§ 16. Проекции псевдорешения

Любое псевдорешение неустойчиво [1] к возмущению оператора, если дефект оператора отличен от нуля. Это связано с тем, что образ возмущенного оператора может значительно отличаться от образа точного оператора и даже иметь другую размерность.

Однако во всяком псевдорешении можно выделить его устойчивую часть. Важно подчеркнуть, что эта часть может быть найдена численным способом по приближенно заданной информации. Неустойчивую же часть псевдорешения нельзя определить по приближенной информации и для ее оценки следует привлекать дополнительные сведения.

Как уже отмечалось, при исследовании влияния возмущения на псевдорешение можно ограничиться рассмотрением возмущения системы линейных алгебраических уравнений с диагональной матрицей из сингулярных чисел. Пусть

— точная система. Обозначим через диагональные элементы матрицы и будем считать, что Предположим далее, что

— возмущенная система.

Если матрица ненулевая, то среди есть хотя бы одна пара не равных между собой соседних чисел. Пусть и элементы матрицы и вектора достаточно малы по сравнению с Обозначим через подпространства, натянутые на первые правых сингулярных векторов матриц Проведенные ранее исследования позволяют утверждать, что эти подпространства мало отличаются друг от друга. Поэтому можно ожидать, что будут мало отличаться и проекции псевдорешений и, точной и возмущенной систем на

Разобьем каждую из рассматриваемых матриц на четыре прямоугольные клетки, считая клетку в левом верхнем углу квадратной порядка Если

то совпадает с нормальным псевдорешением системы

и, следовательно,

Пусть далее

При исследовании сингулярного разложения мы установили существование матриц

таких, что

Поэтому асимптотически совпадает с нормальным псевдорешением системы

и, следовательно,

Теперь легко получить асимптотическое выражение для ошибки Представив векторы в виде сумм

где имеют размерность находим согласно (16.2), (16.3), что

Пусть известно, что точная система совместна. Выберем в качестве наименьшее ненулевое сингулярное

число. Тогда проекция совпадает с нормальным решением системы (16.1), а из (15.5) вытекает, что

Если обозначить

то совместно с (16.5) соотношение (16.4) приводит к оценке

асимптотическая связь которой с (10.10) очевидна.

Оценка (16.6) сохраняется и для «почти совместной» системы (16.1), т.е. при достаточно малом, хотя и отличном от нуля векторе Проекция в этом, случае будет совпадать с нормальным псевдорешением системы (16.1).

Таким образом, если точная система линейных алгебраических уравнений совместна или почти совместна и возмущение мало по сравнению с минимальным ненулевым сингулярным числом точной матрицы, то нормальное псевдорешение можно определить по возмущенной системе с такой же точностью, как и для системы с невырожденной матрицей.

В случае несовместности точной системы влияние возмущения матрицы становится более заметным. Если снова предположить, что оно достаточно мало по сравнению с минимальным ненулевым сингулярным числом, то при введенных выше обозначениях будем иметь

Здесь уже является нормальным псевдорешением системы (16.1). Его точность в значительной мере зависит от отношения к т. е. от степени согласования матрицы и правой части исходной системы.

Оценки (16.6), (16.7) получены для возмущений, достаточно малых по сравнению с минимальным ненулевым сингулярным числом. Они позволяют высказать предположение о том, что при подходящем выборе номера проекция будет достаточно хорошо приближать нормальное псевдорешение точной системы (16.1) и в самом

общем случае. Мы проведем сейчас необходимое обоснование этого предположения.

Обозначим через полную ошибку и представим ее в следующем виде:

Разность легко оценивается с учетом (16.4), разность же неустойчива к возмущению и для ее оценки необходимо привлечь дополнительные сведения о точной задаче. Рассмотрим поэтому наряду с системой (16.1) связанную с ней согласно (9.8), (9.9) систему

Если ее нормальное решение, то прямое сравнение этой системы с (16.1) показывает, что

В случае совместности системы (16.1) имеем

Предположим для простоты, что и пусть входные данные системы (16.1) заданы с малой абсолютной ошибкой порядка Тогда из (16.4), (16.8), (16.9) следует, что в случае совместности точной системы норма главного члена полной ошибки с точностью до констант будет ограничена сверху функцией вида

и функцией вида

в противном случае. Минимизируя правые части (16.10), (16.11) с помощью выбора соответствующего номера можно определить ту проекцию которая лучше всего приближает нормальное псевдорешение . О достижимой при этом точности говорит

Лемма 16.1. Для и любого набора чисел где имеют место соотношения

Доказательство. Рассмотрим сегмент где На нем находится не более чисел из поэтому существует другой сегмент при и внутри которого нет сингулярных чисел. Выберем в качестве ближайшее к и не меньшее его сингулярное число. Тогда

и следовательно,

Пусть с таково, что правая часть полученного неравенства достигает минимума. Это дает и первое соотношение леммы доказано. Имеем далее

Правая часть достигает минимума при Величина этого минимума подтверждает справедливость второго соотношения леммы.

Итак, если входные данные системы заданы с точностью порядка то одна из проекций приближает нормальное псевдорешение с точностью порядка Если исходная система совместна, то а в противном случае.

Нетрудно построить примеры систем с таким распределением сингулярных чисел, при которых достигаются наименьшие порядки точности. Пусть и есть некоторое количество нулевых сингулярных чисел. Для совместных систем достигается порядок если все остальные сингулярные числа расположены равномерно между и нулем. Для несовместных систем достигается порядок если все остальные сингулярные числа расположены равномерно между и нулем.

Заметим, что наличие малых сингулярных чисел матрицы системы не обязательно свидетельствует о невозможности вычислить псевдорешение с достаточно хорошей точностью. Если матрица имеет группу больших сингулярных чисел, а остальные сингулярные числа соизмеримы с точностью входных данных или меньше, то из (16.10), (16.11) следует, что одна из проекций приближает

нормальное псевдорешение с точностью порядка как для совместной, так и для несовместной системы. Этот факт имеет исключительное значение для обоснования большинства численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений с вырожденной матрицей.

Если матрица системы квадратная и невырожденная, то норма ошибки А решения возмущенной системы имеет вид где — того же порядка, что и минимальное сингулярное число матрицы системы. Как вытекает из первого соотношения (16.12), норму ошибки А можно представить в таком же виде и в случае произвольной совместной системы, при этом по порядку зависимости от сингулярных чисел и точности входных данных удовлетворяет неравенству

Из второго соотношения (16.12) вытекает, что для несовместной системы при этом по порядку зависимости

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)