§ 50. Некоторые замечания

Выполненные исследования позволяют высказать некоторые рекомендации по применению рассмотренных алгорифмов для решения проблемы собственных значений.

Пусть матрица а не эрмитова и не имеет какой-либо особой специфики в своих элементах. В этом случае последовательность действий определена, по существу, однозначно.

Сначала с помощью подобного унитарного преобразования приводим матрицу а к правой почти треугольной. Если мы будем определять собственные векторы матрицы то должны запомнить преобразование подобия, в противном случае его можно не запоминать.

Следующий этап связан с применением -алгорифма к правой почти треугольной матрице. На этом этапе вычисляются только собственные значения. Преобразования подобия не запоминаются.

Используя вычисленные собственные значения, находим далвё собственные векторы с помощью обратных итераций. Решение проблемы собственных значений заканчивается восстановлением собственных векторов исходной матрицы по собственным векторам почти треугольной матрицы.

Рассмотрим теперь эрмитову трехдиагональную матрицу А. Собственные значения такой матрицы можно определять либо с помощью -алгорифма, либо методом бисекций. На наш взгляд, предпочтение следует отдать методу бисекций, особенно в том случае, когда матрица имёет большой порядок и нужно находить не все собственные значения. Собственные векторы трехдиагональной матрицы в любом случае определяются с помощью обратных итераций.

Если эрмитова матрица а полная, то проблему собственных значений для нее можно решать двумя способами. Первый из них связан с приведением матрицы а к унитарно подобной трехдиагональной эрмитовой матрице, решением проблемы собственных значений для этой

матрицы и восстановлением собственных векторов матрицы А по собственным векторам трехдиагональной матрицы. Второй способ основан на применении метода вращений.

В том случае, когда нужно вычислить только собственные значения, первый способ по всем параметрам превосходит второй, за исключением единообразия вычислительной схемы. Если же нужно найти и собственные векторы, то у метода вращений появляется некоторое преимущество. С помощью обратных итераций очень трудно получить ортогональные собственные векторы, особенно при наличии большого скопления близких собственных значений. Собственные векторы, определяемые методом вращений, всегда почти ортогональны.

Рассмотренные алгорифмы, кроме метода вращений, особенно эффективны при решении последовательности спектральных задач, зависящих от некоторого параметра. Собственные значения, полученные для предыдущего значения параметра, могут служить хорошими приближениями для собственных значений, определяемых при последующем значении параметра. При этом значительно сокращается общее время счета.

Таблица 50.1 (см. скан) Сравнительная характеристика алгорифмов

Сравнительные характеристики алгорифмов для решения проблемы собственных значений приведены в табл. 50.1. Она составлена в полном соответствии с табл. 34.1 и не нуждается в особых комментариях. Заметим лишь, что точность указана для отдельных собственных значений и собственных векторов, а число операций и дополнительная память — для полной проблемы. Все характеристики получены при следующих предположениях:

На каждое собственное значение в -алгорифме требуется пять итераций, на каждый собственный вектор в обратных итерациях требуется три итерации, для реализации метода вращений требуется шесть циклов.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)