§ 14. Матрицы общей структуры

Корни многочлена являются непрерывными функциями коэффициентов. При этом возмущение простых корней имеет тот же порядок малости, что и возмущение самих коэффициентов. Однако кратные корни могут меняться весьма существенно. Собственные значения матрицы совпадают с корнями характеристического многочлена. Следовательно, есть основания предполагать, что кратные собственные значения по сравнению с простыми будут также изменяться значительно.

Полученные результаты пока этого не подтверждают. Более того, оказалось, что все собственные значения

матрицы простой структуры, независимо от их кратности, имеют тот же порядок возмущения, что и матрица.

Согласно (13.6) асимптотическое исследование влияния возмущения матрицы общей структуры сводится к аналогичной задаче для матрицы с одинаковыми собственными значениями. Но такая матрица заведомо подобна матрице вида

Поэтому можно попытаться получить дополнительные сведения, изучая возмущение матриц (14.1).

Влияние возмущения зависит не только от его величины, но и от того, где оно сосредоточено. Предположим, что возмущается лишь один элемент в позиции на величину Если то все собственные значения остаются без изменения; если то на меняется лишь одно собственное значение; если же то меняются собственных значений.

Вычисляя характеристический многочлен возмущенной матрицы (14.1), нетрудно установить, что изменившиеся собственные значения являются корнями многочлена

Отсюда вытекает, что в общем случае наибольшее влияние на собственные значения оказывает возмущение, находящееся в позиции По порядку зависимости оно такое же, как и для кратных корней многочлена. При этом матрица (14.1) должна представлять собой канонический ящик Жордана.

Таким образом, большие по порядку возмущения собственных значений матрицы действительно могут иметь место. Но это связано только с наличием клеток Жордана в структуре матрицы.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)