П.8.2.2 Алгоритмы расчета вероятностно-временных характеристик основных видов обнаружителей

П.8.2.2.1 Обнаружитель детерминированных сигналов

В данном случае на вход обнаружителя поступает случайный процесс

,                   (П.8.2.20)

где  - АБГШ;  при гипотезе  (: сигнал присутствует) и  при гипотезе  (: сигнал отсутствует).

Оптимальный обнаружитель детерминированных сигналов может быть реализован на базе коррелятора или согласованного фильтра (рис.П.8.2.1,а,б, где обозначено: УС - устройство сравнения).

Рис. П.8.2.1.

Статистика обнаружителя имеет вид:

                   (П.8.2.21)

Статистика  имеет гауссовское распределение с параметрами

;                     (П.8.2.22)

,                 (П.8.2.23)

где  - энергия сигнала, накопленная за время .

Отношение сигнал-шум

,                  (П.8.2.24)

где ;  - мощность сигнала;  - мощность АБГШ, ограниченного полосой .

Вероятности ложной тревоги и обнаружения на одном шаге можно записать в виде:

;                        (П.8.2.25)

,                       (П.8.2.26)

где

;                    (П.8.2.27)

 - нормированный порог, являющийся решением уравнения

.                  (П.8.2.28)

Определим зависимость среднего времени , дисперсии  от длительности наблюдения на одном шаге обнаружения  при заданных значениях ,  и вероятности ложной тревоги . На основе (П.8.2.25)-(П.8.2.28) алгоритм определения среднего времени до обнаружения рассчитывается в следующей последовательности.

1. Задаются значения величин:  - отношение сигнал-шум по мощности ;  - шаг дискретизации во времени, с;  - ширина полосы, Гц; вероятность ложной тревоги .

2. Вычисляется текущее значение времени обнаружения на одном шаге , ,  с.

3. Для каждого  вычисляется значение нормированного порога исходя из уравнения (П.8.2.26), , где . Для нахождения  можно воспользоваться аппроксимацией [48]

где

4. Вычисляется отношение сигнал-шум  и вероятность правильного обнаружения

.

5. Находятся среднее время

и его дисперсия

.

П.8.2.2.2 Обнаружитель квазидетерминированных сигналов со случайной фазой

Структурная схема оптимального обнаружителя сигнала со случайной фазой, реализованного на базе коррелятора или согласованного фильтра, изображена на рис.П.8.2.2,а,б.

Рис. П.8.2.2.

Статистика на выходе обнаружителя при наличии шума и смеси сигнала с шумом распределена по закону Рэлея и обобщенному закону Рэлея, соответственно. Вероятность ложной тревоги определяется из выражения [90]

,              (П.8.2.29)

а вероятность обнаружения

.                  (П.8.3.30)

Значение нормированного порога  находится из (П.8.2.29)

,                       (П.8.2.31)

где

.              (П.8.2.32)

Заменой переменных  выражение (П.8.2.30) приводится к виду:

,                      (П.8.2.33)

где  - интегральная функция вероятностей нецентрального -распределения с двумя степенями свободы. Используя (П.8.2.29)-(П.8.2.33), алгоритм расчета РХ обнаружителя проводится следующим образом:

1. Задаются значения величин:  - шаг дискретизации во времени, с;  - ширина полосы, Гц;  - отношение сигнал-шум по мощности, а также вероятности ложных тревог .

2. При заданной вероятности ложной тревоги по формуле (П.8.2.31) вычисляется величина нормированного порога.

3. Варьируются время наблюдения на одном шаге  и .

4. По формуле (П.8.2.33) вычисляется вероятность правильного обнаружения сигнала .

5. Вычисляется среднее время и дисперсия.

П. 8.2.2.3 Обнаружитель сигналов неизвестной структуры

Предельным случаем априорной неопределенности относительно обнаруживаемых сигналов является задача обнаружения стохастических сигналов на фоне аддитивной гауссовской помехи , когда наблюдаемые реализации имеют вид

                       (П.8.2.34)

где  - случайный гауссовский процесс.

