§ 19. Задача о росте трещины

Принцип Вольтерра, изложенный в предьщущем параграфе, применим в общем случае лишь к задачам, где тип краевых условий считается неизменным. К примеру, с помощью этого принципа не удается решить задачу о движущемся штампе, где перемещение точки границы известна лишь в тот короткий период, когда штамп находится вблизи нее. Можно, однако, указать и случаи, где принцип действует: среди прочих задача Герца, или же задача о движении трещин.

Запишем основные уравнения плоской задачи в виде

Черточки над означают, что упругие константы заменены здесь операторами вида . Положив

получим на прямой

Таким образом, методика решения плоской задачи наследственной упругости не отличается от методики решения классической упругой задачи. Здесь длина трещины предполагалась функцией времени. Распределение напряжений остается таким же, как в уже изученных случаях (см. § 8).

В работах ряда советских физиков указывалось на возможность появления ультрамикроскопических трещин в тонких пленках некоторых полимерных материалов. Методы, основанные на измерении дисперсии рентгеновских лучей, позволили оценить величину длины этих микротрещин, которая оказалась лежащей в пределах от 100 до 1000 А При нагружении материала концентрация этих трещин со временем увеличивается, и при достижении концентрацией величины приблизительно микротрещин на см появляется макротрещина. Распространяется эта видимая глазу трещина достаточно быстро, что приводит к разрушению образца. Этот механизм разрушения отличается от описанного нами в гл. 2.

В линейной механике разрушения предполагается, что материал остается упругим и неповрежденным повсюду, кроме небольшой зоны вблизи кончика трещины. Предположим теперь, напротив, что процесс растрескивания, заключающийся в образовании микротрещин, происходит во всем теле, содержащем трещину. Скорость движения управляется условием достижения на кончике трещины критического значения плотности микротрещины . Что касается процесса образования микротрещин, то предположим, что скорость их накопления есть функция первого» инварианта напряжений, т. е.

Ограничимся здесь случаем, когда эта функция линейна.. Всегда можно определить критическое значение такое, что это уравнение примет вид

Разумеется, можно оперировать и нелинейной функцией но тогда решение можно получить лишь с помощью численных методов. Поэтому выбор здесь уравнения (19.2) продиктован лишь желанием получить замкнутое решение.

приведем известный результат для плоского напряженного состояния при

Трещина, представленная на рис. 30, имеет в момент длину а в текущий момент длину Значение В момент для точки с абсциссой будет согласно (19.2)

Рис. 30

Внесем (19.3) в (19.2) и проинтегрируем. Полагая придем к уравнению Абеля

решение которого будет