§ 12. Локализация собственных значений

Различные задачи линейной алгебры связаны с собственными значениями матрицы. Исследование таких задач нередко приводит к необходимости локализовать собственные значения, т. е. определить те области комплексной плоскости, в которых они находятся. Конечно, локализация собственных значений по элементам матрицы должна осуществляться достаточно простыми средствами. Во всяком случае эти средства должны быть существенно проще, чем численные методы определения собственных значений.

В курсе линейной алгебры [1] доказывается ряд утверждений, с помощью которых можно решить некоторые задачи локализации.

Пусть исследуются собственные значения матрицы А порядка с комплексными элементами Согласно (11.2) по крайней мере одно собственное значение находится в круге Используя неравенство Адамара [1] для определителей матриц заключаем, что по крайней мере одно собственное значение находится в каждом из кругов

и, следовательно, в меньшем из этих кругов.

Некоторые неравенства получаются с помощью матричных норм. Известно [1], что все собственные значения матрицы А находятся в каждом из кругов

для любой согласованной нормы. Для или -нормы эти неравенства принимают такой вид:

Евклидова норма дает слабую оценку, так как в действительности [1] для собственных значений матрицы А имеет место неравенство

Обозначим через соответственно максимальное и минимальное сингулярные числа матрицы Спектральная норма матрицы равна Поэтому все собственные значения матрицы А находятся в круге Аналогичное рассуждение для обратной матрицы приводит к неравенству В силу непрерывной зависимости собственных и сингулярных чисел от элементов матрицы это неравенство справедливо и для вырожденной матрицы А. Итак, все собственные значения матрицы А находятся в кольце

Довольно общий принцип построения областей, локализующих собственные значения, основан на следующей идее. Пусть А — произвольная матрица и некоторое арифметическое условие, выполнение которого достаточно для невырожденности матрицы Если X является собственным значением, то матрица вырожденная. Поэтому для того, чтобы X было собственным значением матрицы необходимо невыполнение условия . Это и определяет некоторую область, в которой должны находиться все собственные значения.

Лемма 12.1. Для того чтобы матрица А быланевы рожденной, достаточно выполнение неравенств

Доказательство. Предположим, что матрица вырожденная. Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений

имеет ненулевое решение. Пусть -наибольшая по модулю

координата этого решения. Запишем уравнение системы в таком виде:

откуда следует, что

и, окончательно,

Это соотношение противоречит условиям леммы.

Следствие. Для того чтобы X было собственным значением матрицы А, необходимо выполнение неравенства

хотя бы для одного значения I, где или, другими словами:

Любое собственное значение матрицы А лежит по крайней мере в одном из кругов с центрами и радиусами

Области (12.1) называются кругами Гершгорина. Они широко используются в самых различных исследованиях, связанных с собственными значениями. Покажем, что имеет место

Теорема 12.1. Если кругов Гершгорина образуют область изолированную от остальных кругов, то в находится ровно собственных значений матрицы А.

Доказательство основано на непрерывной зависимости собственных значений матрицы от ее элементов. Представим матрицу А в виде суммы где В — диагональная матрица с элементами — матрица с нулевой диагональю. Рассмотрим теперь семейство матриц где Сравнивая круги Гершгорина с одинаковыми центрами для матриц замечаем, что их радиусы отличаются множителем

Обозначим через замкнутую область, составленную из кругов Гершгорина для матрицы центры которых

принадлежат Через обозначим замкнутую область, составленную из остальных кругов. Ясно, что

для При область содержит ровно собственных значений матрицы Эти собственные значения будут непрерывно меняться при изменении Предположим, что при некотором одно из них вышло из области Тогда в силу непрерывности и второго условия из (12.2) найдется такое при котором одно из собственных значений матрицы не будет принадлежать ни ни Это невозможно, поэтому при всех допустимых значениях область содержит ровно собственных значений матрицы Но при область совпадает с а матрица с матрицей А.

Следствие. Если какой-либо круг Гершгорина изолирован, то он содержит точно одно собственное значение.

Следствие. Если при некотором для всех выполняются неравенства

то круг Гершгорина

содержит точно одно собственное значение.

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что выполнение условий (12.3) гарантирует изолированность круга (12.4) от остальных кругов.

Как уже отмечалось, локализация собственных значений должна осуществляться достаточно простыми средствами. Но круги Гершгорина определяются столь просто, что их можно явно написать и исследовать для любой из матриц вида

где — диагональная матрица. Если элементы матрицы то любое собственное значение К матрицы А будет находиться в одном из кругов

Выбирая подходящим образом матрицу можно изменять радиусы кругов Гершгорина, делать отдельные круги или группы кругов изолированными и т. д. Использование преобразования (12.5) позволяет во многих случаях существенно точнее локализовать собственные значения матрицы А.

В исследованиях, связанных с кругами Гершгорина, всюду рассматривалась матрица А. Однако аналогичные утверждения справедливы и для матрицы А. При этом области (12.1) заменяются на такие:

Они также называются кругами Гершгорина.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)