В [83] Кайлат показал, что функционал отношения правдоподобия при обнаружении стохастического сигнала в (П.8.2.34) в общем случае имеет вид:

,                   (П.8.2.35)

где

 -                       (П.8.2.36)

оценка случайного сигнала  по критерию минимума среднеквадратической ошибки (МСКО) в момент времени  на основе прошлых значений  , в предположении, что имеет место гипотеза .

Как было показано выше, оптимальные алгоритмы обнаружения стохастических сигналов чрезвычайно трудоемки при практической реализации (см. рис.8.1). Более простым для реализации является энергетический обнаружитель Прайса-Урковица (рис.П.8.2.3) [86, 87].

Рис. П.8.2.3.

Нормированная статистика на выходе обнаружителя имеет вид:

.                (П.8.2.37)

Вероятности ложной тревоги  и обнаружения сигнала могут быть определены из выражений

,               (П.8.2.38)

,                       (П.8.2.39)

где , и , - функция распределения для центрального и нецентрального -распределения с  степенями свободы и параметром нецентральности .

Значение порогового уровня находится как решение уравнения

.                 (П.8.2.40)

Для решения данного уравнения можно использовать численные алгоритмы, в частности, алгоритм деления отрезка пополам. Для  целесообразно воспользоваться аппроксимациями обратной функции для центрального -распределения [48]

,                     (П.8.2.41)

,             (П.8.2.42)

или более точной аппроксимацией Корниша-Фишера [109]

,              (П.8.2.43)

где . После вычисления порогового уровня  вероятность обнаружения определяется из выражения (П.8.2.39), где

.                   (П.8.2.44)

Из (П.8.2.38)-(П.8.2.44) следует алгоритм расчета характеристик обнаружителя сигналов неизвестной структуры.

1. Для каждого   вычисляются ; ; .

2. Задается вероятность ложной тревоги , . По заданной вероятности ложной тревоги вычисляется .

3. По найденному значению по формулам (П.8.2.41)-(П.8.2.43) определяется значение порогового уровня .

4. Используя одну из процедур вычисления нецентрального -распределения, вычисляется вероятность обнаружения

.

5. Среднее время и дисперсия  находятся по формулам (П.8.2.5) и (П.8.2.10).

Алгоритм вычисления динамических характеристик при ограничении на число шагов обнаружения аналогичен рассмотренным ранее случаям, где в качестве выражений для среднего времени и дисперсии следует применять (П.8.2.15) и (П.8.2.18).

П.8.2.2.4. Обнаружители сигналов с постоянным уровнем ложной тревоги

В рассмотренных выше обнаружителях процедура обнаружения сигналов сводится к сравнению статистики, основанной на выборках входной смеси сигнала и помехи, с порогом. Однако, изменение интенсивности или закона распределения вероятностей помехи существенно ухудшает РХ обнаружителей, синтезированных по критерию максимума отношения правдоподобия. Так, например, изменение интенсивности помехи на 2 дБ приводит к изменению вероятности ложной тревоги в системе с фиксированным порогом на два порядка [110]. Поэтому возникает необходимость в специальных алгоритмах обработки с постоянным уровнем ложных тревог (ПУЛТ). Первоначально алгоритмы обработки с ПУЛТ появились для гауссовских помех с неизвестной мощностью. Стабилизация уровня ложной тревоги в этом случае сводится к оценке мощности помехи и установления соответствующего порога обнаружения.

Структурная схема одного из вариантов такого обнаружителя изображена на рис.П.8.2.4.

Рис. П.8.2.4.

Она содержит линейный тракт приемника (ЛТП), квадратичный детектор (КД), линию задержки (ЛЗ), реализующую „скользящее окно", осредняющий сумматор, на выходе которого формируется сигнал, пропорциональный мощности шума, и пороговое устройство.

