§ 20. Нелинейная наследственность

Поведение большинства полимеров является нелинейным, и напряжения в общем случае не будут достаточно малыми. Следуя идее Фреше, Вольтерра предложил записать уравнение состояния в виде

(интегралы Стилтьеса). Эта идея была забыта на протяжении полувека, и лишь в 60-х годах ею стали пользоваться для интерпретации опытных данных. Одной из первых публикаций в этом направлении явилась работа [15], где соотношение (20.1) использовалось для описания ползучести полипропилена. Немного позднее Финдли с сотрудниками начал публикацию серии исследований по данной теме [16].

Отметим, что во всех этих работах рассматривались материалы, поведение которых не слишком отличалось от линейного. Приняв, что закон ползучести при растяжении и сжатии один и тот же, авторы удерживали в формальном ряде (20.1) лишь два члена и описывали поведение материала с помощью двух ядер

Обратная формула, выражающая а как функционал от имеет структуру, аналогичную (20.1), однако с расчетной точки зрения она не столь удобна.

В принципе испытания на ползучесть при постоянной нагрузке позволяют построить оба ядра Однако вследствие вида матрицы системы линейных уравнений, из которых определяются результаты часто оказываются неустойчивыми [17].

С другой стороны, точное описание ползучести с помощью трех ядер часто невозможно, если деформации не являются малыми: кривая мгновенного деформирования не может быть удовлетворительно описана полиномом третьей степени. Если же увеличивать число членов в разложении (20.1), расчетные трудности резко возрастают. Вот почему мы рассмотрим здесь упрощенную теорию, основанную на гипотезе, что все ядра (20,1) имеют одну структуру, т. е.

Положим теперь

и перепишем (20.1) в виде

Формальный ряд (20.4) определяет как функцию Предположив возможности ее обращения, запишем

или

т. е. основное уравнение теории нелинейной наследственности.

Обобщение на неодномерный случай не представляет труда. Вводятся модифицированные напряжения

и предполагается существование потенциала как функции такого, что

Для линейной наследственности в случае изотропного тела получим

где коэффициент Пуассона есть просто постоянный множитель, а не оператор. Это допущение часто используется в линейной теории из-за трудностей экспериментального определения данных для построения оператора

В случае нелинейной теории мы не располагаем достаточным числом экспериментальных данных, чтобы подтвердить или опровергнуть гипотезу (20.6).

Вернемся вновь к одномерному случаю. Пусть в уравнении (20.5).

Тогда

где есть хорошо известная функция времени. Уравнение (20.7) описывает семейство изохронных кривых ползучести, которые подобны друг другу. На это подобие уже указывалось в § 15. Уравнение определяет мгновенную кривую «напряжения — деформации», кривую, которую в действительности получить невозможно, так как скорость деформации есть всегда величина конечная. Мы будем рассматривать эту кривую как некую идеальную, воображаемую. Это можно сделать, выбрав определенным образом форму ядра оператора к примеру

На рис. 31 представлены кривые ползучести пластического материала, армированного стекловолокнами (сплошные линии). Линии 1, 2,3 соответствуют значениям растягивающего напряжения в 8,1, 12,2 и Ядро оператора К выбрано в виде

в работе [18] найдены значения параметров ядра За кривую можно принять кривую 1 на рис. 32. Кривые ползучести, рассчитанные по значениям параметров, изображены на рис. 31 штрихпунктирными линиями.

Суворова и Осокин [19] воспользовались в своем исследовании более точными методами. данных

Рис. 31

Рис. 32

После обработкина ЭВМ и минимизации отклонений методом наименьших квадратов они получили значения

Расчетные кривые ползучести проведены штриховыми линиями на рис. 31. Видно, что они практически совпадают с экспериментальными.

В [19] ядро оператора наследственности было выбрано максимально простым: что соответствует

Соответствие с экспериментальными данными оказалось очень хорошим. В масштабе рис. 31 различить их друг от друга практически нельзя. В этом случае обозначенная цифрой 3 на рис. 32 кривая отличается от кривой 1: кривая 3 расположена значительно выше. Это характеризует «идеальность» мгновенной кривой деформирования: она всегда получается в результате предельного перехода от экспериментальных данных, что, разумеется, несет элемент неопределенности и произвола.

С другой стороны, эти результаты показывают, что для хорошего описания опытных данных необходимо

определить значения лишь двух констант, а не трех. Так, выбрав произвольно мы затем определили ( Суворова и Осокин положили и затем нашли Соответствие между теорией и экспериментом было, тем не менее, хорошим.