§ 17. Нормальное псевдорешение

Необходимость определения проекций псевдорешений и подпространств сингулярных векторов возникает далеко не во всех задачах, связанных с системой линейных алгебраических уравнений (16.1). Значительно чаще требуется лишь вычислить с приемлемой точностью нормальное псевдорешение, С точки зрения теоретического исследования и практической реализации эта задача нередко сводится к минимизации регуляризирующего функционала

где число Снова, не ограничивая существенно общности, можно считать, что является диагональной матрицей из сингулярных чисел.

Обозначим через координатные векторы, через координаты вектора и пусть сингулярные числа отличны от нуля, а остальные — равны нулю. Если

то

Отсюда следует, что минимум достигается в том случае, когда последние координаты нулевые и для каждого выражение

принимает минимальное значение. Это дает для

Таким образом, при каждом минимум регуляризирующего функционала (17.1) достигается на единственном векторе

При регуляризирующий функционал (17.1) совпадает с функционалом невязки

Его минимальное значение достигается на псевдорешениях системы (16.1) и для нормального псевдорешения справедлива формула

Сравнение (17.2), (17.3) позволяет установить некоторые соотношения, связывающие Имеем

Для любого

поэтому

где

Очевидно, далее, что

Таким образом, при малых значениях а вектор может служить приближением снизу к нормальному псевдорешению Неравенства (17.5) определяют при этом величину ошибки.

Непосредственной проверкой легко убедиться, что вектор удовлетворяет системе уравнений

При матрица системы является положительно определенной. Следовательно,

Учитывая (17.2), (17.4), находим

Вместе с (17.9) это означает справедливость неравенства

для любых матриц и векторов при Невязки векторов связаны между собой таким соотношением

Рассмотрим возмущенную систему линейных алгебраических уравнений с матрицей и правой частью где

Определение приближенного псевдорешения по возмущенным приводит к системе уравнений

Из (17.9), (17.12), (17.13) получаем

Следовательно,

где

Для положительно определенной матрицы спектральная норма совпадает с максимальным собственным значением, поэтому Учитывая (17.11), будем иметь

Воспользовавшись формулами (17.7), (17.10), находим

Теперь можно оценить отклонение

Правая часть неравенства при некотором а достигает своего минимума. Это значение а будет обеспечивать почти наилучшее приближение к точному нормальному псевдорешению

Предположим, что входные данные системы заданы с малой абсолютной ошибкой порядка Если точная система (16.1) совместна, то . В этом случае правая часть (17.14) по характеру зависимости от есть функция вида При она принимает значение порядка Если же точная система не имеет ни одного решения, то и правая часть (17.14) есть функция вида а При она принимает значение порядка

Таким образом, если входные данные системы заданы с точностью порядка то при некотором значении а вектор приближает нормальное псевдорешение с точностью порядка в случае разрешимости исходной системы и с точностью порядка в противном случае.

Параметр а, обеспечивающий необходимое приближение не может быть найден лишь по возмущенной системе. Для его определения требуется привлечение дополнительных сведений о точной задаче.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)