§ 9. Модель Панасюка — Леонова — Дагдейла

Советские авторы В. В. Панасюк и М. Я. Леонов [8] и американский автор Дагдейл [9] приблизительно одновременно (1958-1959 гг.) предложили независимо друг от друга простую модель пластической зоны вблизи кончика трещины. Однако исходные точки зрения этих авторов существенно различались.

В. В. Панасюк и М. Я. Леонов рассматривали трещину на атомном уровне. Они предположили, что нелинейное взаимодействие сконцентрировано лишь между двумя атомными уровнями. На рис. 11 кривая 1 представляет зависимость между межатомной силой и межатомным расстоянием Эта кривая заменяется кусочно-линейной, причем отрезок а соответствует линейно-упругому взаимодействию, сегмент постоянной силе и критическое значение соответствует нулевой силе на участке с.

Рис. 11

Рис. 12

Это приводит к модели, изображенной на рис. 12. Часть поверхности трещины свободна от напряжений, а другая, нагружена постоянной силой равной Вне отрезка оси материал остается упругим.

Из формулы (8.2) находим

Формула (9.1) позволяет определить длину пластической зоны в тех случаях, когда линейная механика разрушения

бессильна. Величина может быть достаточно большой, и она стремится к бесконечности при о- а. Напротив, для разлагая косинус в ряд и оставляя два первых члена ряда, получим

Дагдейл получил те же результаты, исследуя напряженное состояние в тонкой плите, содержащей треш,ину, длина которой во много раз превосходит толщину плиты. В этом случае легко можно построить точное решение упруго-пластической задачи. Граница пластической зоны образуется из прямолинейных отрезков а пластическое течение происходит в плоскостях, составляющих угол с границей плиты (рис. 13). Формальный аспект расчета тот же, что и в двух рассмотренных выше случаях.

Рис. 13

Можно указать на множество публикаций, касаюшихся решения упруго-пластической задачи для тела с трещинами. Для случая плоской деформации ситуация сходна с изображенной на рис. 6, но не на рис. 12, что подтверждается многими известными численными решениями данной задачи.

Относительно самих решений следует указать на один их общий недостаток. Деформации в пластической зоне являются очень большими, порядка 100% для мягкой стали. Таким образом, здесь можно воспользоваться теорией пластичности больших деформаций и вращений, либо же учесть изменения геометрии, выписав граничные условия на деформированной границе. Можно также оперировать уравнениями линейной теории упругости совместно с уравнениями теории малых пластических деформаций, что приводит к игнорированию нелинейно-геометрического характера задачи.