§ 21. Последовательность преобразований отражения

Выполнение последовательности преобразований отражения является составной частью многих численных методов линейной алгебры. При этом почти всегда преобразуются не все координаты вектора, а только часть из них.

Рассмотрим вектор и построим преобразование отражения, изменяющее лишь координаты в позициях Не ограничивая общности, можно считать, что это последние координаты вектора. В самом деле, пусть - такая матрица перестановок, что все координаты, подлежащие преобразованию, являются последними для вектора Если искомая матрица отражения, то легко проверить, что

Матрица в круглых скобках является также матрицей отражения и умножение на нее вектора изменяет только последние координат

Итак, пусть преобразование с матрицей меняет последние координат вектора Представим векторы в блочном виде,

где векторы имеют размерность Так как

то для того, чтобы в векторе изменялись лишь последние координат, необходимо и достаточно, чтобы Но в этом случае матрица будет иметь такое строение:

Матрица, стоящая в нижнем правом углу, есть матрица отражения порядка Определяющие ее вектор и число V находятся только по изменяющимся координатам вектора Всюду в дальнейшем, говоря о преобразовании части координат, мы будем подразумевать в действительности умножение на матрицу отражения вида (21.1). При этом остаются в силе все полученные ранее оценки ошибок с заменой, конечно, нормы вектора на норму вектора и числа на число Но так как то прежние оценки остаются в силе и в своем первоначальном виде.

Предположим теперь, что над вектором выполняется преобразований отражения с матрицами Мы не будем сейчас интересоваться способом вычисления этих матриц, но будем считать, что выполняются оценки (20.8), (20,16), (20.20). Обозначим для всех к, причем Ясно, что

где -Эквивалентное возмущение преобразования отражения с матрицей Последовательно используя соотношение (21.2) и учитывая близость матриц к ортогональным, получаем

где

Снова видим, что вектор реально полученный после выполнения последовательных преобразований отражения, можно рассматривать как вектор, полученный после точного выполнения тех же преобразований над

возмущенным вектором причем для эквивалентного возмущения справедливо соотношение (21.3). Так как матрицы близки к ортогональным, то

Если ни одна из матриц не строилась по векторам то согласно (20.16)

Довольно часто мы будем иметь дело с последовательностью матриц одна из которых строится по какому-то из векторов . В этом случае, учитывая (20.20), получаем

За исключением особых случаев, преобразуемый вектор не будет малым. Поэтому можно считать, что выполняется соотношение . В этом случае вместо оценки (21.4) будем иметь

Для оценка (21.5) заменяется такой:

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)