§ 42. Некоторые замечания

Мы рассмотрели различные методы решения систем линейных алгебраических уравнений, основанные на разложении матрицы на множители. С решением систем и разложением матрицы тесно связаны многие другие задачи линейной алгебры. На некоторых из этих задач мы сейчас остановимся.

Вычисление определителя. Выполнение преобразований матрицы в процессе решения системы уравнений позволяет без больших дополнительных затрат получить значение определителя. Пусть имеет место (36.2) или (36.4). Для разложения (36.2)

Если матрицы треугольные, то их определители равны произведению диагональных элементов. Как правило, среди матриц одна имеет единичные диагональные элементы. Для разложения (36.4)

Определители матриц не требуют каких-либо вычислений. Для преобразований вида (24.3), (24.9) и преобразований вращения они равны единице, для преобразований отражения они равны где число преобразований. Матрица чаще всего принадлежит к одному из типов, описанных в § 26, и ее определитель находится без особого труда.

Как бы ни вычислялся определитель, мы можем утверждать лишь то, что полученное его значение будет совпадать с точным значением определителя некоторой возмущенной матрицы. Рассмотрим матрицы и пусть их сингулярные числа. Легко проверить, что

Если обозначить

то, воспользовавшись неравенством Коши — Буняковского и соотношением (15.11), будем иметь

Для возмущений, связанных с разложениями из табл. 34.1, оценку (42.1) можно записать в таком виде:

Здесь есть евклидово число обусловленности матрицы

Обращение матрицы. Разложения (36.2), (36.4) можно использовать для вычисления обратной матрицы. Из (36.2) вытекает, что

а из (36.4) имеем

Поэтому, если выполнено преобразование (36.2) или (36.4), то для получения матрицы остается лишь обратить одну или две матрицы простого вида и осуществить перемножение матриц согласно (42.2) или (42.3).

С формальной точки зрения для обращения матрицы можно использовать любое из разложений, описанных в табл. 34.1. Однако в практическом отношении не все они равноценны. Основное различие между ними связано с объемом требуемой памяти ЭВМ. Чтобы вычислить обратную матрицу по формуле (42.2) или (42.3), необходимо после выполнения преобразования матрицы А запомнить все матрицы из (36.2) или (36.4), кроме самой Как видно из табл. 34.1, уже на этом этапе некоторые из разложений требуют значительной дополнительной памяти. Разложения, в которых матрица двухдиагональная, трехдиагональная или почти треугольная, требуют большой дополнительной памяти и на этапе вычисления так как матрица будет полной. Поэтому в действительности из всех разложений в табл. 34.1 для обращения матрицы наиболее удобны лишь те, которые связаны с ее разложением на треугольные множители или ее приведением к треугольному виду с помощью преобразований отражения.

К задаче вычисления обратной матрицы можно подойти несколько иначе. Матрица является единственным решением матричного уравнения

Обозначим через векторы-столбцы матрицы А Тогда является решением системы линейных алгебраических уравнений

где координатный вектор с единицей на месте. Снова для решения системы (42.4) оказываются полезными разложения (36.2), (36.4).

С практической точки зрения почти безразлично, вычислять ли обратную матрицу по формулам (42.2), (42.3) или с помощью решения систем (42.4). Мы отдадим

предпочтение второму способу только потому, что все вопросы, связанные с решением систем, уже исследованы. При реализации этого способа может потребоваться некоторое изменение вычислительной схемы методов, вызванное необходимостью одновременного решения систем (42.4) с многими правыми частями.

Рассмотрим два наиболее интересных примера. Пусть получено разложение (36.2), где. матрица В левая треугольная, а -правая треугольная. При последовательном решении первых систем из (36.3) с правыми частями информация о самих решениях может быть размещена в ЭВМ на том же месте, где находится матрица В. Дополнительно требуется не более слов памяти. Вторые системы из (36.3) будем решать параллельно, определяя одну за другой координаты с одинаковыми номерами для всех систем. В этом случае элементы матрицы могут быть получены в ЭВМ на месте матрицы А примерно за арифметических операций.

Предположим, что выполнено преобразование (36.4), причем матрица — правая треугольная, а матрица представлена в виде произведения 1 матриц отражения. Последовательное решение систем (36.6) с правыми частями снова позволяет разместить всю информацию о решениях на месте соответствующих столбцов матрицы Преобразования (36.5) будем осуществлять параллельно, умножая сначала все векторы на затем на и наконец на При этом следует учитывать как специальный вид преобразуемых векторов, так и специальный вид самих преобразований. Элементы матрицы опять могут быть получены на месте матрицы А примерно за арифметических операций.

Если соблюдается режим вычислений, при котором была получена оценка (36.15), то нахождение обратной матрицы с помощью любого из рассмотренных в § 36 численных методов решения систем (42.4) гарантирует выполнение оценки (36.15) для каждого столбца реально вычисленной матрицы Поэтому аналогичная оценка справедлива и для самой матрицы Именно,

Здесь есть евклидово число обусловленности матрицы

Применение систем (42.4) для вычисления матрицы А 1 позволяет в случае необходимости уточнить отдельные или все ее столбцы. Техника выполнения этого процесса детально описана в § 38.

Вычисление псевдообратной матрицы. Нормальное псевдорешение системы (41.1) связано с матрицей и правой частью соотношением

Отсюда сразу вытекает, что если мы будем находить из системы (42.4) как ее нормальное псевдорешение, то получим ни что иное, как вектор-столбец псевдообратной матрицы Поэтому вычисление псевдообратной матрицы лишь деталями отличается от рассмотренной выше задачи обращения матрицы.

Определение псевдообратной матрицы всегда сводится к случаю ибо при можно воспользоваться формулой

Если матрица А не очень близка к матрице неполного ранга, то для решения систем (42.4) наиболее целесообразно применить первый из трех способов, описанных в § 37. В этом случае реально вычисленная матрица будет удовлетворять согласно (37.9) соотношению

Близость матрицы А к матрице неполного ранга значительно усложняет задачу вычисления Снова необходима дополнительная информация, а для решения систем (42.4) приходится применять методы, предназначенные для неустойчивых систем линейных алгебраических уравнений.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)