СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ТЕОРИЯ

— раздел вероятностей теории, изучающий случайные процессы. Говорят, что на мн-ве Т вещественной оси задан случайный процесс, если каждому поставлена в соответствие случайная величина . Эта величина принимает вещественные, комплексные или векторные значения, в зависимости от чего процесс наз. вещественным, комплексным или векторным. Переменная t обычно интерпретируется как время. Область определения процесса Т является или последовательностью бесконечной в обе стороны), и тогда случайный процесс наз. процессом с дискретным временем, либо Т является конечным или бесконечным интервалом; тогда случайный процесс наз. процессом с непрерывным временем. Простейшим примером случайного процесса с дискретным временем есть случайное блуждание, описывающее положение частицы, совершающей за единицу времени случайные переходы, причем величина каждого шага не зависит от положения частицы. Примером случайного процесса с непрерывным временем является процесс Пуассона, описывающий число некоторых однородных событий, происшедших за время t (напр., число вызовов, поступивших на телефонную станцию). Важной характеристикой случайного процесса являются его частные распределения — совокупность -мерных распределений процесса дающих совместное распределение величин для всевозможных наборов из мн-ва Т. Для вещественного процесса -мерное распределение определяется функцией аргументов

(справа указана вероятность того, что одновременно выполнены неравенства ). Для практических приложений важно знать одномерные распределения процесса

В том случае, когда имеет абсолютно непрерывные распределения, -мерные распределения могут задаваться плотностями Этот способ применим и для векторных случайных процессов, но в этом случае будут векторами. Другими важными характеристиками процесса являются его моментные ф-ции

где M — матем. ожидание (предполагаем, что случайный процесс вещественный), или центрированные моментные ф-ции

(последние могут быть выражены и через нецентрированные моментные ф-ции). Наиболее часто используются первые две моментные ф-ции: среднее значение процесса и

корреляционная ф-ция процесса. Изучение случайных процессов, когда заданы лишь среднее значение и корреляционная ф-ция случайного процесса, составляют содержание корреляционной теории случайных процессов.

В зависимости от свойств частных распределений различают случайные процессы с независимыми значениями; случайные процессы с независимыми приращениями (частными примерами их являются: случайное блуждание, броуновское движение, процесс Пуассона); марковские процессы (этот класс, в частности, включает случайные процессы с независимыми приращениями); стационарные случайные процессы; гауссовские случайные процессы. К общим вопросам С. п. т. относится построение матем. моделей случайных процессов и изучение свойств их выборочных ф-ций. Во многих случаях эксперименты, в которых записываются выборочные ф-ции случайных процессов, повторить невозможно. Тогда возникает задача об определении свойств выборочных ф-ций по частным распределениям случайных процессов. По теореме Колмогорова, если для случайного процесса определенного на существуют постоянные такие, что то выборочные ф-ции случайного процесса с вероятностью 1 непрерывны.

Для случайных процессов с независимыми приращениями и марковских процессов важной задачей является нахождение всех возможных частных распределений, т. е. соответствующих им вероятностей перехода. Осн. задачи в теории стационарных случайных процессов в узком смысле связаны с доказательством эргодической теоремы, устанавливающей

существование предела или при или зависимости от того, дискретно или непрерывно время). Стационарные случайные процессы в широком смысле изучаются в корреляционной теории случайных процессов. Важный раздел этой теории составляет спектральная теория стационарных случайных процессов, которую используют для решения задач экстраполяции и фильтрации случайных процессов.

Для всех классов случайных процессов важной задачей является изучение различных их преобразований. Здесь осн. роль играет нахождение алгоритмов, позволяющих по характеристикам исходного процесса (по его частным распределениям или моментным ф-циям) найти характеристики преобразованного процесса. Как частный случай, рассматривают задачу об определении характеристик случайных процессов, являющихся решениями дифф. ур-ний, правая часть которых отображает некоторый случайный процесс. С. п. т. изучает также способы определения распределений различных функционалов случайных процессов, напр., интегральных функционалов вида определение вероятности того, что процесс будет лежать в полосе ; определение распределений числа пересечений данной полосы или числа выбросов за эту полосу. При решении подобных задач для каждого класса случайных процессов используют соответствующий аппарат. Наилучшим образом разработан аппарат для марковских процессов — это аппарат дифф. ур-ний в частных производных и интегро-дифференциальных уравнений.

Лит.: Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов, М., 1965 [библиогр. с. 648—654]; Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. Пер. с англ. М., 1956 [библиогр. с. 589— 598]; Бартлетт М. С. Введение в теорию случайных процессов. Пер. с англ. М., 1958 [библиогр. с. 365—376]. А. В. Скороход.