§ 6. Антиплоская деформация

Рассмотрим наиболее простой случай — антиплоскую деформацию, для которой

(гипотеза Сен-Венана). Напомним, что

в то время как остальные компоненты тензора напряжений равны нулю. В обычных обозначениях положим

где V — гармоническая функция, сопряженная к и, т. е.

Для функции комплексного переменного имеется граничное условие

где усилие, криволинейная координата точки на границе области

Рассмотрим теперь упругую бесконечную плоскость с вырезом длины (см. рис. 7), определенным как

Условия на бесконечности есть

Теперь можно определить и функцию

что удовлетворяет (6.2).

На вырезе вследствие условия свободной поверхности выполняется условие

С другой стороны, для справедливо так как вне выреза вектор перемещений непрерывен.

Рис. 7

Рассмотрим теперь напряженное состояние на небольшом расстоянии перед кончиком выреза и перемещение на том же небольшом расстоянии, но уже сзади кончика выреза. Положив находим из второй формулы (6.3)

С другой стороны, при первая из (6.3) дает

Или, перегруппировав эти формулы, можно временно ввести обозначения

Эта величина К (ниже мы назовем ее есть коэффициент интенсивности напряжений.

Выражения для напряжения и перемещения вблизи кончика выреза запишутся как

Отсюда следует важный вывод.

Можно, разумеется, решать каждый раз заново плоскую задачу для произвольного тела с подобным вырезом, подверженного действию произвольной внешней нагрузки. Решение будет значительно более сложным, однако сингулярность вблизи конца разреза всегда будет иметь порядок для напряжений и формулы (6.5) будут справедливы как асимптотические, дающие основные члены в разложениях.