§ 49. Апостериорные оценки точности

В общем случае нельзя найти эффективные априорные оценки точности решения проблемы собственных значений, особенно в отношении собственных векторов. Однако по приближенным собственным значениям и собственным векторам иногда удается получить достаточно хорошие апостериорные оценки.

Пусть а — нормальная матрица. Обозначим через ее собственные значения, через соответствующие ортонормированные собственные векторы. Предположим, что приближенно вычислено собственное значение и собственный вектор Рассмотрим невязку

Если

то

и в силу ортонормированности векторов

Обозначим через целочисленное множество, для которого выполняется неравенство

через натянутое на собственные векторы для которых Ясно, что проекция вектора на задается формулой

Если то из (49.2) вытекает

Следовательно,

Для нормальной матрицы величина легко оценивается по приближенно вычисленным собственным значениям и априорно известной оценке эквивалентного возмущения матрицы А. Поэтому неравенство (49.4) представляет собой эффективную апостериорную оценку точности собственных векторов нормальной матрицы.

Оценка (49.4) зависит от величины нормы невязки. Если задан вектор то можно выбрать число так, чтобы невязка имела наименьшую норму. Имеем

Очевидно, что минимальное значение нормы невязки достигается при

Правая часть этого равенства называется отношением Рэлея, соответствующим вектору Если

то всегда

Отношение Рэлея определено для любой матрицы, но особое значение оно имеет для нормальной.

Предположим, что при некотором номере соответствующее отношение Рэлея удовлетворяет условию

Согласно (49.1), (49.5) находим

Следовательно,

откуда

Аналогично (49.3) получаем

поэтому окончательно будем иметь

Итак, при отношение Рэлея приближает изолированное собственное значение нормальной матрицы с точностью порядка

Вычисление отношений Рэлея дает возможность не только более точно находить отдельные собственные значения, но и оценить их погрешность. Мы не можем так же просто уточнить отдельные собственные векторы нормальной матрицы. Отношение Рэлея позволяет лишь несколько улучшить оценку (49.4), заменив ее более точной оценкой

Для ненормальной матрицы трудно получить даже апостериорные оценки точности, Чтобы лучше понять

причину возникновения трудностей, определим главные члены поправок к приближенному решению проблемы собственных значений, выразив их через известные величины.

Пусть собственные значения матрицы попарно различны. Обозначим через нормированные собственные векторы матриц Имеем

Если известны приближенные величины то

где все поправки, вообще говоря, малы.

В силу предположения о попарном различии собственных значений векторы будут линейно независимыми. Поэтому можно представить как суммы

Здесь близки к единице, а остальные коэффициенты малы.

Собственные векторы определяются с точностью до скалярного множителя. Следовательно, можно считать, что Теперь

Рассмотрим невязки

Подставив в первое уравнение (49.7) значения из (49.8) и отбросив члены второго порядка малости, получим

Далее находим

Точные векторы ортогональны [1] при поэтому с точностью до членов первого порядка малости. Умножая (49.9) скалярно на и учитывая (49.10), будем иметь

Отсюда следует, что

Аналогичная формула справедлива и для коэффициентов определяющих поправку

Из первой формулы (49.11) вытекает, .что с точностью до членов второго порядка малости

Правая часть этого равенства называется обобщенным отношением Рэлея. Оно сноэа дает возможность более точно находить отдельные собственные значения. Однако из-за неортогональности системы собственных векторов матрицы А теперь нельзя получить гарантированные оценки точности типа (49.6).

Если матрица А нормальная, то можно считать, что а система векторов близка к ортонормированной. В этом случае

Пусть

Из вторых формул (49.11) легко получаем неравенство в

основном совпадающее с (49.4).

Если матрица А не является нормальной, то все поправки в (49.11), (49.12) для ненормированных векторов по существу, пропорциональны величинам

Число принято называть коэффициентом перекоса матрицы А, соответствующим собственному значению Для вещественных векторов где есть угол между Ясно, что всегда 1.

Трудности получения гарантированных апостериорных оценок точности для ненормальной матрицы связаны с тем, что ее коэффициенты перекоса могут быть как угодно большими. Поэтому формулами (49.11), (49.12) можно пользоваться лишь тогда, когда априори известно, что все коэффициенты перекоса не очень велики. В этом случае формулы (49.11), (49.12) позволяют не только более точно найти собственные значения и собственные векторы, но и оценить главные члены ошибок.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)