§ 33. Некоторые замечания

Любое разложение матрицы на множители с формальной точки зрения можно получить следующим способом. Будем считать элементы сомножителей неизвестными величинами. Перемножим сомножители и приравняем элементы произведения к элементам исходной матрицы. Это даст некоторую систему нелинейных уравнений относительно неизвестных элементов. Добавим к данной системе уравнения, определяющие вид сомножителей. Решая теперь полученную систему, найдем элементы искомого разложения.

Мы уже встречались с таким способом получения треугольного разложения, рассматривая компактную схему метода Гаусса. Можно отметить еще возможность приведения квадратной матрицы к почти треугольной с помощью подобного треугольного преобразования [5]. Однако в большинстве других случаев возникающие при этом системы нелинейных уравнений оказываются столь сложными, что прямое их решение становится неэффективным.

Наиболее эффективное разложение матрицы на множители связано с выполнением последовательности исключений элементов с помощью умножения на элементарные матрицы. Конечно, такие процессы в действительности эквивалентны решению нелинейных систем уравнений, описывающих разложение матрицы. Геометрическая и алгебраическая интерпретация преобразований исключения лишь подсказывают рациональный путь решения этих систем. Отметим, что все рассмотренные нами до сих пор разложения основаны именно на процессах исключения. Лишь разложение, получаемое с помощью процесса ортогонализации, построено на другой идее.

В вычислительной практике используется небольшое число различных типов элементарных матриц. В первую очередь следует назвать элементарные унитарные матрицы — матрицы отражения и матрицы вращения. Среди неунитарных элементарных матриц можно выделить матрицы, отличающиеся от единичной недиагональными элементами в одном столбце или в одной строке. Все остальные элементарные матрицы, как правило, являются частными случаями этих матриц. С некоторыми из них мы уже имели дело. Это матрицы (21.1), (24.3), (24.9).

Многие разложения на множители прямо или косвенно связаны с разложением на множители унитарной и треугольной матриц. Эти разложения осуществляются не единственным способом и, конечно, не все они равноценны с точки зрения влияния ошибок округления. Для исследования таких разложений полностью применим рассмотренный ранее общий анализ ошибок.

Остановимся на двух разложениях, использующих неунитарные элементарные матрицы. Эти разложения существуют для любых квадратных матриц с ненулевыми главными минорами и имеют много общего с треугольным разложением.

Обозначим через матрицы, которые отличаются от единичной лишь недиагональными элементами в столбце. Выберем так, чтобы в матрице обратились в нуль все недиагональные элементы первого столбца. Построение матрицы осуществляется так же, как в методе Гаусса. Затем выберем из условия обращения в нуль недиагональных элементов второго столбца матрицы Ясно, что при этом первый столбец останется без изменения. После выполнения шагов придем к диагональной матрице где

Отсюда следует, что

Обращение матриц и матрицы осуществляется совсем просто и мы получаем разложение на множители не только матрицы А, но и матрицы

Описанный процесс получил название — метод Жордана для разложения матрицы на множители [2]. Можно показать, что он эквивалентен последовательному выполнению разложения на треугольные множители по методу Гаусса и последующему разложению правой треугольной матрицы на элементарные неунитарные матрицы. Метод Жордана уступает по скорости выполнения и точности методу Гаусса. Наиболее часто он находит применение в задачах, связанных с обращением матриц.

Рассмотрим далее матрицы которые отличаются от единичной лишь элементом в позиции Если и для какого-нибудь элемент матрицы А

не равен нулю, то, выбирая подходящим образом значение можно исключить элемент матрицы в позиции Исключая элементы в различном порядке, можно получить огромное количество разложений матрицы А в произведение матриц типа рассмотренные ранее элементарные неунитарные матрицы раскладываются в произведение матриц поэтому сюда включается и разложение по Гауссу и разложение по Жордану.

Особого внимания заслуживает то из разложений, которое получается при реализации метода оптимального исключения [2]. Оно выполняется за такое же число арифметических операций, что и треугольное разложение по методу Гаусса. При этом само разложение более содержательно, чем треугольное разложение. Данное разложение позволяет более эффективно использовать память ЭВМ при решении систем линейных алгебраических уравнений. Однако по точности оно уступает треугольному разложению. Процесс разложения состоит из последовательного умножения слева на матрицы

причем умножение на каждую матрицу сопровождается исключением элемента в позиции

Процессы исключения элементов можно использовать для подобного преобразования квадратной матрицы к более простому виду. Некоторые из таких процессов мы уже рассмотрели в § 32. Они составляют основу так называемых прямых методов решения полной проблемы собственных вначений и позволяют определять коэффициенты характеристического многочлена матрицы. Значительное число этих методов описано в [6].

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)