§ 30. Разложение на унитарный и треугольный множители

Мы уже отмечали, что квадратная матрица может быть разложена в произведение унитарной и треугольной матриц. Существует немало алгорифмов для численного отыскания этого разложениям, Однако в основе большинства из них лежат рассмотренные ранее процессы исключения элементов с помощью унитарных преобразовании или процессы ортогонализации.

Пусть А — квадратная матрица порядка Согласно формулам (18.11) построим матрицу вращения так, чтобы в матрице элемент в позиции (2.1) был равен нулю. Затем построим матрицу вращения из условия обращения в нуль элемента в позиции (3.1) матрицы Ясно, что при этом нулевой элемент, полученный на первом шаге, останется без изменения. Далее выбираем последовательность матриц вращения, например, циклически по столбцам при Сами матрицы строим так, чтобы при очередном умножении на матрицу вращения Ту исключался элемент в позиции

Очевидно, что при реализации каждого шага сохраняются все нулевые элементы, полученные на предыдущих шагах. После выполнения шагов мы получим правую треугольную матрицу причем где Отсюда вытекает, что

Матрица унитарная и требуемое разложение построено.

Влияние ошибок округления приведет к тому, что реально будут вычислены некоторые другие матрицы Но как показывают исследования, выполненные в § 19, мы будем иметь

где причем в соответствии с (19.12)

Конечно, элементы могут исключаться и в каком-либо другом порядке. В частности, если матрицы вращения выбираются циклически по строкам, то для соответствующего эквивалентного возмущения снова справедлива оценка (30.3).

Мы уже отмечали в § 19, что обе циклические последовательности эквивалентны с точностью до выбора углов поворота. В случае использования этих последовательностей для получения разложения матрицы на унитарный и треугольный множители можно сделать более точный вывод. Так как вычисление угла поворота для любой матрицы связано лишь с элементами строк, то циклические последовательности по строкам и столбцам полностью эквивалентны. Следовательно, при разложении матрицы на унитарный и треугольный множители они будут давать один и тот же результат, включая всю совокупность ошибок округления.

Разложение матрицы на унитарную и треугольную можно осуществить и с помощью матриц отражения. Действительно, по первому столбцу матрицы А построим матрицу отражения так, чтобы в матрице все поддиагональные элементы первого столбца были нулевыми. Затем по второму столбцу матрицы построим матрицу отражения так, чтобы в матрице все поддиагональные элементы второго столбца были нулевыми, а элемент в первой строке остался без изменения. Принимая во внимание вид (21.1) матрицы заключаем, что первый столбец матрицы от умножения на матрицу не меняется. После выполнения шагов мы получим правую треугольную матрицу и разложение (30.1), где Реальные вычисления приведут к разложению (30.2). Согласно оценке (21.7) теперь имеем

Процесс ортогонализации также может быть использован для численного отыскания разложения матрицы А на унитарную и треугольную. Будем рассматривать строки А как векторы, подлежащие ортогонализации. Нормировка первого вектора сводится к умножению А слева на диагональную матрицу которой лишь первый элемент отличен от единицы. Это дает матрицу

Вычисление вектора согласно (25.2) означает определение некоторой матрицы вида (24.9) и умножение на нее слева матрицы Нормировка второго вектора — это очередное умножение слева на диагональную матрицу которой отличен от единицы только второй элемент, и т. д.

Весь процесс состоит из шагов. Матричная трактовка шага означает нахождение некоторой матрицы вида (24.9), умножение вычисленной ранее матрицы слева на определение диагональной матрицы имеющей лишь элемент, отличный от единицы, и вычисление матрицы После выполнения шагов мы получим матрицу при этом

откуда вытекает, что

Матрица левая треугольная. Обозначив ее через приходим к разложению

в котором по сравнению с (30.1) унитарный множитель является правым, а треугольный — левым.

Ошибки округления и в этом процессе приведут к вычислению некоторых других матриц Если к тому же согласно (25.11) применяется переортогонализация векторов, то вместо каждой матрицы мы в действительности будем иметь произведение матриц типа Тем не менее, в соответствии с (25.7), реальное разложение будет таким:

где

Напомним, что в практических вычислениях всегда

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)