§ 13. Клеточно-диагональные матрицы

Исследование клеточно-диагональных матриц связано в основном с полной проблемой собственных значений. Известно [1], что любая квадратная матрица подобна клеточно-диагональной матрице, у которой собственные значения различных клеток различные. В частности, такой клеточно-диагональной матрицей является каноническая матрица Жордана. Как уже отмечалось, исследование возмущения матриц общего вида сводится к изучению возмущения клеточно-диагональных матриц.

Пусть даны матрицы размеров соответственно Рассмотрим матричное уравнение

где — искомая матрица размеров Приравнивая элементы правой и левой частей этого уравнения, заключаем, что оно эквивалентно системе из линейных алгебраических уравнений относительно элементов матрицы

Теорема 13.1. Уравнение (13.1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрицы не имеют общих собственных значений.

Доказательство. Для того чтобы уравнение (13.1) имело единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы однородное уравнение

имело лишь нулевое решение. Поэтому, не уменьшая общности, можно ограничиться доказательством теоремы для уравнения (13.2).

Необходимость. Пусть уравнение (13.2) имеет только нулевое решение. Предположим, что при этом К является общим собственным значением матриц Обозначим через х, у собственные векторы матриц соответствующие к, и рассмотрим матрицу ранга единица. Очевидно, что но

Полученное противоречие доказывает, что матрицы не могут иметь общих собственных значений.

Достаточность. Пусть матрицы не имеют общих собственных значений, но уравнение (13.2) имеет ненулевое решение Обозначим через ранг матрицы Ясно, что Матрица эквивалентна [1] матрице где —диагональная матрица, у которой первые диагональных элементов равны единице, а остальные — нулю. Следовательно, существуют такие невырожденные матрицы что

Подставив теперь из (13.3) в уравнение (13.2), получаем, что Сравнение элементов правой и левой частей этого соотношения показывает, что матрицы и являются клеточно-треугольными, причем диагональные клетки, стоящие в левом верхнем углу, равны и имеют порядок Поэтому характеристические многочлены матриц или, что то же самое, матриц имеют общий делитель степени Это противоречит условию, что матрицы не имеют общих собственных значений. Следовательно, уравнение (13.2) не может иметь ненулевого решения.

Рассмотрим клеточно-диагональную матрицу А, клетки которой не имеют общих собственных значений. Пусть — возмущенная матрица. Разобьем матрицу на прямоугольные клетки так, чтобы ее диагональные клетки имели те же размеры, что и соответствующие клетки матрицы А. Обозначим

Будем приводить матрицу подобным преобразованием к клеточно-диагональному виду. Это означает, что нужно найти невырожденную матрицу X и клеточно-диагональную матрицу А, для которых

Конечно, диагональные клетки матрицы А должны иметь те же размеры, что и клетки матрицы А.

Если — нулевая матрица, то X — единичная. Поэтому при малых будем искать матрицу X в виде где малая матрица. Разобьем матрицу на клетки аналогично . Принимая во внимание (10.1), находим

Подберем теперь так, чтобы с точностью до малых второго порядка правая часть полученного соотношения была бы клеточно-диагональной матрицей, аналогичной. Для этого положим

для всех а внедиагональные клетки определим из уравнений

Согласно условию матрицы не имеют общих собственных значений при следовательно, уравнения (13.5) разрешимы. Пусть элементы малы по сравнению с расстояниями между множествами собственных значений матриц при . В этом случае матрицы будут иметь тот же порядок малости, что и Обозначив через клеточно-диагональную матрицу, составленную из диагональных клеток матрицы , получим, что при этом

Формула (13.6) определяет главные члены возмущений собственных значений. Однако аналогичным способом можно получить и более точное соотношение. Пусть матрица

вычисляется согласно (13.4), (13.5). Это означает, что она удовлетворяет уравнению

и имеет тот же порядок малости, что и матрица . Далее находим, что с точностью до членов третьего порядка малости

Итак, с точностью до членов третьего порядка малости матрица матрице с возмущением

Для нахождения клеточно-диагональной матрицы, которой подобна матрица в левой части (13.7), снова воспользуемся асимптотической формулой (13.6), заменяя матрицы соответственно матрицами и . В силу непрерывной зависимости собственных значений от элементов матрицы, клетки при малых не будут иметь общих собственных значений. Поэтому

Это равенство уже верно с точностью до членов третьего порядка малости.

Исследование осуществляется более эффективно, если решение уравнений (13.5) можно написать в явном виде. Рассмотрим один из важнейших случаев, когда матрица диагональная. Не ограничивая общности, можно считать, что каждая из клеток является скалярной матрицей.

Обозначим через и где собственные значения матриц через — элементы матрицы . С точностью до величин второго порядка малости совпадают с собственными значениями клеток (13.6), т. е. получаются путем сдвига собственных значений клеток на диагональные элементы клеток Известно [1], что

сумма квадратов модулей собственных значений матрицы не превосходит квадрата ее евклидовой нормы, поэтому

и заведомо

Полученное соотношение асимптотически верно для любой матрицы Если же матрицы эрмитовы, то оно оказывается верным независимо от величины Для нормальной матрицы асимптотическое неравенство (13.9) переходит в асимптотическое равенство.

В случае диагональной матрицы А уравнения (13.5) легко решаются. Совместно с (13.4) получаем следующие выражения для элементов матрицы Н:

Таким образом, при возмущении элементов диагональной матрицы на величины порядка со все ее собственные значения согласно (13.9) также меняются на величины порядка со. Как показывает (13.10), корневой базис матрицы может быть выбран и упорядочен так, что каждый из его векторов отличается от соответствующего собственного вектора матрицы снова на величину порядка со. Заметим, что нельзя говорить о сравнении базисов из собственных векторов матриц так как матрица может его не иметь.

Для простых собственных значений эти выводы уточняются. Пусть собственное значение матрицы является простым; тогда соответствующие клетки матриц будут иметь первый порядок. Теперь из (13.6) следует асимптотическое равенство для собственного значения возмущенной матрицы. Равенство, верное с точностью до членов третьего порядка, вытекает из (13.8), (13.10). Именно,

Итак, собственное значение матрицы соответствующее простому собственному значению матрицы отличается от ее диагонального элемента лишь на величину порядка . В этом случае формулы (13.10) при дают асимптотические выражения для координат нормированного собственного вектора матрицы соответствующего

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)