§ 31. Разложение прямоугольных матриц

Рассмотренные выше вычислительные алгорифмы разложения матрицы на множители были описаны в основном на примерах квадратных матриц. Однако многие из них без изменения могут быть применены и к общим прямоугольным матрицам. Тем не менее мы все же рассмотрим этот случай несколько подробнее, обратив особое внимание на алгорифмы, которые для разложения прямоугольных матриц используются наиболее часто.

Любое разложение матрицы на множители в конечном счете сводится к ее эквивалентному преобразованию. При этом для решения большинства алгебраических задач необходимо, чтобы по виду окончательной матрицы можно было бы легко установить положение базисного минора. По существу, именно этим требованием и определяется наше стремление привести исходную матрицу к треугольному виду.

Если матрица удовлетворяет условиям теоремы 27.1, то единственный нулевой диагональный элемент треугольной Матрицы может находиться только в конце диагонали. Поэтому базисный минор будет расположен в тех строках и столбцах треугольной матрицы, которые содержат ненулевые диагональные элементы. Если же исходная матрица произвольная, то формальное применение рассмотренных ранее алгорифмов может дать такую треугольную матрицу,

в которой нулевые диагональные элементы могут находиться в самых различных местах и не обязательно подряд или в конце диагонали. В этом случае определение базисного минора затруднительно и требует дополнительных вычислений. Для преодоления данных трудностей снова оказывается полезным использование перестановок.

Пусть А — прямоугольная матрица размеров и ранга Применим к этой матрице процесс метода Гаусса с выбором ведущего элемента по всей матрице. Тогда после шагов мы получим правую трапецевидную матрицу

где — правая треугольная матрица порядка с ненулевыми диагональными элементами. Если или то в матрице будет отсутствовать соответственно последний клеточный столбец или последняя клеточная строка. Исходная матрица А может быть приведена и к левой трапецевидной матрице

если процесс метода Гаусса с выбором ведущего элемента по всей матрице применить к транспонированной матрице Напомним, что базисным минором трапецевидной матрицы заведомо является ее минор порядка в верхнем левом углу.

Для приведения прямоугольной матрицы А к трапецевидной можно использовать и унитарные преобразования. Выберем в А столбец с максимальной суммой квадратов модулей элементов и поставим его на место первого столбца. Если таких столбцов окажется несколько, то среди них возьмем столбец с наименьшим возможным номером. Теперь с помощью умножения слева на подходящим образом выбранную матрицу отражения или последовательность матриц вращения исключим лоддиагональные элементы нового первого столбца. Пусть уже получена матрица, у которой первые столбцов, являются столбцами трапецевидной матрицы. Среди всех ее столбцов, кроме первых выберем тот, который имеет максимальную сумму квадратов модулей элементов, не входящих в

первые строк полученной матрицы. Если таких столбцов окажется несколько, то среди них возьмем столбец с наименьшим возможным номером. Переставим выбранный столбец на место столбца и исключим его поддиагональные элементы с помощью умножения слева на подходящую матрицу отражения или последовательность матриц вращения. После выполнения таких шагов мы получим правую трапецевидную матрицу. Более того, как видно из ее построения, она будет и нормализованной. Применение этого процесса к матрице А позволяет привести матрицу А к левой нормализованной трапецевидной форме.

Прямоугольную матрицу можно приводить с помощью унитарных преобразований не только к трапецевидной, но и к двухдиагональной матрице. В самом деле, выберем матрицу отражения таким образом, чтобы в матрице обратились в нули элементы первого столбца, лежащие ниже диагонали. Затем выберем матрицу отражения так, чтобы элементы первого столбца матрицы остались бы без изменения, а элементы первой строки, лежащие правее элемента в позиции (1.2), стали нулевыми. Умножая поочередно слева и справа на матрицы отражения и исключая элементы в таком порядке:

мы придем к правой двухдиагональной матрице Начиная исключение с элементов первой строки, можно аналогичным способом привести исходную матрицу левой двухдиагональной матрице. Двухдиагональная матрица связана с исходной матрицей А соотношением

где — унитарные матрицы. Конечно, в этом процессе можно использовать и матрицы вращения.

Мы не будем проводить какие-либо исследования ошибок округления в рассмотренных алгорифмах, так как полученные ранее результаты охватывают и случай прямоугольных матриц.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)