§ 11. Непрерывность корней алгебраического многочлена

Для некоторых величин в линейной алгебре существуют явные формулы, связывающие их с другими величинами. Например, есть формулы, выражающие определитель матрицы через ее элементы, компоненты решения системы линейных уравнений через определители и т. д. Характер зависимости таких величин исследуется относительно просто, по крайней мере в теоретическом плане.

Однако нельзя получить явные формулы, выражающие корни многочлена выше четвертой степени через его коэффициенты. Следовательно, не могут быть непосредственно исследованы зависимости собственных значений и корневых векторов от элементов матрицы. Ввиду важности решения этих вопросов мы проведем сейчас некоторые исследования. Всюду будем предполагать, что многочлены имеют старшие коэффициенты, равные единице.

Рассмотрим произвольный многочлен степени с комплексными коэффициентами где

Пусть последовательность многочленов

с комплексными коэффициентами сходится к

для всех Эти соотношения мы будем отождествлять в дальнейшем с равенством

Многочлены и имеют по корней, считая каждый из них столько раз, какова его кратность. Но сразу нельзя сказать, как относятся корни многочлена к корням при больших

Лемма 11.1. Для любого многочлена степени и любого комплексного числа по крайней мере один корень находится в круге

Доказательство. Из формул Вьета, связывающих корни многочлена с его коэффициентами, следует, что с точностью до знака произведение всех корней многочлена Поэтому один из корней заведомо находится в круге

Разложим далее многочлен по степеням При этом старший коэффициент останется без изменения, а свободный член будет равен Утверждение леммы теперь является следствием неравенства (11.2).

Обозначим через попарно различные корни многочлена Согласно лемме 11.1 в каждом из кругов

где находится по крайней мере один корень многочлена Значение многочлена в любой точке непрерывно зависит от своих коэффициентов. Следовательно, из (11.1) вытекают такие равенства:

Для всех достаточно больших круги (11.3) не имеют общих точек и корни являются попарно различными. Но тогда

для Если многочлен имеет лишь простые корни, то соотношения (11.4) означают непрерывную зависимость всех его корней от коэффициентов.

Пусть теперь гл и представляют полные наборы корней многочленов и Среди них могут быть равные, однако мы не предполагаем какой-либо связи между кратностями корней

Теорема 11.1. Корни многочленов можно перенумеровать таким образом, что будут выполняться соотношения

для

Доказательство будем проводить методом индукции. Утверждение теоремы справедливо для многочленов первой и второй степени, в чем можно убедиться, исследуя явные формулы, выражающие корни этих многочленов через коэффициенты. Предположим поэтому, что оно справедливо для многочленов степени не выше

Все корни многочлена могут быть равны между собой. Однако из (11.4) следует, что среди корней каждого многочлена можно найти такой корень, например, что соотношение (11.5) будет выполняться для

Обозначим через частные от деления соответственно на Пусть

Из тождества находим, что

Аналогично определяются и коэффициенты многочлена Именно,

Переходя к пределу в правых и левых частях последних соотношений и сравнивая их с (11.6), заключаем, что

Корнями являются числа корнями числа Возможность их упорядочивания согласно утверждению теоремы вытекает из индукционного предположения.

Таким образом, корни алгебраического многочлена являются непрерывными функциями коэффициентов в любой области их изменения.

Доказанная теорема позволяет утверждать, что при малом возмущении коэффициентов многочлена его корни изменяются мало. Однако на существенную малость этого изменения в общем случае рассчитывать нельзя. Действительно, корни всех многочленов и ограничены сверху по модулю некоторым числом Выберем число и пусть для

Так как

то

для всех . Отсюда следует, что существует такой корень что при всех достаточно малых будем иметь

Порядок зависимости от в этом неравенстве достигается. Рассмотрим, например, многочлен Он имеет -кратный корень Многочлен же имеет корни совпадающие с корнями степени из Очевидно, что

Итак, возмущение коэффициентов многочлена на величины порядка может привести к изменению его корней на величины порядка Это явление связано исключительно с наличием кратных корней.

Снова рассмотрим последовательность многочленов сходящуюся к многочлену Пусть многочлен представлен в виде произведения где и взаимно простые. Представим каждый из многочленов в виде произведения таким образом, чтобы выполнялись предельные соотношения

В этих условиях справедлива

Лемма 11.2. Скорость сходимости последовательностей многочленов не меньше, чем скорость сходимости последовательности многочленов

Доказательство. Пусть попарно различные корни многочлена и их кратности равны Так как и взаимно простые, то при всех больших некоторого

для Далее имеем

где есть некоторый многочлен степени не выше Условие сходимости последовательности многочленов к означает, что

При этом скорость сходимости определяется скоростью убывания коэффициентов

Выберем произвольное число Найдется такое число что для все коэффициенты многочлена будут по модулю меньше Дифференцируя тождество (11.8) и учитывая (11.7), легко получить, что при выполняются неравенства

для всех корней Здесь число не зависит от

Последовательность многочленов сходится к Скорость сходимости определяется скоростью убывания коэффициентов многочлена Этот многочлен имеет степень не выше причем в точках можно оценить его значений и значений его производных, так как

Будем трактовать соотношения (11.10) как систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов многочлена Согласно (11.9) правые части системы являются величинами порядка матрица

системы полностью определяется корнями Следовательно, существует такое число не зависящее от что все коэффициенты многочлена будут по модулю меньше для

Таким образом, последовательность многочленов сходится с такой же скоростью, что и последовательность многочленов Аналогичное утверждение справедливо, конечно, и для последовательности многочленов

Следствие. Если коэффициенты многочлена возмущаются на величины порядка то любой его корень кратности может измениться на величину порядка Все простые корни меняются на величины порядка

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)