ГЛАВА IV. ПРЯМОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА МНОЖИТЕЛИ

Разложение произвольной матрицы на множители позволяет во многих случаях свести решение исходной алгебраической задачи к последовательному решению нескольких аналогичных задач, но с более простыми матрицами. В этой главе мы будем изучать прямые методы разложения матриц, т. е. такие методы, которые реализуются за конечное число арифметических операций.

§ 26. Матрицы специального вида

Разложение матриц, как правило, основано на последовательном их преобразовании к матрицам, имеющим значительное число нулевых элементов. Такие матрицы обладают целым рядом специфических свойств. Мы опишем сейчас некоторые из этих матриц.

Треугольные матрицы. Матрица А называется правой (левой) треугольной, если для ее элементов выполняются соотношения

Треугольные матрицы имеют много замечательных свойств, в силу которых они широко используются в построении самых различных методов решения задач алгебры. Так, например, для квадратных матриц сумма и произведение одноименных треугольных матриц есть треугольная матрица того же наименования, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов, собственные значения треугольной матрицы совпадают с ее диагональными элементами, треугольная матрица легко обращается и обратная к ней также будет треугольной.

Иногда приходится рассматривать треугольные матрицы, элементы которых удовлетворяют соотношениям

Эти матрицы отличаются от рассмотренных выше лишь перестановкой строк и столбцов и не имеют специальных названий.

Треугольные матрицы с нулевыми диагональными элементами называются строго треугольными.

Трапецевидные матрицы. Правая (левая) треугольная матрица А называется правой (левой) трапецевидной, если существует такое число что

и все строки (столбцы) матрицы, начиная с являются нулевыми.

Исследование свойств трапецевидных матриц осуществляется проще, если сами матрицы представить в клеточном виде. Пусть

где квадратная клетка порядка Если А есть правая трапецевидная, то будет правой треугольной невырожденной матрицей, а клетки либо отсутствуют, либо нулевые. Если же — левая трапецевидная, то левая треугольная и невырожденная, а отсутствуют или являются нулевыми клетки

Нетрудно установить, что произведение трапецевидных матриц одного наименования и одного ранга будет снова трапецевидной матрицей того же наименования и того же ранга. Сумма трапецевидных матриц, вообще говоря, не обладает аналогичным свойством, так как при сложении матриц диагональные элементы могут стать нулевыми.

Среди трапецевидных матриц выделяют так называемые нормализованные трапецевидные матрицы. Они отличаются тем, что наибольшие по модулю элементы в среднем расположены ближе к верхнему левому углу. Точнее, если левая нормализованная трапецевидная матрица, то для ее элементов должны выполняться соотношения

при всех Для правой нормализованной трапецевидной матрицы должны выполняться соотношения

Отсюда, в частности, вытекает, что у нормализованной трапецевидной матрицы диагональные элементы расположены в порядке убывания модулей. Кроме этого, каждый диагональный элемент является наибольшим по модулю в своем столбце для левой матрицы и в своей строке — для правой матрицы.

Двухдиагональные матрицы. Матрица А называется правой (левой) двухдиагональной, если для ее элементов выполняются соотношения

Конечно, двухдиагональные матрицы обладают всеми свойствами треугольных матриц. Дополнительно для квадратных двухдиагональных матриц отметим, что теперь можно указать простые формулы для элементов обратной матрицы. Если, например; А — правая двухдиагональная матрица и элементы то легко проверить, что

Почти треугольные матрицы. Матрица А называется правой (левой) почти треугольной, если для ее элементов выполняются соотношения

Сумма одноименных почти треугольных матриц будет матрицей почти треугольной, а произведение — нет. Легко находится характеристический многочлен почти треугольной матрицы А порядка Например, для правой почти треугольной матрицы он может быть вычислен по рекуррентной формуле

Здесь

В справедливости формулы (26.3) можно убедиться посредством разложения определителя (26.4) по элементам последнего столбца. С практической точки зрения более удобна другая запись формулы (26.3). Именно,

Ленточные матрицы. Матрица называется ленточной, если ее элементы удовлетворяют соотношениям

для некоторых неотрицательных чисел . В случае матрица называется левой ленточной, в случае правой ленточной.

Среди ленточных матриц особое место занимают трехдиагональные эрмитовы матрицы. Для элементов таких матриц выполняются соотношения

Теперь формула (26.3) приобретает весьма простой вид:

Рассмотренные выше свойства матриц специального вида не исчерпывают полностью всех свойств этих матриц. Другие свойства мы будем изучать по мере необходимости.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)