П.8.1.2. Представление степенными рядами

Для вычисления  и  - функций применяются разложения в степенные ряды. Наиболее известны два варианта разложения в степенные ряды функции  и два варианта - для функции  [100]. Отметим, что важно иметь отдельно выражения для  и при необходимости использовать именно их, а не находить  и затем вычитать ее из единицы, так как при этом можно уменьшить точность вычисления. В [100] представлены следующие разложения:

;                        (П.8.1.17)

;                      (П.8.1.18)

;                    (П.8.1.19)

.                       (П.8.1.20)

Основная вычислительная сложность, связанная со степенным рядом, это исчезновение значащих разрядов при вычислении  или недостаточная точность, возникающая при вычислении произведения большого числа на малое. Поэтому для вычисления -го члена ряда целесообразно использовать тождество

,                 (П.8.1.21)

а  вычислять приближенно по формулам, аналогичным формулам Стирлинга

,                  (П.8.1.22)

где  представляется в виде непрерывной дроби следующим образом

.

Ошибка округления при этом не превышает . Для  значение  можно получить обычным способом.

Теоретически можно использовать любую формулу (П.8.1.17)-(П.8.1.20), однако на практике они не всегда дают точный результат из-за потери значащих цифр при малых значениях членов ряда. Поэтому, чтобы выбрать наиболее подходящее разложение, значения  (или ) оцениваются с помощью границы Чернова

,                    (П.8.1.23)

где

.                      (П.8.1.24)

Граница Чернова удовлетворяет следующим неравенствам:

 при ;

 при .

При заданной величине абсолютной ошибки   проверяется неравенство . Если неравенство выполняется, то  приравнивается к нулю при , или единице при . Тем самым достигается требуемая точность без дополнительных вычислений. В зависимости от того, где находится граница Чернова при данных значениях , выбирается та или иная форма в разложении (П.8.1.17)-(П.8.1.20).

Ниже приведена процедура выбора аппроксимирующих формул для  [100]:

1) Если  и , то .

2) Если  и , то .

3) Если  и , то рекомендуется использовать (П.8.1.19).

4) В остальных случаях применять разложение (П.8.1.20).

При расчете  рекомендуется следующая процедура выбора:

1) Если  и , то .

2) Если  и , то .

3) Если  и , то рекомендуется использовать разложение (П.8.1.17);

4) В остальных случаях используется разложение (П.8.1.18).

Рекуррентный алгоритм Макги. Представляя степенные ряды (П.8.1.17), (П.8.1.19) в виде:

,                       (П.8.1.25)

.                    (П.8.1.26)

Макги предложил рекуррентный алгоритм пересчета параметров по формулам [101]:

                     (П.8.1.27)

при начальных условиях .

Обозначим через  и  частичные суммы рядов (П.8.1.25) и (П.8.1.26) соответственно, а через  - требуемую относительную ошибку вычисления  и . С учетом введенных обозначений можно сформулировать условия окончания итерационного процесса.

Процесс вычисления продолжается до тех пор, пока не будут выполнены условия

                        (П.8.1.28)

для вычисления  и

                    (П.8.1.29)

для вычисления .