ПРЕДИСЛОВИЕ

Сложная ли наука линейная алгебра?

Начало пятидесятых годов. Первые выпуски студентов-вычислителей, перед которыми открывается увлекательный мир решения новых еще никем неизведанных проблем. И вдруг вместо заманчивой перспективы неожиданное предложение — заняться созданием программного обеспечения электронных вычислительных машин (ЭВМ) для решения задач линейной алгебры. Особого восторга оно не вызвало.

«Цегко понять, почему это произошло. Мы были воспитаны в духе классических курсов, читаемых на математическом факультете. Линейная алгебра была преподнесена нам столь четко и ясно, что не оставалось никаких сомнений в том, что все основные задачи, рассматриваемые этой областью математики, полностью решены.

В самом деле, теория определителей исчерпывающе отвечала на вопрос о том, когда существует решение системы линейных алгебраических уравнений, а правило Крамера указывало его явный вид. Все спектральные задачи сводились в основном к двум задачам— определению корней алгебраического многочлена и решению систем уравнений. Более того, в нашем арсенале были такие «эффективные» численные методы, как метод Гаусса, метод Данилевского и др. Эти методы вроде бы позволяли решать соответствующие задачи линейной алгебры во всей их полноте. Поэтому порученная нам работа

первоначально воспринималась как чисто механический процесс по переводу огромного количества известных к тому времени вычислительных алгорифмов с общепринятого языка математических формул на язык команд ЭВМ.

Действительность оказалась значительно сложнее. Лишь после многих неудач и ошибок мы стали понимать, что рядом с классической линейной алгеброй не только существует, но и успешно развивается совсем «другая» линейная алгебра, о которой почти ничего не говорилось ни в основных, ни даже в специальных курсах. Эта линейная алгебра была тесно связана со многими областями математики, уходила своими корнями в самые разнообразные приложения, заставляла учитывать особенности ЭВМ и языков программирования, требовала решения новых системных задач и никак не согласовывалась с широко распространенным мнением о всемогуществе ЭВМ. Называлась она «вычислительной», хотя данный термин далеко не полностью отражал содержание этой «другой» линейной алгебры и нередко низводил ее до уровня жонглирования математическими преобразованиями.

Сравнительная простота теории линейной алгебры и кажущаяся эффективность существовавших численных методов долгое время держали нас в своем плену. К сожалению, многие математики и сейчас попадают под их успокоительное обаяние, не замечая всей сложности, которая характерна для задач алгебры.

Причина подобного положения кроется, на наш взгляд, в основах обучения этой науке, в методике преподавания, в содержании обязательных и специальных курсов линейной алгебры, читаемых в вузах. Вычислительная алгебра сделала за последние пятнадцать лет громадный скачок вперед и является одним из самых развитых направлений численного анализа. Содержание же лекций, как правило, слабо отражает достигнутый прогресс и по-прежнему ведется в духе изложения различных

фактов типа теорем существования без учета проблем вычислений.

Знакомство с линейной алгеброй в вузе начинается для студентов-вычислителей с первых же лекций. Поэтому от того, что и как читается в теоретической части этого курса, во многом зависит формирование основы будущего восприятия всей вычислительной математики.

Нельзя не признавать красоту и изящество теории, построенной на понятиях линейной зависимости, базиса, определителя и т. п. Но все практические вычисления, связанные с ними, весьма неустойчивы. Поэтому методы исследования, используемые в теоретической части курса, оказываются не очень полезными при непосредственном их применении для конструирования численных методов и часто приводят просто к неправильному пониманию вычислительной стороны дела.

Однако наличие подобных фактов в действительности предоставляет лектору исключительно благоприятную возможность формирования научных взглядов тех студентов, для которых вычислительная математика как предмет должна занять существенное место в образовании. Конечно, реализация этой возможности требует изменения всего теоретического курса линейной алгебры, но выигрыш от такого изменения может быть очень большим. Численные методы алгебры станут естественной частью общего курса, не нужно будет дополнительно тратить драгоценные часы занятий на изложение их основ и, что самое главное, можно будет легко показать студенту громадную практическую значимость курса линейной алгебры во всей ее полноте.

