§ 27. Теоретические основы разложения

При теоретических исследованиях, связанных с разложением матрицы на множители, широко используется формула Бине — Коши [1]. Согласно принятым в ней обозначениям под выражением мы будем понимать минор матрицы расположенный на пересечении строк и столбцов

Теорема 27.1. Всякую квадратную матрицу А порядка которой отличны от нуля главные миноры, т. е.

можно представить в виде произведения левой треугольной матрицы В на правую треугольную матрицу С. Если

то при этом

Доказательство. Предположим, что разложение (27.1) существует. Используя формулу Бине — Коши, находим

Так как С — правая треугольная матрица, то первые ее столбцов содержат только один отличный от нуля минор порядка, а именно главный минор. Следовательно,

Положив в этой формуле получим

откуда вытекает первая группа соотношений (27.2). С другой стороны,

что доказывает справедливость формулы для коэффициентов Справедливость формулы для коэффициентов устанавливается аналогично.

Таким образом, если разложение (27.1) существует, то с точностью до определения диагональных элементов оно единственно и определяется формулами (27.2). Существование хотя бы одного разложения мы установим несколько позднее.

Следствие. Если матрица А эрмитова и ее главные миноры положительны, то существует разложение

где С — правая треугольная матрица.

Докажем, что в данном случае разложение (27.1) возможно при Так как матрица А имеет положительные главные миноры, то можно взять

где произвольные вещественные числа. Но тогда

Ясно, что матрица С определяется с точностью до умножения слева на диагональную матрицу, все диагональные элементы которой по модулю равны единице.

Следствие. Если для некоторого элементы матрицы А удовлетворяют условиям

то будут равны нулю и элементы матрицы с соответствующими номерами.

В самом деле, рассмотрим, например, элементы матрицы С. Согласно второй группе соотношений

Но в силу равенства нулю элементов столбца матрицы А заключаем, что

откуда и вытекает справедливость высказанного утверждения. Равенство нулю соответствующих элементов матрицы В доказывается аналогично.

Во многих прикладных задачах приходиться иметь дело с «разреженными» матрицами, т. е. матрицами, имеющими много нулевых элементов. Установленное следствие позволяет описать целый класс «разреженных» матриц, треугольные сомножители которых сохраняют специфику «разреженности» исходной матрицы. Пусть матрица А удовлетворяет условию теоремы 27.1 и имеет вид

где все ее ненулевые элементы находятся в заштрихованной области. Граница этой области может быть произвольной, Требуется лишь, чтобы любая вертикальная (горизонтальная) прямая линия имела с правой (левой) частью границы односвязное множество общих точек. Как вытекает из второго следствия теоремы 27.1, треугольные сомножители будут иметь аналогичный вид. Именно

Все ненулевые элементы матриц находятся в заштрихованных областях, границы которых такие же, как у матрицы А.

Рассмотренное свойство матриц (27.3) позволяет получить два важных следствия. Пусть матрица — ленточная и если или для некоторых целых неотрицательных чисел . В этом случае

матрица В в разложении (27.1) будет левой ленточной, матрица С — правой ленточной. При этом О, если если Если матрица правая (левая) почти треугольная, то разложении (27.1) матрица будет левой (правой) двухдиагональной.

Теорема 27.2. Всякую невырожденную квадратную матрицу А порядка можно представить в виде произведения унитарной матрицы на правую треугольную матрицу , т.е.

При этом

где произвольные вещественные числа.

Доказательство. Пусть разложение (27.5) существует; тогда матрица С должна удовлетворять уравнению

Матрица эрмитова и ее главные миноры положительны, поэтому согласно первому следствию теоремы 27.1 матрица С может быть определена из уравнения (27.7). Представим матрицу А в виде Принимая во внимание (27.7), имеем

Следовательно, матрица унитарная и возможность разложения (27.5) доказана.

Матрица определяется с точностью до умножения слева (справа) на диагональную матрицу, все элементы которой по модулю равны единице. Формулы (27.6) получаются непосредственно из соответствующих формул теоремы 27.1 и ее следствия.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)