3.3.1. Случай «слабых» сигналов

Для слабых сигналов и достаточно точного измерения параметров  и , когда , алгоритм (3.20) можно представить в виде:

                                             (3.38)

Входящие в (3.38) величины  и  запишем следующим образом:

;        (3.39а)

                                                                                                                                            (3.39б)

где  - нормированные независимые гауссовские переменные с нулевым средним и дисперсией, равной

; ;

; ;

  - статистически независимые гауссовские случайные величины со средним значением, равным нулю, и дисперсиями:

  и  - величины, характеризующие элементы сигнала;  - мощность помехи на  скачке частоты, определяемая из выражения (3.4).

Как видно из (3.39а), нормированные , содержащие элементы полезного сигнала, распределены по закону  с двумя степенями свободы и параметром нецентральности , а нормированные величины  (3.39б), в которых отсутствует полезный сигнал, имеют центральное  - распределение с двумя степенями свободы.

Для случая сильной шумовой помехи в части полосы влиянием частотных элементов, пораженных этой помехой, на результирующий (суммарный) сигнал можно пренебречь. Заметим, что случай подавления помехой всех  субсимволов не рассматривается, так как это полностью нарушает работоспособность СРС. В практических устройствах обработки, как правило, осуществляется отключение частотных каналов, подавленных сильной помехой.

Учитывая, что сомножитель  в оставшихся субсимволах, подвергнувшихся воздействию помехи, принимает примерно одно и тоже значение, распределение случайной величины

                       (3.40а)

можно аппроксимировать нецентральным  - распределением с  степенями свободы и параметром нецентральности.

.

Случайная величина , в которой отсутствует полезный сигнал, распределяется по закону центрального  - распределения с  степенями свободы

                                                     (3.40б)

В обшем случае УВО на бит определяется из выражения

              (3.41)

где ,  - функции плотности распределения вероятностей случайных величин  и  соответственно.

В соответствии с [48] функции плотности распределения вероятностей  и  имеют вид:

где  - модифицированная функция Бесселя первого рода порядка ;  - гамма-функция.

Для получения УВО в виде конечной суммы представим внутренний интеграл в (3.41) в виде [48].

                                                                                                           (3.42a)

а функцию  как

                    (3.42б)

Используя (3.42а) и (3.42б), в соответствии с (3.41) получим выражение для УВО на бит [44]

     (3.43)

Применяя свойства гамма-функции [48,49]

преобразуем (3.43) к виду:

   (3.44)

где .

Бесконечный ряд в (3.44) представляет собой вырожденную пшергеометрическую функцию [48,49]

которую можно выразить следующим образом:

  (3.45)

где  - обобщенный полином Лагерра  [48].

После подстановки (3.45) в (3.44) получим выражение для УВО на бит  в виде конечной суммы при условии, что  [44]

                         (3.46)

Учитывая (3.37), СВО на бит  системы радиосвязи с внутрисимвольной ППРЧ и синтезированным алгоритмом (3.38) определяется из выражения

            (3.47)

где

Из анализа уравнений (3.46) и (3.47) следует, что при выбранной модели слабых сигналов, когда подавленные сильной помехой в части полосы субсимволы исключены из рассмотрения, УВО на бит  и, следовательно, СВО на бит  в явном виде не зависят от отношения сигнал-помеха . Такая зависимость проявляется опосредованно через величину подавляемой помехой части диапазона  ичисло субсимволов , подверженных воздействию помехи.

В [11] оценивается помехоустойчивость СРС с внутрисимвольной ППРЧ и двоичной ЧМ, в которой для демодуляции сигналов используется алгоритм, реализуемый с помощью квадратичного детектирования и нелинейного сложения выборок, пронормированных весовым множителем вида . При анализе помехоустойчивости такой СРС в [11] предполагается: 1) амплитуды субсимволов  на разных частотах равны между собой; 2) измерение мощности помехи  осуществляется «идеально» без ошибок на каждом скачке частоты.

Для случая сильной шумовой помехи полученное в [11] выражение для УВО на бит имеет вид:

,     (3.48)

Из (3.46) и (3.48) видно, что выражения для УВО на бит при одном и том же параметре нецентральности  отличаются только числом степеней свободы, которое при  больше в (3.48).

Проведем анализ влияния числа степеней свободы на УВО на бит. Для решения данной задачи воспользуемся гауссовской ап-проссимацией. При таком допущении УВО на бит определяется из выражения

                                                                   (3.49)

где  - функция Лапласа,    - математическое ожидание разности статистик  с точностью до множителя, не влияющего на УВО,

;

  - дисперсия разности статистик:

.

Анализ (3.49) показывает, что при большем числе степеней свободы, когда , аргумент функции Лапласа , где . Следовательно, УВО на бит (3.46) меньше аналогичной вероятности (3.48), так как . Таким образом, в случае аппроксимации статистик решения  и  нормальным законом распределения при сильной шумовой помехе и точном измерении амплитуды субсимволов  и дисперсии шумовой помехи  синтезированный квазиоптимальный алгоритм, как и следовало ожидать, эффективнее эвристического алгоритма различения сигналов с внутрисимвольной ППРЧ [11], а выражение (3.47) характеризует нижнюю границу СВО на бит информации.

Заметим, что, когда влиянием собственных шумов приемника СРС пренебречь нельзя, УВО на бит  при слабом сигнале и точном измерении параметров  и  может быть получена из выражения (3.46) путем замены в нем  на . В этом случае СВО на бит  имеет вид [11]:

(3.50)

где параметр нецентральности  определяется из выражения

При принятых выше допущениях оценка помехоустойчивости СРС с внутрисимвольной ППРЧ и синтезированным квазиоптимальным алгоритмом полиостью совпадает с оценкой помехоустойчивости СРС с внярисимвольной ППРЧ, квадратичным детектированием и нелинейным сложением субсимволов при «идеальном» измерении мощности помехи. Дальнейший анализ зависимости СВО на бит  (3.50) детально изложен в четвертой главе.