Отсутствие органического единства в методике изложения теоретической и практической частей курса линейной алгебры не позволяет достичь должного эффекта в обучении студентов-вычислителей. В полной мере мы ощутили это на себе в первые годы работы. С тех пор

прошло много лет. Но описанная выше ситуация с удивительным постоянством повторяется снова и снова. К сожалению, и сейчас молодой специалист в области вычислительной математики нередко оказывается совершенно беспомощным, встретившись с необходимостью грамотно решить систему линейных алгебраических уравнений, не говоря уже о проблеме собственных значений.

Все эти причины побудили нас предпринять попытку подготовить ряд взаимосвязанных и построенных на единой-основе учебных пособий по линейной алгебре, содержащих необходимый минимум теоретических знаний, без которого невозможно воспринять огромное вычислительное богатство, и отражающих современные проблемы в области конструирования численных методов.

Настоящее учебное пособие представляет собой третью книгу из этой серии после теоретического курса [1] и задачника [4]. Посвящено оно вычислительным основам линейной алгебры.

Основной замысел книги был навеян теми трудностями, с которыми приходится сталкиваться, изучая численные методы линейной алгебры. Уже при первом знакомстве с существующей литературой, например, по библиографическому указателю [8], возникает недоуменный вопрос: «Почему решению в общем-то небольшого числа различных задач линейной алгебры посвящено такое огромное количество работ?» Нельзя на него дать однозначный ответ, ибо это явление обусловлено многими причинами.

Для линейной алгебры характерна исключительная широта ее приложений. Учет конкретных особенностей задачи приводит к появлению новых модификаций численных методов, а желание решить данную задачу как можно лучше значительно увеличивает их число. И вот здесь, на наш взгляд, кроется одна из основных причин обилия публикаций.

Что значит решить задачу лучше? Если задача решается на ЭВМ, то типичной ситуацией для линейной алгебры является использование стандартных программ. По крайней мере, так должно быть. Но для пользователя ЭВМ безразлично, какой из численных методов заложен в основу той или иной стандартной программы. Его интересуют, как правило, лишь три ее характеристики: время счета, объем требуемой памяти ЭВМ и точность.

Относительно легко сравнить методы по первым двум характеристикам. Что же касается точности, то это уже сделать значительно сложнее. Трудно даже ответить на вопрос, как сравнивать методы по точности. Именно этим обстоятельством и объясняется наличие большого числа работ, в которых либо ничего не говорится о точности численных методов, либо доказательство преимущества одних из них сводится к неубедительным эмпирическим доводам и эмоциональным рассуждениям.

Мы уже отмечали обманчивость простоты формулировок задач линейной алгебры. Однако во всей полноте это постигается лишь тогда, когда проводится анализ влияния ошибок округления и возмущения входных данных на точность решения.

Существенный прогресс в исследовании устойчивости численных методов произошел сравнительно недавно и связан с возникновением так называемого обратного анализа ошибок. Основная идея этого анализа заключается в том, что реально вычисленное решение рассматривается как точное для той же задачи, но с возмущенными входными данными. При этом само возмущение выбирается так, чтобы его действие оказалось эквивалентным совокупному влиянию всех ошибок округления.

Обратный анализ предложил идею, но не инструмент для изучения ошибок округления. Даже для самых простых алгорифмов исследование эквивалентных возмущений остается тяжелой и утомительной работой,

сопровождающейся выполнением большого числа весьма тонких выкладок. Тем не менее обратный анализ позволил оценить совместное влияние ошибок округления и ошибок входных данных на точность результатов и провести на этой основе сравнение численных методов между собой.

Исследование лучших численных методов линейной алгебры показало удивительную малость их эквивалентных возмущений. Большая часть этих методов, предназначенных для решения систем уравнений и проблемы собственных значений, представлена в настоящей книге. В ней же описаны и многие вспомогательные алгебраические алгорифмы, позволяющие конструировать новые численные методы.

Возможно, что после знакомства с этой книгой у читателя появится желание использовать для решения своей задачи какой-либо иной метод. Прежде чем реализовать такое желание, стоит выполнить для нового метода столь же тщательный анализ ошибок, какой проделан здесь для всех численных методов.

Что же касается ответа на вопрос, поставленный в начале предисловия, то линейная алгебра действительно простая наука, если оставаться в пределах классических формулировок обязательного курса и не замечать тех сложных проблем, которые в ней существуют. А каково ваше мнение?

В. В. Воеводин