§ 20. Преобразование отражения

Предположим, что в пространстве задана плоскость с единичным нормальным вектором Возьмем произвольный вектор и преобразуем его по правилу

отражения от плоскости . Если представить в виде суммы где перпендикулярен до, а у — коллинеарен до, то отраженный вектор будет иметь такой вид:

Рис. 20.1.

Преобразование является линейным и для его матрицы можно указать явный вид. Именно,

В самом деле, если , где а — число, то

Преобразование отражения имеет -мерный аналог, причем не только вещественный, но и комплексный. Пусть — единичный вектор, т. е. Построим матрицу

и рассмотрим преобразование

По аналогии с трехмерным случаем это преобразование называется преобразованием отражения, а его матрица — матрицей отражения.

В трехмерном вещественном случае преобразование отражения является ортогональным, так как, очевидно, оно сохраняет длины всех векторов. В общем случае матрица отражения не только унитарная, но и эрмитова. Действительно,

Легко проверить, что преобразование (20.1) оставляет без

изменения все векторы, ортогональные и меняет на противоположные векторы, коллинеарные

Для запоминания матрицы отражения и выполнения преобразования (20.1) совсем не обязательно иметь элементы матрицы в явном виде. Если преобразование отражения (20.1) выполнятй по формуле

то для его реализации достаточно знать лишь координаты вектора

Формула (20.2) показывает одно интересное свойство преобразования отражения. Именно, определяющий его вектор коллинеарен разности образа и прообраза. Следовательно, он может быть восстановлен по этой разности с точностью до числового множителя, равного по модулю единице, если, конечно, сама разность не является нулевой. Заметим, что умножение вектора на любое число, по модулю равное единице, не меняет преобразования отражения.

Один из важнейших способов построения матрицы отражения связан с ее восстановлением по образу и прообразу. Пусть заданы ненулевые векторы , причем — единичной длины. Подберем, такой вектор чтобы соответствующее преобразование отражения переводило вектор в вектор, коллинеарный т. е. Искомое преобразование унитарное, поэтому Как уже отмечалось, вектор должен иметь вид

где нормирующий множитель. Имеем

Чтобы разность была заведомо отличной от нуля, выберем аргумент числа а так, чтобы скалярное произведение было отрицательным. Тогда Но теперь проверяем, что

Наиболее часто в качестве вектора берется один из координатных векторов. Предположим, например,

что . Обозначим через координаты векторов . В этом случае

и, далее,

Для повышения устойчивости реальные вычисления будем выполнять по следующей схеме. Пусть Определяем координаты вектора

и положим

Если то будем считать, что есть какое-то число, по модулю равное единице. Теперь матрицу отражения можно представить в виде

где координаты вектора определены согласно (20.3), а Если то берем Ясно, что всегда

Исследуем ошибки, возникающие при вычислении вектора и числа у. Будем считать, что вычисляется с удвоенной точностью, т. е.

Если при вычислении используется алгорифм, описанный в § 7, то

Пусть ; тогда находим

Величина у не может быть малой, следовательно, удовлетворяет неравенству вида (20.5). Если то это означает, что

Оценим отклонение вычисленной матрицы от унитарной. Предположим, что величин равны — 1. Пусть

Имеем

Согласно Далее,

где удовлетворяет неравенству вида (20.5). Поэтому

Теперь находим

Так как то, принимая во внимание оценки для получаем

Следовательно,

Вычисленная матрица отражения

всегда эрмитова. Легко проверить, что ее собственными векторами являются вектор и любой вектор, ортогональный 0, а собственными значениями число раз число Обозначим через О унитарную матрицу, имеющую такие же собственные векторы, а собственные значения соответственно число — раз число Если то есть эрмитова матрица ранга 1 и ее единственное ненулевое собственное значение равно —6. Учитывая оценку для заключаем, что

как для -нормы, так и для евклидовой нормы. Отсюда, в частности, следует, что

Рассмотрим теперь влияние ошибок округления на процесс реализации преобразования отражения. Пусть это преобразование выполняется согласно формуле

Будем считать, что при вычислении используется операция накопления. Имеем

Здесь координаты вектора координаты вычисленного вектора Обозначим

Если ни одна из ошибок в (20.11) не равна —1, то

несложные вычисления, учитывающие (20.8), показывают, что

В общем случае в правую часть оценки (20.13) добавляется слагаемое, зависящее от со. Предположим, что Тогда все остальные ошибки оказываются равными нулю и мы получим

Величины не могут быть равны — 1 одновременно. Если то Но отсюда вытекает, что Таким образом, равенство минус единице некоторых величин приводит к увеличению правой части (20.13) не более, чем на Принимая во внимание (20.14), заключаем, что всегда

Полученные соотношения позволяют выполнить обратный анализ ошибок. Из (20.12) следует, что

где Но согласно (20.10), (20.15)

При точных вычислениях образом вектора по которому строилась матрица отражения, является вектор . В практических вычислениях вектор находят не по формулам (20.11), а считают, что

Пусть

где эквивалентное возмущение. Оценим норму вектора

Вектор есть прообраз вектора при преобразовании с матрицей 0, поэтому Но легко проверить, что

или, принимая во внимание (20.8),

Следовательно,

Обозначим через координаты вектора . Из (20.6), (20.19) находим, что для

Далее,

Теперь получаем оценку

для и оценку

для Из этих оценок вытекает, что всегда

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)