§ 47. Определение собственных векторов

Рассмотренные численные методы решения проблемы собственных значений лучше приспособлены для определения собственных значений, чем собственных векторов. Так, например, применение метода вращений или -адгорифма для нахождения собственных векторов

заставляет дополнительно вычислять и запоминать матрицу результирующего преобразования подобия. Эта операция оказывается очень невыгодной, если нужно определить лишь несколько векторов. К тому же вычисление матрицы преобразования усложняет численный метод. Особенно усложняется -алгорифм, так как теперь в нем гораздо труднее осуществлять переход к матрицам меньших размеров при появлении нулевых поддиагональных элементов. Применение метода бисекций вообще не дает никакой явной информации относительно собственных векторов.

Все эти причины побуждают нас более внимательно рассмотреть задачу определения собственных векторов по предварительно вычисленным собственным значениям.

Предположим, что находятся собственные векторы матрицы А. Возьмем произвольный вектор и построим последовательность векторов

для при некоторых ненулевых числах . Ясно, что

Разложим матрицу А в произведение (45.3) и будем считать, что собственные значения на диагонали матрицы упорядочены согласно (45.5). Тогда имеем

Здесь -диагональная матрица собственных значений.

Пусть в соответствии с есть подпространство, натянутое на первые векторов-столбцов матрицы его ортогональное дополнение. Представим векторы в виде

где Если то из (47.2) следует, что для всех Воспользовавшись результатами и обозначениями § 45, заключаем далее из (47.2), что

Рассмотрим наиболее важные случаи распределения максимальных по модулю собственных значений матрицы А.

1. Все максимальные по модулю собственные значения совпадают и ни один из них не входит в канонический ящик Жордана выше первого порядка.

2. Все максимальные по модулю собственные значения совпадают и некоторые из них входят в канонические ящики Жордана порядка не выше

3. Максимальные по модулю собственные значения вещественной матрицы образуют простую комплексно сопряженную пару.

Из формулы (47.2) получаем, что в первом случае все проекции коллинеарны. Следовательно, с точностью до нормирующего множителя последовательность векторов сходится со скоростью (47.3) к одному из собственных векторов, соответствующих максимальному по модулю собственному значению. Этот собственный вектор определяется только проекцией Меняя вектор можно находить различные собственные векторы.

Во втором случае проекции не будут оставаться коллинеарными, и их положение в изменяется в соответствии с изменением максимальных элементов матрицы Однако при каждом вектор с точностью (47.3) будет близок к некоторому вектору, принадлежащему корневому подпространству, соответствующему максимальному по модулю собственному значению. Вообще говоря, будет иметь место и сходимость к одному из собственных векторов. Однако большого практического значения она не имеет, так как ее скорость всего лишь порядка

Существенно по другому ведет себя последовательность векторов в третьем случае. Ее характерные особенности можно видеть на следующем примере. Пусть в качестве А взята матрица вращения (18.2). Нетрудно проверить, что

и тогда

для некоторого числа Это означает, что при больших к координаты векторов будут осциллировать. Тем не

менее вектор с точностью (47.3) будет близок к некоторому вектору, являющемуся линейной комбинацией комплексно сопряженных собственных векторов, соответствующих максимальным по модулю комплексно сопряженным собственным значениям.

Процесс (47.1) принято называть прямыми итерациями. Он применяется в основном для определения корневого базиса, соответствующего максимальным по модулю собственным значениям. Используя сдвиги, можно несколько увеличить скорость сходимости. Значительного же ускорения нельзя получить, так как невозможно с помощью сдвигов сделать достаточно малым отношение

Прямые итерации можно использовать и для определения корневых векторов, соответствующих минимальным по модулю собственным значениям, если матрицу А в (47.1) заменить матрицей

Обозначим через подпространство, натянутое на последние столбцы матрицы соответствующие согласно (45.5) минимальным по модулю собственным значениям. Возьмем произвольный вектор и построим последовательность векторов

Собственные значения матрицы являются обратными величинами по отношению к собственным значениям матрицы Поэтому в соответствии с изложенным выше близость векторов к корневому подпространству в процессе (47.4) определяется соотношением

С точки зрения скорости сходимости положение изменилось принципиально, так как теперь с помощью сдвигов можно сделать отношение достаточно малым.

При построении векторов из (47.4), как правило, не вычисляют матрицу находят эти векторы путем решения систем линейных алгебраических уравнений

Такой процесс принято называть обратными итерациями. Именно обратные итерации являются одним из самых эффективных численных методов определения корневых

векторов матрицы по предварительно вычисленным ее собственным значениям.

Предположим, что для собственного значения к матрицы известно достаточно точное приближение k. Построим последовательность векторов

исходя из некоторого вектора Пусть означает корневое подпространство матрицы соответствующее k. Если

то, очевидно, что при

На первый взгляд кажется, что влияние ошибок округления в реальных вычислениях должно существенно изменить свойства обратных итераций в процессе (47.5). В самом деле, при реализации этого процесса приходится решать системы уравнений. Конечно, мы можем надеяться на то, что реально вычисленные векторы будут удовлетворять соотношениям вида

где евклидовы нормы Ел, ограничены малыми величинами Если к близко к к матрицы систем (47.6) будут плохо обусловленными. Поэтому вектор из (47.6) будет значительно отличаться от вектора из (47.5). Но тогда вроде бы нельзя ожидать получения из последовательности векторов надежной информации о корневом подпространстве, соответствующем k.

В целом правильные аргументы привели нас к неправильному выводу. Если решение системы (47.5) содержит большую ошибку, то вектор ошибок будет в основном принадлежать именно тому подпространству, которое мы пытаемся определить. Чем больше ошибка в вычисленном векторе, тем с большей точностью этот вектор принадлежит нужному подпространству.

Ошибки округления не могут существенно изменить общую скорость процесса (47.5) и влияют лишь на величину достижимой точности. Теперь

где вообще говоря, отлично от нуля. Покажем, как оценить главный член числа

Согласно теореме Шура [1] существует унитарная матрица для которой матрица является правой треугольной, причем первыми на диагонали С стоят собственные значения, равные . Сделав замену

получим вместо (47.6) соотношение

где

Предположим, что кратность собственного значения равна . В соответствии с результатами теории возмущений существует малая матрица вида

такая, что

является клеточной правой треугольной. Если

то клетки матриц в верхнем левом углу имеют порядок Собственные значения не превосходят по модулю малого числа зависящего от степени близости к Я, величины конечно, от структуры матрицы А. Модули собственных значений В ограничены снизу некоторым числом, близким к а. Сделав очередную замену

получим вместо (47.9) новое соотношение

где

Пусть евклидовы нормы ограничены малыми величинами Для любого вектора до через обозначим векторы, составленные из первых и последних координат Теперь из (47.11) вытекает, что в общем случае

Но тогда из (47.10) следует

Согласно (47.8) справедливы равенства

поэтому из (47.7), (47.12) находим, что

Величина зависит от внутренней структуры матрицы А. Если А имеет базис из собственных векторов, то в соответствии с (13.10) имеем

где есть спектральное число обусловленности матрицы собственных векторов из (45.3). Для нормальных матриц можно считать Следовательно, в этом случае

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)