1.2. Коэффициент расширения спектра сигнала и запас помехоустойчивости системы радиосвязи с ППРЧ

При анализе помехоустойчивости СРС с расширением спектра сигнала фундаментальным является понимание, каким образом данный метод расширения спектра обеспечивает защиту СРС от подавления организованными помехами с ограниченной мощностью передатчика. Для метода расширения спектра сигнала за счет ППРЧ основополагающий принцип борьбы с помехами заключается в размещении информационного сигнала с малой размерностью в высокоразмерном пространстве радиосигнала. В таких условиях постановщик помех вынужден либо распределять ограниченную мощность помех по всему пространству радиосигнала, тем самым создавая малую спектральную плотность мощности помех, либо использовать всю имеющуюся мощность передатчика помех в малом подпространстве, оставляя остальную часть пространства радиосигнала свободной от помех.

Одной из важных характеристик СРС с расширением спектра с точки зрения помехоустойчивости является коэффициент расширения спектра (выигрыш при обработке, коэффициент защиты, усиление обработки)  [4,7,16]. Этот коэффициент характеризует меру увеличения отношения сигнал-помеха в результате свертывания (сжатия) расширенной полосы частот радиосигнала и приведения ее к полосе частот информационного сигнала.

В общем случае, независимо от применяемого метода расширения спектра, выражение для коэффициента  можно получить путем представления передаваемого сигнала суммой ортогональных сигналов, расположенных в -мерном геометрическом пространстве [4,22]. Положим, что сообщение передается путем равновероятной передачи совокупности  информационных ортогональных сигналов  в -мерном пространстве в течение времени . В соответствии с [22] произвольную действительную функцию , имеющую конечную энергию , можно представить обобщенным рядом Фурье по полной системе ортонормированных функций

                                  (1.8)

где  - совокупность коэффициентов функции ,

;

- совокупность базисных ортонормированных функций, удовлетворяющих условию

                                         (1.9)

при всех значениях  и ;  - символ Кронекера.

В случае ограничения по мощности передачи средняя энергия каждого -го сигнала определяется равенством Парсеваля

      (1.10)

для всех значений .

Для того, чтобы «спрятать» -мерный набор информационных сигналов в -мерном пространстве радиосигнала совокупность коэффициентов  должна выбираться таким образом, чтобы

                                                (1.11)

Следовательно, сигналы, псевдослучайная последовательность которых известна на приемной стороне СРС, но неизвестна постановщику помех, имеют равномерно распределенную энергию по  базисным направлениям.

Предположим далее, что на входе приемного устройства СРС действует независимая от полезного сигнала помеха , которая в -мерном пространстве может быть представлена в виде:

,

где .

Общая энергия помехи по аналогии с (1.10)

             (1.12)

Целью постановщика помех является разработка такой стратегии выбора составляющих , которая при обшей ограниченной мощности передатчика помех  должна обеспечить минимизацию отношения сигнал-помеха на выходе приемника СРС.

Результирующий сигнал  в приемном устройстве взаимодействует с опорным сигналом  таким образом, что на выходе -го коррелятора формируется статистика

                                                        (1.13)

Используя выражения для  и, а также свойство ортонормальности, можно показать, что

                (1.14)

Условное математическое ожидание статистики  для случая, когда помеха представляет белый гауссовский шум,

                      (1.15)

Так как в -мерном пространстве присутствует  ортогональных сигналов, то в силу их равновероятности

                                                        (1.16)

Аналогично, используя (1.10) и (1.11), можно показать, что при детерминированных сигналах  условная дисперсия статистики

                                (1.17)

а полная дисперсия статистики

                                                    (1.18)

Выше указывалось, что мерой эффективности метода расширения спектра сигналов является отношение сигнал-помеха. Используя (1.16) и (1.18), получим

                                         (1.19)

Как следует из (1.19), независимо от стратегии постановки помех с ограниченной мощностью отношение сигнал-помеха в результате обработки увеличивается на величину, которая и определяет коэффициент расширения спектра сигнала. В соответствии с [22] параметр  представляет собой размерность расширенного радиосигнала с длительностью  и шириной полосы частот

,                                                           (1.20)

а параметр  - размерность информационного сигнала с длительностью  и минимальной шириной полосы

.                                                             (1.21)

На основе (1.20) и (1.21) получаем выражение для коэффициента расширения cпектра сигнала

                                      (1.22)

Таким образом, коэффициент расширения спектра характеризует, с одной стороны, меру увеличения отношения сигнал-помеха в результате сжатия расширенной полосы частот радиосигнала и приведения ее к полосе частот информационного сигнала. С другой стороны, коэффициент расширения спектра определяет число степеней свободы расширенного сигнала , которыми вынужден оперировать постановщик помех при организации подавления СРС с расширением спектра.

