§ 15. Сингулярное разложение

Продолжим исследование возмущения клеточно-диагональной матрицы, однако на этот раз в связи с сингулярным разложением. Новые результаты будут иметь много общего с полученными ранее. Существенное различие заключается лишь в том, что теперь мы рассматриваем только унитарные преобразования матрицы.

Пусть даны матрицы размеров соответственно и система матричных уравнений

где искомые матрицы размеров

Теорема 15.1. Система (15.1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрицы не имеют общих сингулярных чисел.

Доказательство. Преобразуем систему (15.1) в эквивалентную, но более простого вида. Для существуют сингулярные разложения

где диагональные матрицы с неотрицательными элементами а остальные матрицы — унитарные. Подставив разложения (15.2) в (15.1) и выполнив несложные преобразования, приходим к системе

Здесь

Очевидно, что достаточно исследовать систему (15.3). Но сравнивая элементы ее правых и левых частей, заключаем, что она распадается на системы второго порядка относительно элементов матриц Определители этих систем отличны от нуля тогда и только тогда, когда для всех Отсюда и вытекает утверждение теоремы.

Рассмотрим квадратную клеточно-диагональную матрицу клетки которой не имеют общих сингулярных чисел. Пусть — возмущенная матрица. Разобьем матрицу на прямоугольные клетки так, чтобы ее диагональные клетки имели те же размеры, что и соответствующие клетки матрицы Будем приводить матрицу к клеточно-диагональному виду с помощью унитарных преобразований. Это означает, что нужно найти унитарные матрицы и клеточно-диагональную матрицу для которых

При этом предполагается, что клетки матрицы имеют те же размеры, что и клетки матрицы

Будем опять искать матрицы как возмущенные единичные матрицы, т. е. в виде сумм где — малые матрицы. Так как должны быть унитарными, то асимптотически будут косоэрмитовыми. Эти матрицы мы разобьем на клетки по тому же принципу, что и . Имеем

Подберем матрицы так, чтобы с точностью до малых второго порядка малости правая часть полученного соотношения была бы клеточно-диагональной матрицей. Для этого положим

для всех а внедиагональные клетки определим из систем

В силу условий на матрицы

поэтому в действительности будем иметь системы

Матрицы и не имеют общих сингулярных чисел при следовательно, системы (15.5) разрешимы. Предположим, что элементы малы по сравнению с расстояниями между множествами сингулярных чисел матриц при . В этом случае матрицы Ты будут иметь тот же порядок малости, что и

Пусть клеточно-диагональная матрица, составленная из диагональных клеток Матрицы удовлетворяют уравнению поэтому при этом, конечно,

Формула (15.6) определяет главные члены возмущений сингулярных чисел, а решения систем (15.5) — главные члены возмущений сингулярных векторов. Снова исследование осуществляется более эффективно, если решение систем (15.5) можно написать в явном виде.

Предположим, что матрица — диагональная с неотрицательными элементами, расположенными в порядке невозрастания. В этом случае все ее клетки являются скалярными матрицами. Напомним, что с помощью унитарных преобразований к такому виду можно привести любую матрицу. Обозначим через сингулярные числа матриц , через — элементы матрицы . Теперь системы (15.5) легко решаются. Совместно с (15.4)

получаем следующие выражения для элементов матриц :

Оценим возмущение сингулярных чисел матрицы или, что то же самое, отклонение сингулярных чисел матриц от диагональных элементов матриц Известно [1], что сингулярные числа любой квадратной матрицы А совпадают с собственными значениями матрицы Матрицы по предположению, скалярные, поэтому для имеем

Если же

Матрица

получена путем эрмитова возмущения диагональной матрицы Для оценки возмущений ее собственных значений можно воспользоваться соотношением (13.9). В случае (15.9) мы примем во внимание то, что сумма квадратов всех сингулярных чисел равна квадрату евклидовой нормы матрицы. Учитывая сказанное, получаем

и, конечно,

Итак, при возмущении элементов матрицы на величины порядка со все ее сингулярные числа согласно (15.10)

также меняются на величины порядка . Как показывают (15.7), (15.8), сингулярные векторы матрицы могут быть выбраны и упорядочены так, что они отличаются от соответствующих сингулярных векторов матрицы снова на величины порядка . Правильность соотношения (15.11) была установлена лишь при малых . В действительности оно выполняется независимо от величины возмущения.

В этих исследованиях предполагалось, что матрица квадратная. Если — прямоугольная, то изменения невелики. Действительно, дополним матрицы нулевыми столбцами (строками) до квадратной. Из формул (15.7), (15.8) вытекает, что элементы матрицы (матрицы появившиеся за счет такого расширения, будут равны нулю. Следовательно, формулы (15.7), (15.8), (15.10) имеют место и в случае прямоугольной матрицы если «несуществующие» элементы матриц считать нулевыми.

Единственное отличие заключается в несколько ином виде матрицы . В ней теперь останутся все элементы ниже (правее) диагональных элементов, соответствующих нулевым сингулярным числам матрицы

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)