Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. Особенности представления чисел на ЭВМКак уже отмечалось, современные вычислительные машины оперируют лишь с конечными р-ичными дробями. Далеко не всегда результат выполнения арифметической операции над конечными дробями является конечной дробью. Примерами могут служить операции деления, извлечения корня и т. п. Но даже если результат и будет конечной дробью, его чаще всего нельзя точно представить в том виде, который принят на ЭВМ. Это относится к форме записи чисел как с фиксированной, так и с плавающей запятой; примером может служить операция умножения чисел. Таким образом, при запоминании почти всех чисел в ЭВМ в сами числа вносится некоторая ошибка, связанная с их округлением. Ясно, что Появление ошибок округления чисел неизбежно в любой современной ЭВМ. Величина этих ошибок зависит от конкретной реализации операции округления и от принятой формы представления чисел. Конечно, за счет различных технических решений можно в какой-то мере влиять на ошибки округления. Однако есть некоторые принципиальные ограничения, связанные с их величиной. Эти ограничения нельзя преодолеть никакими техническими средствами, если оставаться в рамках существующих идей представления чисел на ЭВМ. Обозначим через
где
Обозначим, далее, через
Величина
При больших На любой ЭВМ для некоторого множества чисел будем иметь В самом деле, сколько бы ни отводилось базисных элементов под изображение порядка чисел, их всегда будет конечное число. Пусть под порядок без знака отводится
Итак, с формальной точки зрения почти все ненулевые числа
заведомо нельзя представить в ЭВМ с плавающей запятой, соблюдая соотношение (4.4). Такие числа могут появиться в процессе вычислений. Например, они появляются после перемножения любых двух чисел х, у, удовлетворяющих соотношениям
При этом сами числа х, у не принадлежат интервалу (4.5). Числа из (4.5) необходимо заменять какими-то числами, представимыми в ЭВМ. Выход из создавшегося положения, по существу, единственный. Так как
Несмотря на «малость» интервала (4.5), с подобными числами приходится проводить вычисления значительно чаще, чем может показаться на первый взгляд. Как будет установлено в дальнейшем, именно к таким вычислениям приводят многие важнейшие численные методы линейной алгебры. Тот факт, что числа (4.5) нельзя представить в ЭВМ с приемлемой относительной точностью, заставляет преодолевать немало трудностей при реализации методов на ЭВМ. Для современных ЭВМ величина
На ЭВМ, работающей с фиксированной запятой, обычно допускаются числа, не превосходящие по модулю единицы, на ЭВМ с плавающей запятой,— не превосходящие Отмеченные особенности представления чисел не могут быть устранены какими-либо техническими средствами. Можно сконструировать ЭВМ со сколь угодно малым числом со. Но все равно оно будет отлично от нуля Можно построить ЭВМ, у которой операция округления будет реализована самым лучшим способом, но оценки (4.2), (4.6) при этом все равно не будут улучшены. Нельзя избежать, по существу, и переполнения. Чтобы не заниматься излишними деталями, связанными с особенностями представления чисел на конкретных ЭВМ, всюду в дальнейшем будет предполагаться выполнение оценок (4.2), (4.6). Операцию округления с такими оценками будем называть правильной. Правильное округление обладает существенными достоинствами. Тем не менее на многих, если не большинстве, современных ЭВМ по тем или иным причинам округление не реализуется правильно. При этом в оценках типа (4.2), (4.4) справа появляется дополнительный множитель
В действительности последствия неправильной реализации операции округления значительно серьезнее» чем просто потеря некоторого числа разрядов. УПРАЖНЕНИЯ(см. скан)
|
1 |
Оглавление
|