Величина задержки между отводами ЛЗ приблизительно равна длительности принимаемого сигнала. Сигнал с выхода центрального отвода  сравнивается с произведением порогового коэффициента  и суммы . Пороговый коэффициент  зависит от вероятности ложной тревоги и величины „окна", а также числа отводов линии задержки. Правило принятия гипотез имеет вид:

                        (П.8.2.45)

Существуют различные комбинации обнаружителей данного типа [110,111]. Здесь ограничимся рассмотрением базового обнаружителя (рис.П.8.2.4). Приведем основные выражения для расчета вероятности ложной тревоги и обнаружения на одном шаге обнаружения.

Если на вход обнаружителя поступает только гауссовский шум, то статистика на выходе КД имеет плотность распределения вероятности

,                        (П.8.2.46)

где  - средняя мощность шума на входе детектора.

Если на вход детектора поступает смесь сигнала с шумом, то плотность распределения квадрата огибающей на выходе детектора имеет вид:

,              (П.8.2.47)

где  - амплитуда сигнала,  - отношение сигнал-шум. Обозначим через  случайную величину на выходе -го отвода, не совпадающего с центральным, а через  - на выходе центрального отвода, то  имеет центральное -распределение с двумя степенями свободы, а  - центральное -распределение при отсутствии сигнала и нецентральное -распределение с параметром нецентральности  и двумя степенями свободы при наличии сигнала. Так как величины на отводах ЛЗ независимы, то случайная величина на выходе сумматора имеет центральное -распределение с  степенями свободы. Ее плотность определяется из выражения

,                        (П.8.2.48)

где  - гамма-функция.

Вероятность ложной тревоги

,               (П.8.2.49)

где случайная величина  имеет при отсутствии сигнала центральное -распределение с  и  степенями свободы. Плотность распределения вероятностей случайной величины  определяется выражением [48]

,                      (П.8.2.50)

где  - бета-функция.

Из (П.8.2.50) с учетом (П.8.2.49) получим выражение для вероятности ложной тревоги

.              (П.8.2.51)

Вероятность обнаружения также находится из (П.8.2.49) при условии, что  имеет нецентральное -распределение с параметром нецентральности  и , a  имеет центральное -распределение. Случайная величина

                  (П.8.2.52)

в данном случае имеет так называемое нецентральное -распределение со степенями свободы , параметром нецентральности  и плотностью распределения [48,112]

.             (П8.2.53)

Вероятность обнаружения может быть представлена следующим образом:

.                       (П.8.3.54)

После подстановки (П.8.2.53) в (П.8.2.54) и интегрирования с учетом свойств бета-функции [48] получим выражение для вероятности обнаружения в виде ряда

.                 (П.8.2.55)

Формула (П.8.2.55) устанавливает функциональную зависимость между вероятностью обнаружения и величиной порогового множителя , который определяется через вероятность ложной тревоги как решение уравнения (П.8.2.51). Заметим, что время расчета можно сократить, если использовать рекуррентные формулы для вычисления функции распределения [48].Выражение для вероятности обнаружения в этом случае можно записать в виде:

,                 (П.8.2.56)

где

                (П.8.2.57)

Выражения (П.8.2.55), (П.8.2.56) и (П.8.2.57) позволяют рассчитать вероятность обнаружения как функцию от отношения сигнал-шум при фиксированных вероятностях ложных тревог  и числа отводов  в линии задержки.

В предельном случае при  имеем -распределение с двумя степенями свободы. Откуда следует, что пороговый коэффициент

,                (П.8.2.58)

а вероятность обнаружения

,                        (П.8.2.59)

где  - функция распределения для  с  степенями свободы и параметром нецентральности , определяемая (П.8.2.44). Из (П.8.2.55)-(П.8.2.56) следует алгоритм расчета вероятностно-временных характеристик обнаружителей с постоянным уровнем ложной тревоги.