§ 8. Плоская деформация

В случае плоской деформации расчет несколько осложняется. Однако применение методов теории функций комплексного переменного (см., например, хорошо известную монографию Н. И. Мусхелишвили [6]) или метода Вестергаарда [7] позволяет прийти к аналогичным результатам. Сингулярность вблизи конца трещины дается формулой, аналогичной первой из (6.5), а именно

где

Для иллюстрации можно снова воспользоваться рис. 7, но уже с условиями на бесконечности

Отметим, что коэффициент интенсивности для компоненты тот же, что для и справедлива асимптотическая формула

Отсюда следует, что отношение стремится к единице при изменении аргумента вдоль оси Для другого пути (если он существует) предел, возможно, будет иным.

Мы не приводим формулу для перемещения, которая аналогична второй из (6.5) (с другим множителем). Для получения связи между следует повторить рассуждения для антиплоского случая. В итоге получим

(для традиционных обозначений модуля Юнга и коэффициента Пуассона

Замечание. Индексы соответствуют трем типам растрескивания. Напряженное состояние вблизи трещины всегда может быть представлено в виде комбинации трех простейших напряженных состояний (рис. 9):

I. Растяжение в направлении, ортогональном оси трещины.

II. Сдвиг в плоскости .

III. Сдвиг в плоскости (Мы рассмотрели несколько более детально случаи Формулы для случая получаются аналогично.)

Рис. 9

Например, для нахождения нужно решить некоторую задачу теории упругости. Известны решения как в замкнутой форме, так и в табличной и графической.

Ограничимся простым случаем разреза в бесконечной плоскости. Обозначив через плотность нормальной нагрузки (одинаковую для обоих краев трещины), находим для правого конца

Если четная функция, то значение коэффициента интенсивности для обоих краев трещины будет

Рассмотрим отдельно два случая.

1. Случай, когда растяжение равно нулю на трещине и а на бесконечности. Заменив нулевое растяжение на трещине величиной и положив получим из (8.2) результат, аналогичный (8.1)

Рис. 10

2. Случай, когда две силы, равные и противоположно направленные, приложены в середине, как на рис. 10. Интеграл тогда сводится к и

Пусть теперь силы имеют величину Трещина длиной будет устойчива и ее длина определяется соотношением

Для скальных пород и для грунтов значение прочности может рассматриваться как пренебрежимо малое, откуда следует, что длина устойчивой трещины будет

Эти простые рассуждения использовались С. А. Христиановичем как исходные предпосылки для построения теории разрушения угольных пластов в шахтах.

Теория, которую мы рассматриваем, справедлива лишь для размеров зон пластичности, малых по сравнению с длиной трещины. Следует отметить, что размерность К есть где сила, длина.

Размер пластической зоны зависит также от величины предела текучести Из можно образовать лишь

одну комбинацию с размерностью длины, а именно

которая и дает (с точностью до безразмерного множителя) размер пластической зоны, изображенной на рис. 6.