П.8.1.3. Представление в виде рядов Неймана

Следуя [102], примем за основу вычислительного алгоритма представление обобщенной -функции в виде ряда Неймана (П.8.1.15), (П.8.1.16). Суть вычислительного метода заключается в вычислении  для  и  для  посредством рекурсии модифицированной функции Бесселя, применяемой в обратном порядке.

При выводе алгоритма в [102] используется более общее разложение в ряд Неймана

.                       (П.8.1.30)

Функции данного вида образуют широкий класс, включающий в себя и ,  при , а также разложение единицы

.                  (П.8.1.31)

Эти разложения вычисляются с помощью рекурсии бесселевых функций в обратном порядке

,                       (П.8.1.32)

начиная с некоторого большого , при предположениях  и . Постоянная  находится из условия разложения в ряд Неймана единицы (П.8.1.31). Возникающая ошибка связана с двумя источниками - ошибкой усечения бесконечного ряда и ошибкой от переходных процессов, возникающей при вычислении функций Бесселя по рекуррентным формулам из-за неточного задания начальных условий в обратной рекурсии. При этом, как показано в [102], ошибка переходных процессов мала по сравнению с ошибкой из-за усечения ряда Неймана.

Обозначим через  и  функции, аппроксимирующие  и  в результате усечения рядов (П.8.1.30), (П.8.1.31), где вместо функций Бесселя используется их аппроксимация, полученная в результате рекурсии в обратном порядке

                     (П.8.1.33)

С учетом сделанных обозначений  можно представить следующим образом

.                        (П.8.1.34)

Из (П.8.1.33) и (П.8.1.34) после преобразований получим рекуррентную формулу

.                      (П.8.1.35)

Формула (П.8.34) позволяет рекуррентным образом получить  при следующих начальных значениях , . Аналогичные рекуррентные формулы можно получить и для . Поскольку , то после  итераций получим аппроксимацию для  вида

.                        (П.8.1.36)

Выражение (П.8.1.34) применимо к  в (П.8.1.15)  при подстановке

             (П.8.1.37)

и к  в (П.8.1.16)  при подстановке

             (П.8.1.38)

Обозначив через , можем сформулировать алгоритм.

Алгоритм. На первом шаге вычислений задаются начальные значения

.             (П.8.1.39)

Если , то

                        (П.8.1.40)

Рекуррентно пересчитываются

                (П.8.1.41)

Вычисления заканчиваются, если

,                   (П.8.1.42)

где  - требуемая погрешность в вычислении обобщенной -функции.

Окончательный результат определяется из выражения

.                    (П.8.1.43)

При  имеем

            (П.8.1.44)

Величины  и  пересчитываются в соответствии с (П.8.1.41). Условие окончания счета такое же, как и при вычислении .

Окончательный результат принимает вид:

.                       (П.8.1.45)

В частном случае для  начальные условия имеют вид:

             (П.8.1.46)

Рекуррентно пересчитываются . Остальные параметры пересчитываются в соответствии с (П.8.1.41)-(П.8.1.46).

Ошибка вычисления и условия останова. Общая относительная ошибка вычисления  или  определяется относительной ошибкой частного , которая равна сумме относительных ошибок в  и . Погрешность вычисления  и  связана с усечением ряда Неймана и неточностью задания начальных условий в обратной рекурсии вычисления функций Бесселя. Суммарная относительная ошибка вычисления знаменателя определяется из выражения

.                       (П.8.1.47)

Относительная ошибка вычисления числителя

               (П.8.1.48)

Из сравнения (П.8.1.47) и (П.8.1.48) следует, что при  относительная ошибка знаменателя значительно преобладает над относительной ошибкой числителя. Поэтому условие окончания счета определяется достижением заданной точности вычисления знаменателя, которое для удобства задается в виде . В [103] рассмотрены и другие условия окончания счета. Заметим, что все они приводят к одинаковому числу итераций при заданной точности вычисления -функции.

Границы применимости алгоритма. В [102] отмечено, что алгоритм не эффективен для больших значений . Однако в [102] не приведены данные, касающиеся приемлемого значения . В общем случае существуют комбинации параметров , для которых алгоритм утрачивает эффективность. Это объясняется тем, что результаты арифметических операций над числами с плавающей точкой становятся больше или меньше допустимых в ЭВМ чисел, прежде чем достигается требуемая точность. Эмпирические результаты показывают, что минимальное значение , при котором алгоритм работает, определяется выражением [103]

,                  (П.8.1.49)

где  - наибольшее число, представляемое в ЭВМ. Для достаточно больших  алгоритм обеспечивает высокую точность вычисления как в центральной части распределения, так и в «хвостовых» частях.