§ 2. Уравнения состояния

В чисто механических опытах можно измерить лишь силы и перемещения, а также некоторые такие производные от них величины, как, например, напряжения и деформации. Пусть о есть тензор напряжений, тензор деформаций. Для случая больших деформаций и больших вращений следует уточнить определение тем или иным образом. Наиболее общий вид уравнения состояния будет

Такой подход был предложен В. Вольтерра [2], который в свою очередь руководствовался идеями Фреше. В наше время это направление получило развитие в работах В. Д. Колемана [3], В. Нолла, К. Трусделла [41, А. А. Ильюшина и Б. Е. Победри [5] и т. д.

С другой стороны, можно рассматривать и определяющие соотношения, содержащие производные и дополнительные параметры, которым может быть придан определенный физический смысл. Например, предположим, что

Здесь 8 — тензор скоростей деформаций. В предположении малости последних выполняется

В случае ползучести т. е. параметр совпадает с физическим временем. В случае пластичности параметр является неопределенным: это есть некоторая монотонная и возрастающая функция

Важно отметить, что

На следующем шаге необходимо убедиться, что уравнение (2.2) справедливо лишь для структурного состояния

материала. Структурные состояния могут быть идентифицированы с помощью различных физических методов: металлографии, рентгеновских лучей, измерения электропроводности и т. п. С другой стороны, в уравнение (2.2) можно ввести некоторое число параметров состояния которые могут быть скалярами, векторами, векторными полями и тензорами любого ранга. Тогда вместо (2.2) мы будем иметь

На практике число этих параметров не должно быть слишком уж велико.

В физических теориях этим параметрам придается физический смысл, например плотности дислокаций и т. п. Наша же точка зрения будет чисто феноменологической, хотя в итоге мы придем к тому же результату.

Для иллюстрации изложенных идей представим себе материал, свойства которого описываются одним параметром. Как выбрать этот параметр и каков его физический смысл?

Представим себе способ деформирования, называемый эталонным. Предположим, что все структурные состояния материала реализуются в течение этого процесса и что мы можем их как-то идентифицировать, например с помощью микрофотографии. Расположим фотографии «в порядке возрастания». Что это будет означать? Мы не располагаем возможностью охарактеризовать каким-то числом состояние, представленное на фотографии (т. е. но мы уверены, что состояние А предшествует состоянию (ссли разница между состояниями достаточно отчетлива). В этом случае будем считать

Теперь реализуем другую программу опытов на другом образце, идентичном первому, и получим серию фотографий Если материал однопараметрический, то для любой фотографии В можно найти идентичную в серии например фотографию Запишем

Структурное состояние в программе В может быть теперь охарактеризовано номером фотографии эталонной серии или же некоторой монотонной функцией аргумента

На этом этапе параметру может быть придан определенный физический смысл, например плотности дислокаций.

Высказанное предположение, позволяющее установить соответствие между физическим и механическим подходами, является лишь временным, и мы не настаиваем на его соблюдении. Более предпочтительным представляется сконструировать вид определяющего соотношения как закона, определяющего кинетику изменения параметра

Приведем теперь несколько примеров.