
\]

и непериодического члена
\[
\text { [[F] } t .
\]

Слагаемые вида (148), (150), (151) называются неравенствами, так как в результате наложения их друг на друга они определяют возмущение; точнее, члены тригонометрического вида (148), (150) называются периодическими неравенствами, а член (151), который с течением времени изменяется всегда в одном и том же смысле и поэтому в конце концов превосходит остальные, называется вековым неравенством.

Относительно периодических неравенств достаточно заметить, что для любого из слагаемых (148) период определяется выражением $2 \pi /\left(i n+j n^{\prime}\right)$, чтобы понять, как в численной теории возмущений представятся в виде аномалий так называемые случаи квазисоизмеримости между средними движениями, т. е. случаи, в которых отношение $n / n^{\prime}$ приблизительно равно дроби с малыми числителем и знаменателем. Действительно, в этом предположении среди первых членов разложения возмущения, т. е. как раз среди тех членов, которые

надо учитывать в численных выкладках, входят неравенства с очень большим периодом, и те, которые соответствуют наибольшим возмущениям, имеют очень маленький знаменатель ( $i n+j n^{\prime}$, если — $i / j$ есть величина, очень близкая к $n / n^{\prime}$ ).
74. Теорема гаусса. Из предшествующего следует; что вековое неравенство, относящееся к любому элементу, целиком происходит от среднего значения $[F]$; поэтому по отношению к этому неравенству все обстоит так, как если бы вместо потенциала $V$ возмущающей силы было подставлено его среднее значение
\[
[V]=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} V d \overline{l^{\prime}} .
\]

В случае задачи трех тел потенциал $V$, так как он происходит исключительно от ньютонианского притяжения тела $P^{\prime}$, можно написать в виде $m^{\prime} V_{1}$, где $m^{\prime}$ есть масса $P^{\prime}$ и $V_{1}$ обозначает потенциал, который мы имели бы при прочих равных условиях, если бы тело $P^{\prime}$ имело массу, равную единице.

Представим себе теперь, что вдоль эллиптической (невозмущенной) орбиты точки $P^{\prime}$ будет распределена вся масса $m^{\prime}$ точки $P^{\prime}$ с линейной плотностью, пропорциональной соответствующим временам пробега, т. е. таким образом, что на дуге, вдоль которой средняя аномалия $\bar{l}^{\prime}$ изменяется на $\bar{d} \bar{l}^{\prime}$, расположена масса
\[
\frac{m^{\prime} d \overline{l^{\prime}}}{2 \pi} .
\]

Так как для кеплерова движения имеет место закон площадей, то можно также сказать, что эта линейная плотность пропорциональна площадям секторов, имеющих вершину в центре притяжения.

Так как очевидно, что средняя величина [ $V$ ] будет не чем иным, как ньютоновым потенциалом определенного таким образом эллиптического материального кольца, то имеем следующую теорему Гаусса:

Вековые неравенства, происходящие от возмущающего тела $P^{\prime}$, можно оценивать, представляя себе, что вся масса возмущающего тела распределена вдоль невозмущенной орбиты этого тела пропорционально временам, пробега или, что то же самое, пропорционально площадям секторов, имеющих вершину в центре притяжения.
75. Неизменность больших осей. Другим важным следствием рассуждений п. 73 будет замечание, принадлежащее Лапласу, что в первом приближении эллиптический элемент $L=\sqrt{k a}$ e, a вместе с ния и большая ось орбиты не имеют векового неравенства.

Чтобы убедиться в этом, возьмем снова то из дифференциальных уравнений, которое определяет соответствующее возмущение $\delta L$, т. е. уравнение
\[
\frac{d \bar{\delta} L}{d t}=\frac{\bar{\partial}}{\partial l},
\]

и вспомним, что возможное вековое неравенство происходит исключительно от среднего значения правой части по отношению к $\overline{l^{\prime}}$ в интервале от 0 до $2 \pi$. Так как это среднее значение можно написать в виде
\[
\frac{\partial}{\partial \bar{l}}[\bar{V}]
\]

и $[\bar{V}]$ зависит только от $t$ через посредство $\vec{l}=n\left(t-t_{0}\right)$, то очевидно, что неопределенный интеграл относительно $t$ от только что написанной производной, по крайней мере с точностью до аддитивной постоянной, равен
\[
\frac{1}{n}[\bar{V}],
\]

и поэтому является периодической функцией времени.
Важно добавить еще, что так как для какой-нибудь функции $q$ одного только элемента $a$, каковым, например, является среднее движение $n=k^{1 / 2} / a^{3 / 2}$, возмущение $\delta q$ при том же порядке приближения определяется равенством
\[
\delta q=\frac{d q}{d a} \delta a,
\]

то отсутствие векового неравенства для элемента $a$ влечет за собой аналогичное свойство для всякой такой функции $q$ и, следовательно, в частности, для среднего движения.
76. Рассуждения, совершенно аналогичные рассуждениям п. 73, имеют место также и для задачи $n+1$ тел, когда любое тело $P$ подвергается, помимо преобладающего действия центрального тела $O$, возмущающим притяжениям остальных $n-1$ тел $P^{\prime}, P^{\prime \prime}, \ldots$ Для каждой из этих возмущающих сил имеется потенциал $V$ типа, рассмотренного в предыдущих пунктах. Если ограничиться, как и выше, первым приближением, то для дифференциального уравнения вида (143) будет иметь место распределительное свойство в том смысле, что возмущение любого эллиптического элемента точки $P$ будет суммою возмущений, вызванных каждым отдельным возмущающим телом. При этом предполагается, что каждое из этих тел, как и рассмотренное выше отдельное тело, имеет эллиптическое движение, которое оно имело бы, если бы отсутствовали все остальные тела, за исключением центрального.