Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 19. Последовательность преобразований вращенияОценим теперь эквивалентное возмущение при выполнении последовательности преобразований вращения. Рассмотрим Пусть
для
где
Таким образом, вектор Одна из оценок выводится совсем просто. Пусть — координаты вектора
Так как матрицы
поэтому всегда выполняется неравенство
К тому же,
Оценка (19.4) справедлива для любой последовательности из матриц вращения и для некоторых последовательностей она почти достигается. Предположим, например, что вектор
евклидова норма эквивалентного возмущения
если только все матрицы вращения близки к матрицам перестановок. Эти примеры показывают, что оценка (19.4) практически неулучшаема для всех последовательностей матриц вращения, у которых любые две соседние матрицы имеют хотя бы один общий индекс. Такие последовательности мы будем называть сильно связанными. В одном весьма важном случае удается получить оценку эквивалентного возмущения совокупность ошибок округления, не зависит вообще от порядка выполнения самих преобразований. Теперь вместо неравенства (19.2) в действительности будет иметь место асимптотическое равенство
а вместо соотношения
Так как индексы у матриц вращения не совпадают, а сами матрицы близки к ортогональным, то
поэтому
В соответствии с неравенством Коши — Буняковского
и окончательно находим, что теперь
Если последовательность матриц вращения можно разбить на
Заметим, что выполнение любой последовательности из как неравенство (19.4), так и неравенство (19.6). В данном случае обе оценки совпадают и, как мы уже отмечали, они практически неулучшаемы для сильно связанных последовательностей. Однако в общем случае выполнение преобразований вращения можно сводить к несвязанным последовательностям не единственным способом, что видно на примере самой несвязанной последовательности. Чтобы на основе формулы (19.6) получить наилучшую оценку эквивалентного возмущения для любой последовательности преобразований вращения, необходимо определить минимальное число несвязанных последовательностей, к которым сводится исходная последовательность. Предположим, что в последовательности матриц вращения две соседние матрицы не имеют общих индексов. Тогда результат преобразований не изменится, если эти матрицы поменять местами. Если одну последовательность матриц вращения можно получить из другой с помощью перестановок соседних матриц, не имеющих общих индексов, то такие последовательности будем называть эквивалентными. Ясно, что результат выполнения эквивалентных последовательностей преобразований будет одним и тем же, включая всю совокупность ошибок округления. Среди эквивалентных между собой последовательностей существует такая, которая распадается на наименьшее число, несвязанных последовательностей. Это наименьшее чиело мы назовем индексом эквивалентности. Очевидно, что знание индекса позволяет получить на основе формулы (19.6) наилучшую оценку возмущения Вычислять индекс и даже сравнивать различные последовательности можно с помощью процесса преобразования самих последовательностей к некоторой канонической форме. Пусть последовательность матриц вращения расположена в строке слева направо. Выберем в этой последовательности все матрицы, каждая из которых не имеет слева ни одной матрицы с общими индексами. Предположим, что таких матриц оказалось Число Исследуем две последовательности матриц вращения, наиболее часто используемые в численных методах. Обе последовательности называются циклическими и- описываются одной и той же совокупностью пар индексов
где Глядя на эти последовательности, трудно обнаружить существенную связь между ними. Однако приведя их к канонической форме, замечаем, что упорядоченность пар индексов становится одинаковой и имеет вид
где каждая строка соответствует несвязанной последовательности. Таким образом, с точностью до выбора углов поворота циклические последовательности эквивалентны. Как вытекает из (19.7), их индекс равен
В дальнейшем мы неоднократно воспользуемся полученными оценками для изучения самых различных численных методов. При этом практически всегда будет выполняться соотношение
Предположим, что последовательность матриц вращения состоит из
Для обеих циклических последовательностей согласно (19,8) имеем
если
если Полученные оценки подтвердили наше предположение о том, что общий эффект влияния ошибок округления зависит не только от числа выполненных преобразований вращения, но и от того, в какой последовательности преобразуются элементы. В некоторых задачах мы сможем в известной мере выбирать эту последовательность и, следовательно, строить лучшие по точности методы. Рассмотрим в качестве примера одну простую задачу. Пусть заданы
Предположим, что какой-либо вектор имеет ненулевые координаты в позициях Порядок исключения не является однозначным и, выбирая его подходящим образом, можно уменьшить общее влияние ошибок округления. В вычислительной практике наиболее часто координаты исключаются подряд, начиная со второй, путем умножения на матрицы
Теперь исключим те же координаты в другом порядке. Сначала, умножая на матрицы с номерами
Эта оценка существенно лучше оценки (19.14) УПРАЖНЕНИЯ(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|