Применительно к СРС с ППРЧ полученный выше коэффициент расширения спектра (1.22) можно конкретизировать. При расширении спектра за счет перестройки частоты общая полоса частот СРС , где  - частотный интервал, значение которого выбирается из условия обеспечения ортогональности информационных сигналов, т.е. более полного исключения влияния смежных каналов друг на друга. Значение параметра , как правило, выбирается в пределах 1...2. Учитывая (1.22), коэффициент расширения спектра сигнала для СРС с ППРЧ можно записать в виде:

.                                                                 (1.23)

Если принять, что ведется побитовая передача со скоростью 1 бит/скачек,  и, следовательно, , то коэффициент  будет равен числу используемых частотных каналов  в СРС с ППРЧ. Так, например, если число частотных каналов в расширенном диапазоне  равно , то коэффициент расширения спектра  дБ. Такой простой способ расчета  возможен при условии, когда используются все  каналов, т.е. отсутствуют спектральные провалы, в полосе частот .

В случае -ичной передачи в СРС с ЧМ используются лишь  -ичных каналов (или групп), что, в свою очередь, уменьшает значение реализуемого выигрыша при обработке сигналов до  дБ.

При применении для расширения спектра сигнала внутрибитовой ППРЧ с двоичной ЧМ ширина полосы частот каждого канала увеличивается в  раз и при использовании того же числа каналов  потребуется в  раз более широкая общая полоса частот по сравнению с полосой частот СРС с побитовой ППРЧ.

В случае совместного использования методов расширения спектра сигналов, например ППРЧ-ПСП, теоретически достижимый коэффициент расширения спектра в гибридной СРС равен сумме коэффициентов расширения спектра, получаемых отдельно для каждого метода [16],

.                  (1.24)

Коэффициент расширения спектра  непосредственно связан c другим важным в теории и технике СРС понятием как база сигнала , которую принято определять отношением ширины общей полосы частот радиосигнала  к скорости передачи информации  [3,7,16]

.                                            (1.25)

Так как скорость передачи данных  определяет ширину информационной полосы частот, то при условии, что  коэффициент расширения спектра сигнала  (1.22) с учетом (1.25)

                                             (1.26)

Если принять, что , то коэффициент расширения спектра сигнала  равняется базе сигнала .

Наиболее полно положительные свойства СРС с ППРЧ в условиях РЭП проявляются при использовании сигналов с большой базой. Однако увеличение базы сигналов приводит к некоторым негативным последствиям. В частности на входе приемника данной СРС увеличивается число взаимных помех от различных СРС, работающих в одном и том же диапазоне частот, появляются дополнительные составляющие сигнала, вызванные эффектом многолучевости, и др.

При проектировании и разработке СРС кроме коэффициента расширения спектра сигнала  используется и такой критерий как запас помехоустойчивости , измеряемый в децибелах и определяемый выражением [7,16]

                                      (1.27)

где  - минимальное отношение сигнал-помеха на выходе приемного устройства, обеспечивающее заданное значение вероятности ошибочного приема информационного символа;  - энергетические потери, обусловленные реализацией аппаратуры.

Запас помехоустойчивости позволяет определить уровень, при котором вероятность ошибочного приема информационного символа не превышает требуемого значения. Допустим, что для двоичной некогерентной СРС с ППРЧ, имеющей коэффициент расширения спектра  дБ и энергетические потери  дБ, требуется обеспечить вероятность ошибки на бит . В этом случае минимальное отношение сигнал-помеха равно 13,35дБ. Таким образом, запас помехоустойчивости  дБ.